信号处理-习题(答案)

2.1 有一个理想采样系统，其采样角频率Ωs=6π，采样后经理想低通滤波器Ha(jΩ)还原，其中

1，3 Ha(j)20，3现有两个输入，x1(t)=cos2πt，x2(t)=cos5πt。试问输出信号y1(t)，

y2(t)有无失真？为什么？

分析：要想时域采样后能不失真地还原出原信号，则采样角频率Ωs必须大于等于信号谱最高角频率Ωh的2倍，即满足Ωs≥2Ωh。 解：已知采样角频率Ωs=6π，则由香农采样定理，可得 因为x1(t)=cos2πt，而频谱中最高角频率h216所以y1(t)3，

2无失真；

因为x2(t)=cos5πt，而频谱中最高角频率h526所以y2(t)3，

2失真。

2.2 设模拟信号x(t)=3cos2000πt +5sin6000πt +10cos12000πt，求：

（1） 该信号的最小采样频率；

（2） 若采样频率fs=5000Hz，其采样后的输出信号； 分析：利用信号的采样定理及采样公式来求解。 1采样定理 ○

采样后信号不失真的条件为：信号的采样频率fs不小于其最高频

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率fm的两倍，即

fs≥2fm

2采样公式 ○

x(n)x(t)tnTx(nTs)

s解：（1）在模拟信号中含有的频率成分是

f1=1000Hz，f2=3000Hz，f3=6000Hz

∴信号的最高频率fm=6000Hz

由采样定理fs≥2fm，得信号的最小采样频率fs=2fm =12kHz （2）由于采样频率fs=5kHz，则采样后的输出信号

x(n)x(t)tnTnx(nTs)xfss1363cos2n5sin2n10cos2n5551213cos2n5sin21n10cos21n 5551213cos2n5sin2n10cos5525n1213cos2n5sin525n说明：由上式可见，采样后的信号中只出现1kHz和2kHz的频率成分，

即

11000f1，55000fs22000f2，55000fsf11kHz

f22kHz若由理想内插函数将此采样信号恢复成模拟信号，则恢复后的模拟信号

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y(t)13cos2f1t5sin2f2t13cos2000t5sin4000t

可见，恢复后的模拟信号y(t) 不同于原模拟信号x(t)，存在失真，这是由于采样频率不满足采样定理的要求，而产生混叠的结果。

第三章 傅里叶分析

I. 傅里叶变换概述

3.1 [习题3.2]设序列x(n)=δ(n-m)，求其频谱X(ejω)，并讨论其幅频和相频响应

分析：求解序列的频谱有两种方法：

1先求序列的z变换X(z)，○再求频谱X(ej)X(z)ze，即X(ejω)为单

j位圆上的z变换； 2直接求序列的傅里叶变换 ○

X(e)jnx(n)ejn

解：对序列x(n)先进行z变换，再求频谱，得

X(z)ZT[x(n)]ZT[(nm)]zm

则X(ej)X(z)zeejm

j若系统的单位采样响应h(n)=x(n)，则系统的频率响应

H(ej)X(ej)ejm1•ejmH(ej)exp{j()}

故其幅频和相频响应（如图）分别为

幅频响应 H(ej)1 相频响应 ()m

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1 H(ej) ωφ(ω)

ω

ω 由图可见，该系统的频率响应具有单位幅值以及线性相位的特点。 3.2 设x(n)的傅里叶变换为X(ejω)，试利用X(ejω)表示下列序列的傅里叶变换：

x1(n)x(1n)x(1n) （1）

（2） x2(n)[x(n)x(n)]

分析：利用序列翻褶后的时移性质和线性性质来求解，即

x(n)X(ej)，x(n)X(ej)

12 x(mn)ejmX(ej)

解：（1）由于DTFT[x(n)]X(ej)，DTFT[x(n)]X(ej)，则

DTFT[x(1n)]ejX(ej) DTFT[x(1n)]ejX(ej)

