已知函数f(x)=asinx-x+b(a、b均为正的常数).(1)求证函数f(x)在(0,a...
发布网友
发布时间：2024-10-18 19:35
共1个回答
热心网友
时间：2024-11-07 02:13
（1）证明：∵函数f（x）=asinx﹣x+b，a、b均为正的常数
∴f（0）=b＞0，f（a+b）=asin（a+b）﹣a﹣b+b=a[sin（a+b）﹣1]≤0
∴函数f（x）在（0，a+b]内至少有一个零点；
（2）f′（x）=acosx﹣1，∵函数f（x）在 处有极值，
∴f′（ ）=acos ﹣1=0，
∴a=2
∴f（x）=asinx﹣x+b=2sinx﹣x+b
①不等式f（x）＞sinx+cosx等价于b＞cosx﹣sinx+x对于一切 总成立
设g（x）=cosx﹣sinx+x，
∴g′（x）=﹣sinx﹣cosx+1=
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴g′（x）≥0
∴g（x）=cosx﹣sinx+x在 上是单调增函数，且最大值为﹣1+
欲使b＞cosx﹣sinx+x对于一切 总成立，只需要b＞﹣1+ 即可
②由f′（x）=2cosx﹣1＞0，可得x∈ （k∈Z）
∴函数f（x）单调递增区间为 （k∈Z）
∵函数f（x）在区间（ 上单调递增
∴ ，
∴6k≤m≤1+3k，且m＞0
∵6k≤1+3k，1+3k＞0（k∈Z），
∴ ＜k≤0
∴k=0，0≤m≤1
即实数m的取值范围为[0，1]．
