甲、乙、丙三人参加浙江卫视的“我爱记歌词”节目,三人闯关,互不...
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发布时间：2024-10-23 20:53
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时间：2024-11-10 19:16
（1）设甲、乙、丙三人各自过关分别为事件A、B、C
由题设条件有 P(A? B )= 1 4 P(B? C )= 1 12 P(A?C)= 2 9 即 P(A)?(1-P(B))= 1 4 ① P(B)?(1-P(C))= 1 12 ② P(A)?P(C)= 2 9 . ③
由①、③得 P(B)=1- 9 8 P(C) 代入②得 27[P（C）] 2 -51P（C）+22=0．
解得 P(C)= 2 3 或 11 9 （舍去）．
将 P(C)= 2 3 ，分别代入 ③、②可得 P(A)= 1 3 ，P(B)= 1 4 ．
即甲、乙、丙三人各自过关的概率分别是 1 3 ， 1 4 ， 2 3 ．…（6分）
（2）【理科】三人过关的人数可能取值为0，1，2，3．相应地，三人未过关的人数可能取
值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3．…（7分）
P（ξ=3）=P（A?B?C）+P（ . A ? . B ? . C ）=P（A）P（B）P（C）+P ( . A )P( . B )P( . C ) = 2 9
ξ 1 3 P 7 9 2 9 P（ξ=1）=1- 2 9 = 7 9 …（8分）
所以ξ的分布列为：
Eξ=1× 7 9 +3× 2 9 = 13 9 （人）…（10分）
【文科】三人过关的人数可能取值为0，1，2，3．相应地，三人未过关的人数可能取
值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3．
因为P（ξ=3）=P（A?B?C）+P（ . A ? . B ? . C ），
=P（A）P（B）P（C）+P ( . A )P( . B )P( . C ) ）= 2 9 ，
所以ξ取最小值1时，P（ξ=1）=1- 2 9 = 7 9 ．…（10分）
（3）【理科】欲使函数 f(x)=lo g 2 [ξ x 2 -(ξ-1)x+ 1 4 ] 的值域是R，且ξ≠0，
只需ξ＞0且 △=(ξ-1 ) 2 -4×ξ× 1 4 = ξ 2 -3ξ+1≥0 即可．
解得 ξ≤ 3- 5 2 （舍）或 ξ≥ 3+ 5 2 ，那么 P(D)=P(ξ≥ 3+ 5 2 )=P(ξ=3)= 2 9 ，
所以事件D的概率为 2 9 ．（也可以直接将ξ分别取1，3时代入△≥0即可）．…（14分）
【文科】由不等式x 2 -ξx+1＜0（x∈[1，2]），可得 ξ＞x+ 1 x ，
设 g(x)=x+ 1 x ，x∈[1，2] ，g（x）在x∈[1，2]上单调递增，
由题意，只需ξ＞g（x） max =g（2）=2.5即可．
所以 P(D)=P(ξ＞2.5)=P(ξ=3)= 2 9 ．…（14分）