故DTFT[x1(n)]X(ej)[ejej]2X(ej)cos （2）由于DTFT[x(n)]X(ej)

X(ej)X(ej)Re[X(ej)] 故DTFT[x2(n)]23.3 设X(ejω)是如图所示的信号x(n)的傅里叶变换，不必求出X(ejω)，试完成下列计算：

X(ej0) （1）

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j（2） X(e)d

（3） X(e)d

j2

分析：利用序列傅里叶变换的定义以及帕塞瓦定理来求解。 （1） 序列的傅里叶变换公式为：

正变换 X(e)jnx(n)ejn

反变换 x(n)（2） 帕塞瓦定理

12X(ej)ejnd

nx(n)212X(ej)d

2解：（1）由傅里叶正变换公式可知ω=0，则

X(e)j0nx(n)ej0nnx(n)6

（2）由于ej0=1，则由傅里叶反变换公式可知n=0，故

X(ej)dX(ej)ej0d2x(n)n0224

（3） 由帕塞瓦定理，得

X(e)d2j2nx(n)28

2II. 周期序列的离散傅里叶级数（DFS）

3.4 如图所示，序列x(n)是周期为6的周期性序列，试求其傅里叶级数的系数。

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分析：利用DFS的定义求解，即

N1~kn~X(k)DFS[x(n)]~x(n)WN，其中k = 0 ~ (N-1)

n0解：已知N = 6，则由DFS的定义得

55j~kn~X(k)x(n)W6~x(n)en0n0j2k6j22k62nk6

8ej23k61412e10e6ej24k610ej25k6对上式依次取k = 0 ~ 5，计算求得

~~X(0)60，X(1)9j33，~~X(3)0，X(4)3j3，~X(2)3j3 ~X(5)9j33n1，0n43.5 设x(n)，h(n)R4(n2)

其他n0，x(n)x((n))6，h(n)h((n))6，试求~令~x(n)与h(n)的周期卷积。

~~分析：可以利用列表法求解，直观方便。由于

N1~~~~*h(n)~x(m)h(nm) y(n)x(n)○

m0只要将列表中对应于某个n的一行中的h(nm)值和第一行中与之对应的~y(n)值 x(m)值相乘，然后再将所有乘积结果相加，就得到此n的~解：

~注意：本题需要利用下一节中有限序列与周期序列的关系以及序．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

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列循环移位的概念。 ．．．．．．．．．

在一个周期（N=6）内的计算卷积值

N1~~~~*h(n)~x(m)h(nm) y(n)x(n)○

m0则~x(n)与h(n)的周期卷积~y(n)值（n=0~5）如下表所示：

~III. 离散傅里叶变换（DFT）

3.6 已知x(n)如图所示，为{1，1，3，2}，试画出序列x((-n))5，

x((-n))6 R6(n)，x((n))3 R3(n)，x((n))6， x((n-3))5R5(n) 和x((n))7 R7(n)的略图。

分析：

此题需注意周期延拓的数值，也就是x((n))N中N的数值。如果

N比序列的点数多，则需补零；如果N比序列的点数少，则需将序列

按N为周期进行周期延拓，造成混叠相加形成新的序列。 解：

各序列的略图如图所示。

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3.7 试求下列有限长序列的N点离散傅里叶变换（闭合形式表达式）：

x(n)anRN(n) （1）

x(n)(nn0)，0n0N （2）

x(n)nRN(n) （3）

x(n)n2RN(n) （4）

分析：利用有限长序列的DFT的定义，即

knX(k)x(n)WN，n0N10kN1

解：（1）因为x(n)anRN(n)，所以

X(k)aWnn0N1knNaenn0N1j2nkN1aN1aej2kN

（2）因为x(n)(nn0)，0n0N，所以

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knX(k)(nn0)WNn0knWNjN1nn0

e2n0kN（3）由x(n)nRN(n)，得

knX(k)nWN

n0N1注意：为了便于求解，必须利用代数简化法消除掉上式中的变量。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．n．．

