设0<x<1,证明∑从0到∞ xⁿ(1-x)ⁿ≤256/229
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发布时间：2024-10-21 14:46
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时间：2024-11-11 05:53
(1)求1+x⁴+x⁸+……+x⁴ⁿ的和，-1<x<1
解：这是一个首项a₁=1，公比q=x⁴，项数为n的等比数列，故其前n项之和S‹n›=(1-x⁴ⁿ)/(1-x⁴)
当n→+∞limS‹n›=S=n→+∞lim(1-x⁴ⁿ)/(1-x⁴)=1/(1-x⁴) (∵-1<x<1，∴n→+∞limx⁴ⁿ=0)
(2)求和：[1，+∞]∑[x⁴ⁿ⁺¹/(4n+1)] (-1<x<1)
解： S‹n›=x⁵/5+x⁹/9+x¹³/13+.......+x⁴ⁿ⁺¹/(4n+1)
S′‹n›=x⁴+x⁸+x¹²+……+x⁴ⁿ=x⁴(1-x⁴ⁿ)/(1-x⁴)
n→+∞limS′‹n›=S′=x⁴/(1-x⁴)
故S=∫[x⁴/(1-x⁴)]dx=∫[-1+1/(1-x⁴)]dx=-x+∫dx/(1-x⁴)=-x+∫dx/(1+x²)(1-x²)
=-x+(1/2)∫[1/(1+x²)+1/(1-x²)]dx=-x+(1/2)[∫dx/(1+x²)+∫dx/(1-x²)]=-x+(1/2)[arctanx-∫dx/(x²-1)]
=-x+(1/2)arctanx-(1/4)ln[(x-1)/(x+1)]+C
