...β是三次函数f(x)=1/3x^3+2ax^2+2bx的两个极值点,且α∈(0,1),β...
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发布时间：2024-10-24 10:18
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时间：2024-11-09 07:55
令 f'(x)=x²+4ax+2b=0，该方程的两根即对应极值点，故 α=-2a-√(4a²-2b)，β=-2a+√(4a²-2b)；
依题意 0<-2a-√(4a²-2b)<1，1<-2a+√(4a²-2b)<2；
以上两式相加得 1<-4a<3，即 -3/4<a<-1/4；
再由前行第二式得：1+2a<√(4a²-2b)<2+2a，即 √(4a²-2b)<(2+2a) 和 1+2a<√(4a²-2b)；
所以 -2b<8a+4，即 b>-4a-2；1+4a<-2b，即 b<-2a-(1/2)；
动点(a,b)所在区域相当于直线 y=-4x-2 和 y=-2x-(1/2) 之间区域，其中 - 3/4<x<-1/4；
所以 S=∫{x=-3/4~-1/4} [(-2x-0.5)-(-4x-2)]dx=∫(2x+1.5)dx=(x²+1.5x)|{-3/4,-1/4}=1/4；