k(n1)WX(k)nWN kNn0N1则X(k)(1W)nWkNn0N1knNk(n1)nWNn0N1k2k3kk(N1)[WN2WN3WN(N1)WN]2k3kk(N1)kN[WN2WN(N2)WN(N1)WN](N1)Wn1N1knN

kWN1(N1)k1WNN所以

X(k)N k1WN（4）注意：本题可利用上题的结论来进行化简。 ．．．．．．．．．．．．．．．．

由x(n)n2RN(n)，则

knX(k)n2WN

n0N1根据第（3）小题的结论：若x1(n)nRN(n) 则

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X1(k)nWNknn0N1N k1WN与上题同理，得

X(k)(1W)nWkN2n0N1knNk(n1)n2WNn0N1k2k3kk(N1)[WN4WN9WN(N1)2WN]2k3kk(N1)kN[WN4WN(N2)2WN(N1)2WN]kn(N1)(2n1)WN2n1knN(N2)2nWNn1N1N1

N(N2)2X1(k)N(N2)2Nk1WN所以

kN(N2)WNN2X(k)，0kN1 k2(1WN)3.8 试画出图示的两个有限长序列的六点循环卷积。

分析：本题可以直接利用循环卷积的公式求解，也可以利用循环移位的概念来求解，即：

有限长序列x(n)左移m（m为正整数）位的循环移位定义为

xm(n)x((nm))NRN(n)

且移位时，在主值区间（n=0~N-1）内，当某序列值从区间的一端移出时，与它同值的序列值又从区间的另一端移入。 解：由循环卷积的定义，可知

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6x2(n)[x1((n))6○*x2((n))6]R6(n) y(n)x1(n)○

*3((n3))6]R6(n) [x1((n))6○

3x1((n3))6R6(n)

则根据循环移位的概念，将序列x1(n)循环右移3个单位后乘以3并取其主值序列（n=0~5）即可，其结果如图所示。

3.9 如图所示的5点序列x(n)，试画出： （1） x(n)*x(n) 5x(n) （2） x(n)○10x(n) （3） x(n)○

分析：本题可由图解法来计算循环卷积，并利用循环卷积来求解线性卷积。同时应注意循环卷积代替线性卷积的条件：

设两个有限长序列x(n)、h(n)的点数分别为N和M，其循环卷积的长度为L，则要用循环卷积代替线性卷积的条件是：循环卷积的长度L必须不小于线性卷积的长度N+M-1，即

L≥N+M-1

否则，在循环卷积周期延拓时会产生混叠。

解：由于x(n)是5点序列，所以x(n)* x(n)是5+5-1=9点序列，因

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10 x(n)的前9个点（n=0，1，…，8）就是x(n)* x(n)值，此，x(n)○

后一个点（n=9）为零，因为L点循环卷积等于线性卷积结果的L点周期延拓、混叠相加后的主值区间内的序列（L可以是任意整数值）。其运算结果分别如图（a）、（b）、（c）所示。

3.10 已知两个有限长序列为

n1，0n3x(n)4n60，

1，0n4y(n)5n61，7y(n)。 试作图表示x(n)，y(n)以及f(n) =x(n)○分析：直接利用循环卷积公式或图解法求解。 解：其结果如图所示。

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3.11 [习题3.10]已知x(n)是N点有限长序列，且X(k) = DFT[x(n)]。现将它补零扩展成长度为rN点的有限长序列y(n)，即

x(n)，0nN1 y(n)0，NnrN1试求rN点DFT[y(n)]与X(k)的关系。 分析：

利用DFT定义求解。y(n)是rN点序列，因而结果相当于在频域序列进行插值。 解：由

X(k)DFT[x(n)]x(n)en0N1j2nkN，0kN1

可得

rN1Y(k)DFT[y(n)]x(n)en0N1jy(n)Wn0nkrNnkx(n)WrNn0N12knNrkX，klr，l0，1，，N1r

所以在一个周期内，Y(k)的采样点数是X(k)的r倍（Y(k)的周期为rN），相当于在X(k)的每两个值之间插入r-1个其它的数值（不

k一定为零），而当k为r的整数l倍时，Y(k)与X相等。

r3.12 [习题3.12]频谱分析的模拟信号以8kHz被采样，计算了512

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个采样点的DFT，试确定频谱采样之间的间隔，并证明你的回答。 分析：

