...x?a|?a2lnx,a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)有两个...
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发布时间：2024-10-18 22:27
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时间：8分钟前
（1）由题意，函数的定义域为（0，+∞），
当a≤0时，f(x)＝|x?a|?a2lnx＝x?a?a2lnx，f′(x)＝1?a2x＞0，
函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），…3分
当a＞0时，f(x)＝|x?a|?a2lnx＝x?a?a2lnx ，x≥aa?x?a2lnx， 0＜x＜a，…5分
若x≥a，f′(x)＝1?a2x＝2x?a2x＞0，此时函数f（x）单调递增，
若x＜a，f′(x)＝?1?a2x＜0，此时函数f（x）单调递减，
综上，当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；
当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，a）；单调递增区间为（a，+∞）． …7分
（2）由（1）知，当a≤0时，函数f（x）单调递增，
此时函数至多只有一个零点，不合题意； …8分
则必有a＞0，此时函数f（x）的单调递减区间为（0，a）；单调递增区间为（a，+∞），
由题意，必须f(a)＝?a2lna＜0，解得a＞1，…10分
由f(1)＝a?1?a2ln1＝a?1＞0，f（a）＜0，
得x1∈（1，a），…12分
而f（a2）=a2-a-alna=a（a-1-lna），
下面证明：a＞1时，a-1-lna＞0
设g（x）=x-1-lnx，x＞1
则g′(x)＝1?1x＝x?1x＞0，
所以g（x）在x＞1时递增，则g（x）＞g（1）=0，
所以f（a2）=a2-a-alna=a（a-1-lna）＞0，
又f（a）＜0，
所以x2∈（a，a2），
综上，1＜x1＜a＜x2＜a2． …16分
