...AB=BC,⊙O为△ABC的外接圆,CD为∠ACB的平分线,CD的延 长线交⊙O于...
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发布时间：2024-10-18 19:45
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时间：9分钟前
证明：（1）如图，设直线OE与CM交于点I，
∵OI⊥NC，
∴CI=NI，
∵在△ECI和△ENI中，
EI=EI ∠EIC=∠EIN CI=NI ，
∴△ECI≌△ENC（SAS），
∴∠ECI=∠ENI，
∵CN平分∠BCA，
∴∠ECI=∠NCA，
∴∠ENI=∠NCA，
∴MN ∥ AC，
（2）如图，连接BN，MC，过E作MC垂线EG，G为垂足．过F作CN垂线，H为垂足，
∵EF ∥ CN，EI⊥NC，
∴IE⊥EF，
∴四边形EFHI为矩形，
∴EI=FH，
∵AB=BC，
∴ BC = AB ，
∵MN ∥ AC，
∴ MC = NA ，
∴ MB = BN ，BE=BQ，
∴∠BCN=∠MCB，
∴CE平分∠MCN，
∴EG=EI，
∴EG=FH，
∵BCN=ENC，
∴∠MCE=∠ECN=∠ENC，
∵∠GEC=90°-∠MCE，∠NPH=90°-∠MNC，
∴∠GEC=∠NPH，即∠GEC=∠FPQ，
∵BE=BQ，
∴∠BEQ=∠BQE，即，∠MEC=∠BQE，
∵∠MEG=∠MEC-∠GEC，∠DFH=∠BQE-∠FPQ，
∴∠MEG=∠DFH，
∵在△MEG和△DFH中，
∠MEG=∠DFH ∠MGE=∠DHF GE=FH ，
∴△MEG≌△DFH（AAS），
∴ME=FD，
∵在△BNE和△MCE中，
∠MEC=∠BEN EC=EN ∠MCE=∠BNE ，
∴△BNE≌△MCE（ASA），
∴BE=ME，
∴BE=FD．