利用频域采样间隔F0和时域采样频率fs以及采样点数N的关系

fs=N F0。

证：由

fss，F00 22得

fss F00其中Ωs是以角频率为变量的频谱周期，Ω0是频谱采样之间的频谱间隔。

又

fssN F00则

F0fs N对于本题有fs=8kHz，N=512 所以 F0800015.625Hz 5123.13 [习题3.20]设有一个频谱分析用的信号处理器，采样点数必须为2的整数幂，假定没有采用任何特殊数据处理措施，要求频率分辨力≤10Hz，如果采用的采样时间间隔为0.1ms，试确定： （1） 最小记录长度；

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（2） 所允许处理信号的最高频率； （3） 在一个记录中的最小点数。 分析：

采样间隔T和采样频率fs满足fs=1/T，记录长度T0和频域分辨力F0的关系为T0=1/ F0，采样定理为fs≥2f（，hfh为信号最高频率分量）一个记录中最少的采样总数N满足

NT0fs2fh TF0F0解：

（1）因为T0=1/ F0，而F0≤10Hz，所以

T01s 10即最小记录长度为0.1s。 （2）因为fs所以

fh1fs5kHz 21110310kHz，而fs≥2fh T0.1即允许处理信号的最高频率为5kHz。 （3）NT00.11031000 T0.1又因N必须为2的整数幂

所以一个记录中的最少点数为N=210=1024。 IV. 快速傅里叶变换（FFT）

3.14 如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘5μs，每次复加0.5μs，用它来计算512点的DFT[x(n)]，问直接计算需要多少时间，

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用FFT运算需要多少时间？ 分析：

1直接利用DFT计算：复乘次数为N 2，复加次数为N(N-1)； ○

2利用FFT计算：复乘次数为Nlog2N，复加次数为Nlog2N； ○

2解：

（1）直接计算

复乘所需时间T15106N2510651221.31072s 复

加

所

需

时

间

T20.5106N(N1)0.5106512(5121)0.130816s

所以

TT1T21.441536s

（2）用FFT计算 复乘所需时间T15106N512log2N5106log25120.01152s 22复加所需时间T20.5106Nlog2N0.5106512log25120.002304s 所以

TT1T20.013824s

3.15 已知X(k)，Y(k)是两个N点实序列x(n)，y(n)的DFT值，今需要从X(k)，Y(k)求x(n)，y(n)的值，为了提高运算效率，试用一个N点IFFT运算一次完成。 分析：

我们来组成一个新的序列X(k)+jY(k)序列，则有

IDFT[X(k)jY(k)]IDFT[X(k)]jIDFT[Y(k)]x(n)jy(n)

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它的实部即为实序列x(n)，虚部即为实序列y(n)。 解：

依据题意，可知

x(n)X(k)，y(n)Y(k)

取序列

Z(k)X(k)jY(k)

对Z(k)作N点IFFT可得序列z(n)。

又根据DFT线性性质

IDFT[X(k)jY(k)]IDFT[X(k)]jIDFT[Y(k)]x(n)jy(n)

由原题意可知，x(n)，y(n)都是实序列。 再根据z(n) = x(n)+j y(n)，可得

x(n)Re[z(n)]y(n)Im[z(n)]

3.16 [习题3.22, 3.23]N=16时，画出基-2按时间抽取法（DIT）及按频率抽取法（DIF）的FFT流图（时间抽取采用输入倒位序，输出自然数顺序，频率抽取采用输入自然顺序，输出倒位序）。 分析：

