函数定义域问题大总结
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发布时间：2024-10-21 14:41
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时间：2024-11-11 04:57
写在前面：
求某个变量的取值集合及函数的定义域、值域和不等式的解集，一定要写成集合或区间的形式，不要写成不等式例如 [公式] 的形式.
但是考虑到打字太浪费时间，本文部分书写规范性不足，望体谅。
（一）函数定义域的概念
在函数[公式]，[公式]中，[公式]叫做自变量，[公式]的取值范围[公式]叫做函数的定义域。
（二）常见函数的定义域
（三）已知函数解析式，求定义域
【例】求函数[公式]的定义域。
【答】[公式]
这类题目比较简单，解答过程中细心即可，不再举例。
（四）求抽象函数的定义域
【例】已知函数[公式]定义域[公式]，求[公式]的定义域，解不等式[公式]即为所求．
【例】已知[公式]，求函数[公式]的定义域。
错解：先求得[公式]，再求得定义域为[公式];
正解：由真数大于[公式]得[公式]，[公式]，[公式]的定义域为[公式]
（五）已知定义域求参数（确定参数取值范围）问题
【例】已知函数[公式]定义域为[公式]，求实数[公式]的取值范围。
【解】一定要讨论[公式]和[公式]两种情况：
当[公式]时符合题意；
当[公式]时，要使函数[公式]的定义域为[公式]，则[公式]且[公式]，可得[公式]。综上，实数[公式]的取值范围为[公式]。
对于函数或方程或不等式问题，如果最高次项的系数是字母，则要注意讨论字母为零的情况(注意：题中条件中有隐含不为0的不要讨论)．
（六）定义域为R和值域为R两种不同的求解思路
【例】已知函数[公式]
【解】
【练】
已知[公式]，则[公式]的值域为[公式]的充要条件是( )
[公式]
[公式]
[公式]
[公式]
（七）定义域与函数单调性
【例】求函数[公式]的单调递增区间。
【解】根据复合函数单调性即可求解，注意定义域即可。
函数[公式]的定义域为[公式]，由于外层函数为减函数，由复合函数的单调性可知，只要求[公式]的单调递减区间，结合函数[公式]的定义域，得[公式]单调递增区间为[公式]．
在解决函数问题时，要注意定义域优先的原则，要注意函数的定义域不能是空集。
一切函数的问题都要在其定义域内研究和解决，例如求函数的单调区间，求函数的值域或最值等都应先求函数的定义域。
