【高考】用分析法证明:若a>0,则根号(a^2+1/a^2)-根号2≥a+(1/a)-2...

发布网友 发布时间:2024-10-23 19:20

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热心网友 时间:2024-11-09 22:53

题目:【高考】用分析法证明:若a>0,则a^2+1/a^2 -√2>a+1/a-2.
证明:要证a^2+1/a^2 -√2>a+1/a-2.
只要证a^2+1/a^2 +2>a+1/a+√2.也即〖(a+1/a)〗^2>a+1/a+√2
令a+ 1/a=t,则不等式转化为t^2-t-√2>0,其中a+ 1/a=t≥2√a∙1/a=2.
令f(t)= t^2-t-√2,(t≥2)
配方得:f(t)=〖(t-1/2)〗^2-1/4-√2,所以二次函数的对称轴为x=1/2,所以f(t)在区间(1/2,+∞)为增函数。
因此〖f(t)〗_min=f(2)=2-√2>0.
所以:f(t)>0即a^2+1/a^2 -√2>a+1/a-2.(得证)

热心网友 时间:2024-11-09 22:48

楼下的都错了,看题- -题上第一个括号是在根号下的
设a+(1/a)为x…………当a>0时x大于等于2
若证*……#*(……%
即证 根号(x^2-2)-x≥(√2)-2 “√”是根号
对“根号(x^2-2)-x”求导,等于[x-根号(x^2-2)]/根号(x^2-2),根号(x^2-2)恒大于0(因为x大于等于2),根号(x)大于根号(x-2),所以导数大于0,原函数单调递增
所以原函数在x=2处取得最小值,最小值为根号(4-2)-2=(√2)-2
所以根号(x^2-2)-x≥(√2)-2
所以根号(a^2+1/a^2)-根号2≥a+(1/a)-2成立。

热心网友 时间:2024-11-09 22:50

热心网友 时间:2024-11-09 22:52

题目:【高考】用分析法证明:若a>0,则a^2+1/a^2 -√2>a+1/a-2.
证明:要证a^2+1/a^2 -√2>a+1/a-2.
只要证a^2+1/a^2 +2>a+1/a+√2.也即〖(a+1/a)〗^2>a+1/a+√2
令a+ 1/a=t,则不等式转化为t^2-t-√2>0,其中a+ 1/a=t≥2√a∙1/a=2.
令f(t)= t^2-t-√2,(t≥2)
配方得:f(t)=〖(t-1/2)〗^2-1/4-√2,所以二次函数的对称轴为x=1/2,所以f(t)在区间(1/2,+∞)为增函数。
因此〖f(t)〗_min=f(2)=2-√2>0.
所以:f(t)>0即a^2+1/a^2 -√2>a+1/a-2.(得证)

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