1DIF法与DIT法的异同： ○

不同点：DIT与DIF的基本蝶形图不同，DIF的复数乘法出现在减法之后，DIT的复数乘法出现在减法之前；

相同点：DIT与DIF的运算量是相同的；

2DIF法与DIT法的关系：它们的基本蝶形是互为转置的。 ○解：

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（1）按时间抽取（DIT）如图所示

（2）按频率抽取（DIF）如图所示

3.17 [课堂思考题]若x1(n),x2(n)是因果稳定序列，求证：

12X1(ej)X2(ej)d{12X1(ej)d}{12X2(ej)d}

证：设y(n)x1(n)x2(n) 则由时域卷积定理，得

Y(ej)X1(ej)X2(ej)

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即

x1(n)x2(n)y(n)1212Y(ej)ejnd

X1(ej)X2(ej)ejnd令上式的左右两边n=0，得

12X1(e)X2(e)dx1(n)x2(n)n0x1(0)x2(0)jjnx1(k)x2(nk)k0n0

又傅里叶反变换公式，得

x1(n)12X1(ej)ejnd，x2(n)12X2(ej)ejnd

则

1x1(0)21X1(e)d，x2(0)2jX2(ej)d

所以

12X1(ej)X2(ej)d{12X1(ej)d}{12X2(ej)d}

3.18 [课堂思考题]在N=16时按时间抽取的基-2FFT算法中，若输入序列x(n)采用倒位序，输出序列X(k)采用自然数顺序，试写出输入序列x(n)的排列顺序，并简述理由。

答：N=16的基-2FFT算法中，输入序列x(n)倒位序排列顺序为x(0)、

x(8)、x(4)、x(12)、x(2)、x(10)、x(6)、x(14)、x(1)、x(9)、x(5)、x(13)、x(3)、x(11)、x(7)、x(15)。

其倒位序排序规则如表所示：

自然顺序n 自然顺序二进制数 倒位序二进倒位序顺制数 序n ^第 19 页 共 33 页

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 0000 1000 0100 1100 0010 1010 0110 1110 0001 1001 0101 1101 0011 1011 0111 1111 0 8 4 12 2 10 6 14 1 9 5 13 3 11 7 15 第五章 时域分析

5.1 随机相位正弦波

x(t)x0sin(t)

式中，x0,ω均为常数，φ在0~2π内随机取值，试求其自相关函数并作图。

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分析：

利用自相关函数的定义求解，即

Rxx()lim1Tx(t)x(t)dt 0TT解：由自相关函数的定义式，得

1TRxx()limx(t)x(t)dtTT01T/22limx0sin(t)sin(t)dtTTT/2令t则dt1d，且T2

2x02故Rxx()limsincossincossindT22x0cos2可见，该随机相位正弦波的自相关函数只与角频率ω有关，而不含相．．．位信息，这表明：正弦函数的自相关函数为失去了相位信息的同频率．．．余弦函数。

其自相关函数图形如图所示。

5.2 两个随机相位正弦波

x(t)A0sin(t)y(t)B0sin(t)τ x02/2 Rxx(τ)

式中，A0, B0,ω, φ均为常数，θ在0~2π内的取值概率相同，即满

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足

12，02 p()其它0，试求其互相关函数并作图。 分析：

利用互相关函数的定义求解，即

Rxy()lim1Tx(t)y(t)dt 0TT解：由互相关函数的定义式，得

Rxy()lim1Tx(t)y(t)dt0TT12A0B0sin(t)sin(t)d 021A0B0cos()2可见，两个正弦函数的互相关函数仍为同频率的余弦函数，其最大峰值出现在τ=φ/ω处。

