林德曼-魏尔斯特拉斯定理]ei]和π的超越性
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发布时间：2天前
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时间：2天前
林德曼-魏尔斯特拉斯定理为我们揭示了e和π超越性的核心特性。首先，如果α是非零的代数数，定理的第一种表述指出，{α}在有理数中的线性性意味着{e}同样也是代数的，从而得出e是超越数，特别地，e = e的超越性直接成立。
进一步，定理的第二种表述强调，对于非零代数数α，集合{0, α}的线性性确保了e不能是代数数，只能是超越数。这与π的超越性证明紧密相关。如果假设π是代数数，那么2πi也是代数数。由于定理，e的虚数单位i的幂e[i]会成为超越数，这与1本身为代数数的事实相悖，从而证明π的超越性。
稍微扩展这个证明思路，我们得知，如果α是非零代数数，那么其三角函数sin(α)、cos(α)以及它们的双曲函数，如tanh(α)等，也会因为相似的线性性原理，被证明为超越数。这不仅限于π，而是整个代数数域中的特定函数形式，都遵循着超越性的规律。
