合法变更孩子监护权的方式有协议变更和诉讼变更。对监护人的确定有争议，可以由居民委员会、村民委员会或民政部门指定监护人，也可以直接向法院申请指定监护人。需要提交的证据材料包括离婚判决书、抚养条件证明、医疗证明、邻居朋友证明、租赁合同、债权债务关系证明、工作单位证明等。
法律分析
一、怎么合法的变更孩子的监护权
1、合法的变更孩子的监护权的方式有协议变更和诉讼变更。对监护人的确定有争议的，由被监护人住所地的居民委员会、村民委员会或者民政部门指定监护人，有关当事人对指定不服的，可以向人民法院申请指定监护人；有关当事人也可以直接向人民法院申请指定监护人。
2、法律依据：《中华人民共和国民法典》第三十一条
对监护人的确定有争议的，由被监护人住所地的居民委员会、村民委员会或者民政部门指定监护人，有关当事人对指定不服的，可以向人民法院申请指定监护人；有关当事人也可以直接向人民法院申请指定监护人。居民委员会、村民委员会、民政部门或者人民法院应当尊重被监护人的真实意愿，按照最有利于被监护人的原则在依法具有监护资格的人中指定监护人。
二、变更监护权需要提交哪些证据材料
1、离婚判决书、调解书或婚姻登记机关的证明；
2、各自抚养子女有利或不利条件的证明：
如对方患有严重疾病或伤残的，需要医疗及医学鉴定部门出具相关的证明材料；与对方的邻居、朋友处请求其出具对方长期不良嗜好的证明，或者请求其出具对方未尽到抚养义务、虐待子女的说明；如经常变更居住地，可向对方租房的房屋所有权人了解其签订租赁合同的情况；如因对方拖欠债权人的债务，可向对方的债权人请求其出具存在债权债务关系的证明；如果对方经济困难，不利于继续抚养孩子的，可到对方的工作单位，请求工作单位出具相关的证明材料以证明其收入及工作变动情况。
结语
合法变更孩子的监护权有协议变更和诉讼变更两种方式。对监护人的确定有争议，可由居民委员会、村民委员会或民政部门指定监护人，当事人不服可向法院申请指定监护人。变更监护权需提供离婚判决书、调解书或婚姻登记机关证明，以及各自抚养子女的有利或不利条件的证明材料。例如医疗证明、邻居朋友证明、租赁合同、债权债务关系证明、工作单位证明等。法律依据为《中华人民共和国民法典》第三十一条。
法律依据
中华人民共和国民法典：第二章自然人第二节监护第三十一条对监护人的确定有争议的，由被监护人住所地的居民委员会、村民委员会或者民政部门指定监护人，有关当事人对指定不服的，可以向人民法院申请指定监护人；有关当事人也可以直接向人民法院申请指定监护人。
居民委员会、村民委员会、民政部门或者人民法院应当尊重被监护人的真实意愿，按照最有利于被监护人的原则在依法具有监护资格的人中指定监护人。
依据本条第一款规定指定监护人前，被监护人的人身权利、财产权利以及其他合法权益处于无人保护状态的，由被监护人住所地的居民委员会、村民委员会、法律规定的有关组织或者民政部门担任临时监护人。
监护人被指定后，不得擅自变更；擅自变更的，不免除被指定的监护人的责任。
中华人民共和国民法典：第二章自然人第二节监护第三十七条依法负担被监护人抚养费、赡养费、扶养费的父母、子女、配偶等，被人民法院撤销监护人资格后，应当继续履行负担的义务。
中华人民共和国反家庭暴力法：第三章家庭暴力的处置第二十一条监护人实施家庭暴力严重侵害被监护人合法权益的，人民法院可以根据被监护人的近亲属、居民委员会、村民委员会、县级人民政府民政部门等有关人员或者单位的申请，依法撤销其监护人资格，另行指定监护人。
被撤销监护人资格的加害人，应当继续负担相应的赡养、扶养、抚养费用。