其互相关函数图形如图所示。 R(τ) xy

第六章 数字滤波器设计

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φ/ω τ 6.1 已知模拟滤波器的模方函数

20(42)2 H(j)22(9)(16)2求模拟滤波器的传递函数。

分析：利用模拟滤波器的模方函数|H(jΩ)|2与其传递函数H(s)之间的关系式求解，即

H(j)H(s)22sjH(s)H(s)sj

解：将s=jΩ，即Ω2 = s2代入|H(jΩ)|2，得

20(4s2)225(sj2)2(sj2)2 H(s)H(s)H(s)2(s9)(s216)(s3)(s3)(s4)(s4)22可见，系统有四个极点s1, 2=±3，s3, 4=±4和两对零点z1, 2=±j2。

为了得到一个稳定的滤波系统，则将左半平面的极点分配给

H(s)；并取虚轴上的一对共轭零点作为H(s)的零点，以保证H(s)收

敛，故模拟滤波器的传递函数为

H(s)25(sj2)(sj2)

(s3)(s4)6.2 试设计一个巴特沃思（BW）低通模拟滤波器，使滤波器的幅度响应在通带截止频率105rad/s处的衰减不大于3 dB，在阻带截止频率4×105 rad/s处的衰减不小于35 dB。

分析：按照§6.2中所述的巴特沃思低通滤波器的设计过程来实现。

1先确定滤波器的阶数N ○

由于[公式1]

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p(p)10lg[1pc2N]令pcc10lg1N2s(s)10lg[1sc2N]令sN10lg12 求解，则滤波器的阶数[公式2]

Nlg/[注意：N为正整数] lgps且截止频率[公式3]

c1/Np或c1/Ns

2求解位于左半S平面上的极点[公式4] ○

skcej2kN12N，k1,2,,2N

3确定N阶巴特沃斯低通滤波器的传递函数[公式5] ○

H(s)NcNNc ss1ss2ssNsskk11先确定滤波器的阶数N 解：○

由题意可知，Ωp=105rad/s时，通带最大衰减αp=3 dB

Ωs=4×105rad/s时，阻带最小衰减αs=35 dB

则代入[公式1]，求得参数γ和λ

221p(p)10lg1310lg1 2256.23510lg1s(s)10lg1将参数γ、λ、Ωp和Ωs代入[公式2]，则滤波器的阶数

Nlg/2.9取N3

lgps将参数N、γ和Ωp代入[公式3]，可得截止频率

c1/Npp105rad/s

2求解位于左半S平面上的极点 ○

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将参数Ωc和N代入[公式4]，得极点

skcecej2kN1j(k1)/32N

，k1,2,3即

s1cej2/3(1j3)c/2s2cejcs3cej4/3(1j3)c/2

3确定巴特沃斯低通滤波器的传递函数H(s) ○

将参数N、Ωc和sk代入[公式5]，得巴特沃斯低通滤波器的传递函数（式中Ωc=105rad/s）

H(s)NcNsskk133cc 32ss1ss2ss3s2cs2c2s3c6.3 试导出二阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数，设Ωc =3 rad/s。 分析：本题利用模方函数求出其左半S平面极点，而求得系统函数。

N阶巴特沃斯低通滤波器的模方函数定义为

H(j)211jjc2N

在上式中代入jΩ= s，可得

H(s)H(s)1 2N1sjc而H(s)H(-s)在左半S平面的极点即为H(s)的极点，因此

H(s)k0Nsskk1

其中skcej2kN12N，k1,2,,N，k0由H(s)s01来确定。

注意：可以证明，系数k0=ΩcN。

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解：对于二阶（N=2）巴特沃斯低通滤波器，其模方函数为

H(j)211jjc2N1 41jjc令jΩ= s，则有

H(s)H(s)1 41sjc各极点满足

skcej2kN12Ncej2k14，k1,2,3,4

则k=1, 2时，所得的sk位于左半S平面，即为H(s)的极点

s1ces2ce3j45j43232j22 3232j22由以上两个极点构成的系统函数为

H(s)k0k02

ss1ss2s32s9代入条件H(s)s01，可得k0 =9 [注：k0 =Ωc2]，故二阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数

