Note | 非齐次泊松、复合泊松
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发布时间：2024-10-24 13:05
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时间：2024-10-25 05:18
非齐次泊松和复合泊松是泊松过程的两种变体，它们在实际应用中更具灵活性，因为它们放松了泊松过程的某些严格条件。接下来，我们将通过实例来直观理解这两种过程。
1. 非齐次泊松，即非平稳泊松，源于去除了平稳增量的假设。在原泊松公式的基础上，强度（即单位时间内事件发生的期望次数）变为随时间变化的变量，导致事件发生次数不再是恒定的。例如，假设强度为随时间变化的函数[公式]，则事件发生次数的变化遵循[公式]。
2. 复合泊松过程则考虑了事件产生的效应是随机变量的情况。每次事件发生带来的影响不再是固定的，而是随机的[公式]。这个过程的期望值可以通过条件期望来计算。当[公式]成立时，复合泊松回归到基础泊松模型。例如，如果事件产生的随机效应服从两点分布[公式]，则上图中的例子展示了一个复合泊松过程。
3. 除了非齐次性，复合泊松也突破了稀疏性的*。在原泊松过程中，[公式]，而在非稀疏性条件下，我们有[公式]，这同样导致了复合泊松结构。这两种放松都改变了过程的特性，但它们在数学形式上表现出相似性。
举例说明，考虑泊松过程N(t)参数为[公式]，若事件发生间隔和时刻为[公式]，则我们需要计算[公式]，这在复合泊松的框架下进行求解。
综上，非齐次泊松和复合泊松是泊松过程的扩展，它们允许更复杂的时间依赖性和事件效应，从而更好地适应现实世界中的随机事件。
