实变函数第21讲(勒贝格积分:勒贝格控制收敛定理LDCT,积分极限定理的应用...
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发布时间：2024-10-24 09:47
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时间：2024-11-05 19:12
首先，证明勒贝格控制收敛定理。该定理指出，若函数列在集合E上几乎处处收敛至极限函数f(x)，且存在非负可积函数F(x)使得函数列的绝对值乘以F(x)在E上几乎处处收敛至某个有限值，则函数列中的每个函数与极限函数均可积，并且积分与求极限可交换。证毕。
推论1.22（有界收敛定理）：若集合E的测度有限，函数列几乎处处收敛且一致有界，则积分与极限可交换。此时，控制函数可取为上界的最大值。
命题1.23（逐项积分定理）：若函数列fk在E上为可测函数且满足绝对值逐项积分有限，则级数几乎处处绝对收敛，且求和与积分可交换。构造函数F(x)使得F(x)的L积分等于有限值，利用Levi定理证明级数几乎处处绝对收敛。
命题1.24（积分区域极限定理）：若f是E上的可测函数，集合列{Ek}是递增的，极限为E，则当f可积或非负时，有积分与极限可交换的结论。构造函数列利用Levi定理证明。
命题1.25（可数可加性对一般可测函数的情形）：若f是E上的可测函数，Ek是E的互斥分划，则当f可积或非负时，有积分与极限可交换的结论。构造函数列利用Levi定理证明。
通过一系列的定理和推论，我们可以看到勒贝格积分理论的广度与深度。利用控制收敛定理等工具，我们可以在不同的条件下证明积分与极限的可交换性，这对于解决实际问题具有重要意义。例如，在例1.6中，我们通过验证积分的有限性以及利用勒贝格控制收敛定理，成功证明了求导与积分的交换。而例1.7则进一步推广了这一思想，展示了更一般情况下的应用。