H(s)9s32s92

6.4 试导出三阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数，设Ωc =2 rad/s。 分析：与习题6. 3同理，利用模方函数求出其左半S平面极点，而求得系统函数。

解：对于三阶（N=3）巴特沃斯低通滤波器，其模方函数为

H(j)211jjc2N1 61jjc第 26 页 共 33 页

令jΩ= s，则有

H(s)H(s)1 61sjc各极点满足

skcej2kN12N2ejk13，k1,2,,6

不难得知，当k=1, 2, 3时，相应的极点sk均位于左半S平面。

则滤波器的系统函数H(s)的极点

s12e2j31j3s22ej2s32e4j3

1j3因此，三阶巴特沃斯低通滤波器的系统函数为

38c H(s)32ss1ss2ss3s4s8s86.5 设模拟滤波器的系统函数为

H(s)sa 22(sa)b试利用冲激响应不变法，设计IIR数字低通滤波器。

分析：利用冲激响应不变法，设计IIR数字低通滤波器的过程如图所给定取拉氏示

解：将H(s)展开成部分分式，得

H(s)sa1/21/2

(sa)2b2sajbsajb第 27 页 共 33 页

指标 确定AF的反变换 传函H(s) 求解AF的单位采样 获得DF的单位冲Z变换 获得DF的冲激响应h(t) 令t=nT 激响应序列h(n) 传函H(z) 对H(s)取拉氏反变换，得

h(t)1(ajb)t1(ajb)t ee22对h(t)作周期为T的等间隔采样，得

h(n)h(t)tnT1(ajb)nTee(ajb)nT 2对h(n)取Z变换，得IIR数字低通滤波器的系统函数为

H(z)h(n)znn0111(ajb)T12z1e(ajb)Tz11e1(ecosbT)z1(2eaTcosbT)z1e2aTz2aT1

6.6 设有一模拟滤波器

H(s)1s2s1

采样周期T=2，试用双线性变换法将它转变为数字系统函数H(z)。 分析：双线性变换法是模拟系统函数的S平面和数字系统函数的Z平面之间是一一对应的关系，消除了频谱的混叠现象，其变换关系为

21z1s 1T1z解：将T=2代入变换公式，可得

1z1s 1z1则数字系统函数

H(z)H(s)s1z1121z111z1z1z11z11121

1z3z16.7 用双线性变换法设计一个数字低通滤波器，采样频率fs =

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1.2kHz，截止频率fc = 400Hz。

分析：按照§6.3中所述的采用双线性变换法的设计过程来实现。

1利用关系式ω=TΩ将给定的模拟域频率指标转化为数字域频○率指标

2利用如下的预畸变补偿公式将数字域频率指标变换为补偿后○．．．的模拟域频率指标 ．

2tan T23按补偿后的○模拟域频率指标设计三阶巴特沃斯模拟滤波器．．．．

H(s)[参见例6.2.4]

4利用双线性变换公式，将模拟滤波器H(s)变换为数字滤波器○

H(z)，即

H(z)H(s)s21z1（T为采样周期） ．．．．．．

T1z1解：此数字滤波器的截止频率

ccT2fc1122400 fs12003由预畸变补偿，得相应的模拟滤波器的截止频率

c2tancT22ftan23fs s3由习题6. 4可知，三阶巴特沃斯模拟滤波器的系统函数

3c H(s)ss1ss2ss3其中，滤波器的系统函数H(s)的极点

s1ce2j3，s2ce，s3ce第 29 页 共 33 页

j4j3

故有

3c H(s)3223s2cs2csc将双线性变换公式和c23fs代入，可得三阶巴特沃斯数字滤波器的系统函数

H(z)H(s)s21z1H(s)s2fT1z11z1s1z113c(1z)3

321212113(2fs)3(1z1)321z1)2c(2fs)(1z)(1z)2c(2fs)(1z)(c(1z)233(1z1)3(1z1)323(1z1)2(1z1)6(1z1)(1z1)233(1z1)36.8 请选择合适的窗函数及窗宽N来设计一个线性相位低通滤波器

