已知函数f(x)=ex+2x2-3x.(Ⅰ)求证:函数f(x)在区间[0,1]上存在唯一的极 ...
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发布时间：2024-10-24 16:30
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时间：2024-11-16 20:41
解答：（Ⅰ）证明：求导函数可得f'（x）=ex+4x-3，…1分
∵f'（0）=e0-3=-2＜0，f'（1）=e+1＞0，
∴f'（0）?f'（1）＜0． …3分
令 h（x）=f'（x）=ex+4x-3，则h'（x）=ex+4＞0，…4分
∴f'（x）在区间[0，1]上单调递增，
∴f'（x）在区间[0，1]上存在唯一零点，
∴f（x）在区间[0，1]上存在唯一的极小值点． …6分
取区间[0，1]作为起始区间，用二分法逐次计算如下：
f'（0.5）≈0.6＞0，而f'（0）＜0，
∴极值点所在区间是[0，0.5]；
又f'（0.3）≈-0.5＜0，∴极值点所在区间是[0.3，0.5]；
∵|0.5-0.3|=0.2，
∴区间[0.3，0.5]内任意一点即为所求． …9分
（Ⅱ）解：由f（x）≥ax，得ax≤ex+2x2-3x，
∵x≥1，∴a≤ex+2x2?3xx，…10分
令 g(x)＝ex+2x2?3xx，则g′(x)＝(x?1)ex+2x2x2，…11分
∵x≥1，∴g'（x）＞0，∴g（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴gmin（x）=g（1）=e-1，
∴a的取值范围是a≤e-1． …13分
