证明:当a>b>0时,3b的平方乘以(a-b)<a的3次方-b的3次方<3a的平方乘以...

发布网友 发布时间：2024-10-21 18:14

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热心网友 时间：2024-10-22 15:38

令f(x)=x^3,则f(x)在[b,a]上连续,且(b,a)内可导,且f'(x)=3x^2. 由拉格朗日微分中值定理知,至少存在一点c属于(b,a), 即b<c<a,使得
a^3-b^3=f(a)-f(b)=f'(d)(a-b)=3c^2(a-b).
因为b^2<c^2<a^2, 于是有
3b^2(a-b)<a^3-b^3<3a^2(a-b).

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3a^2(a-b)-(a^3-b^3)
=3a²(a-b)-(a-b)(a²+ab+b²)
=(a-b)(2a²-ab-b²)
=(a-b) (2a+b)(a-b)
=(a-b)²(2a+b)
∵a,b,c∈R﹢且互不相等
∴(a-b)²>0 2a+b>0
∴3a^2(a-b)-(a^3-b^3)>0
即 3a^2(a-b)>a^3-b^3
同理可证a^3-b^3>3b^2(a-b)

热心网友 时间：2024-10-22 15:44

http://ci.baidu.com/WqhicKsRdi同理可证后面的的不等式成立

热心网友 时间：2024-10-22 15:44

a的3次方-b的3次方=(a-b)*(a^2+ab+b^2);

a>b>0 -> a^2>b^2;ab>b^2;
所以，3b^2<a^2+ab+b^2;3a^2>a^2+ab+b^2;
所以， 3b^2<a^2+ab+b^2<3a^2

热心网友 时间：2024-10-22 15:42

3b^2*（a-b）<a^3-b^3<3a^2*(a-b)
则
3b^2*（a-b）<（a-b）（a^2+ab+b^2)<3a^2*(a-b)
∵a-b>0
∴不等式相当于
3b^2<a^2+ab+b^2<3a^2
则
（1）证明：3b^2<a^2+ab+b^2
∵a^2-b^2+b(a-b)>0
即 a^2+ab-2b^2>0
∴3b^2<a^2+ab+b^2
（2）证明：a^2+ab+b^2<3a^2
∵b^2-a^2+a(b-a)<0
即 ab+b^2-2a^2<0
∴a^2+ab+b^2<3a^2
∴当a>b>0时，3b的平方乘以（a-b）<a的3次方-b的3次方<3a的平方乘以(a-b)