ej，0c Hd(e)c0，j要求其阻带最小衰减为 45 dB，过渡带宽为8π/51，试求出h(n)（设截止频率ωc =0.5π）。

分析：本题是真正实用的设计题，从中可以看到阻带衰减影响窗形状的选择（当然用凯塞窗则可改变β来满足阻带衰减的要求），而窗宽

N的选择则影响过渡带宽。

按照§6.4中所述的线性相位FIR数字低通滤波器的设计步骤来实现。

1给定所要求的理想频率响应函数Hd(ejω)； ○

2确定相应的理想脉冲响应序列 ○

hd(n)IDTFTHd(ej)12Hd(ej)ejnd

3由阻带最小衰减及过渡带宽的要求，利用表6.4.1（参见教材○

P156表4.4.1），确定窗函数w(n)的形状及其宽度N；

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表6.4.1 常用窗函数及加窗后FIR滤波器的特性

旁瓣峰值窗函数 （dB） 矩形窗 三角形窗 汉宁窗 哈明窗 布莱克曼窗 凯塞窗（β-57 =7.865） —— 10π/N -80 -13 -25 -31 -41 -57 度 4π/N 8π/N 8π/N 8π/N 12π/N 1.8π/N 4.2π/N 6.2π/N 6.6π/N 11π/N 主瓣宽过渡带宽 （dB） -21 -25 -44 -53 -74 阻带最小衰减结论：过渡带的宽度随窗宽的增加而减小，而阻带最小衰减则仅由．．．．．．．．．N．．．．．．．．．．．．．．．．．．

窗的形状决定，不受的影响。 ．．．．．．．．．N．．．．．

4求得所设计的FIR滤波器的单位脉冲响应 ○

h(n)hd(n)w(n)，n0,1,,N1

5计算FIR滤波器的频率响应 ○

H(e)DTFTh(n)h(n)ejnjn0N11Hd(ej)W(ej)2

检验是否满足设计要求，如不满足，则需重新设计。

解：根据题目所给的低通滤波器频响的表达式Hd(ejω)，可得其脉冲响应序列

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1hd(n)IDTFTHd(e)21cjjneed2csincnc•cnjHd(ej)ejnd

式中，截止频率ωc =0.5π，延时α= (N1)/2 =21。

因为题目要求设计的低通滤波器的阻带最小衰减为 45 dB，对照教材P156表4.4.1可知，矩形窗、三角形窗、汉宁窗都不符合条件，所以应该选择哈明窗。

由于加窗后滤波器的过渡带宽（见表4.4.1）应小于所需的过渡带宽，即

6.68N51 N42.075这里选窗宽N = 43，以满足要求。

由于哈明窗函数

2nw(n)0.540.46coswR(n)

N1则所设计的FIR滤波器的单位脉冲响应

h(n)hd(n)w(n)nsin0.5n210.540.46cos，n0,1,,42 •21n210，其它6.9 用矩形窗设计一个FIR线性相位低通数字滤波器。已知ωc =0.5π，N = 21，试求出h(n)。

分析：本题给定的是理想线性低通滤波器，故

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ej，cc Hd(e)c，c0，j解：因为理想线性低通滤波器的脉冲响应序列

hd(n)IDTFTHd(ej)1212Hd(ej)ejnd•cejejndc

csincncn式中，截止频率ωc =0.5π，延时α= (N1)/2 =10。

由于矩形窗函数

1，0nN1 wR(n)0，其它则所设计的FIR滤波器的单位脉冲响应

h(n)hd(n)wR(n)sinn102sinn2，n0,1,,20 n10n100，其它第 33 页 共 33 页