初中数学方程与不等式之二元一次方程组难题汇编附答案

一、选择题

1．用四个完全一样的长方形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，若已知大正方形的面积是196，小正方形的面积是4，若用x,yxy表示长方形的长和宽，则下列四个等式中不成立的是（ ）

A．xy14 C．x2y2196 【答案】C 【解析】 【分析】

B．xy2 D．xy48

根据大正方形及小正方形的面积，分别求出大正方形及小正方形的边长，然后解出x、y的值，即可判断各选项． 【详解】

由题意得，大正方形的边长为14，小正方形的边长为2 ∴x+y=14，x−y=2， 则xy14 ，

xy2解得：x8 ， y6故可得C选项的关系式符合题意. 故选C. 【点睛】

此题考查二元一次方程组的应用，解题关键在于理解题意找出等量关系.

2．若A．15 【答案】B 【解析】 【分析】

把方程组的解代入方程组可得到关于a、b的方程组，解方程组可求a，b，再代入可求（a+b）（a-b）的值． 【详解】

是关于x、y的方程组

B．﹣15

的解，则(a+b)(a﹣b)的值为( ) C．16

D．﹣16

解：∵是关于x、y的方程组的解，

∴解得

∴（a+b）（a-b）=（-1+4）×（-1-4）=-15． 故选：B． 【点睛】

本题考查方程组的解的概念，掌握方程组的解满足方程组中的每一个方程是解题关键．

3．二元一次方程3x4y20的正整数解有（ ） A．1组 【答案】A 【解析】 【分析】

通过将方程变形，得到以x的代数式，利用倍数逻辑关系，枚举法可得． 【详解】

B．2组

C．3组

D．4组

3x ，x,y 是正整数． 4∴根据题意，x是4的倍数，则x0，y5（不符题意）；x4,y2 是方程的解，

∵由3x4y20 可得，4y203x, y5x8,y1 （不符题意）．

故答案是A． 【点睛】

本题既考查正整数的概念又考查代数式的变形，理解二元一次方程解的概念是本题的关键．

4．若（x+y﹣1）2+|x﹣y+5|＝0，则x＝（ ） A．﹣2 【答案】A 【解析】 【分析】

由已知等式，利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x即可. 【详解】

解：∵（x+y﹣1）2+|x﹣y+5|＝0，

B．2

C．1

D．﹣1

xy10∴，

xy50x2解得：，

y3故选：A. 【点睛】

本题主要考查了非负数的性质和二元一次方程组的解法，根据两个非负数的和为零则这两个数均为零得出方程组是解决此题的的关键.

5．某人购买甲种树苗12棵，乙种树苗15棵，共付款450元，已知甲种树苗比乙种树苗每棵便宜3元，设甲种树苗每棵x元，乙种树苗每棵y元．由题意可列方程组（ ） A．12x15y450

xy3B．12x15y450

yx312x15y450

x3yC．12x15y450

y3xD．【答案】B 【解析】 【分析】

根据“购买甲种树苗12棵，乙种树苗15棵，共付款450元”可列方程12x+15y＝450；由“甲种树苗比乙种树苗每棵便宜3元”可列方程y﹣x＝3，据此可得． 【详解】

设甲种树苗每棵x元，乙种树苗每棵y元． 由题意可列方程组故选：B． 【点睛】

本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组．

12x15y450 ，

yx3

6．已知方程组A．k=－5 【答案】A 【解析】 【分析】

xy5的解也是方程3x－2y=0的解，则k的值是（ ）

4x3yk0B．k=5

C．k=－10

D．k=10

xy5xy5 ，解根据方程组的解也是方程3x－2y=0的解，可得方程组4x3yk03x2y0方程组求得x、y的值，再代入4x-3y+k=0即可求得k的值. 【详解】

xy5∵方程组的解也是方程3x－2y=0的解，

4x3yk0xy5 ， ∴3x2y0x10 ； 解得，y15x10把代入4x-3y+k=0得，

y15-40+45+k=0， ∴k=-5. 故选A. 【点睛】

本题考查了解一元二次方程，根据题意得出方程组是解决问题的关键.

xy5，解方程组求得x、y的值

3x2y0

x2,7．已知是方程2xay5的解，则a的值为( )

y1.A．1 【答案】A 【解析】

B．2

C．3

D．4

x2将代入方程2x+ay=5，得：4+a=5，

y1解得：a=1， 故选：A.

2x3y3,8．下面几对数值是方程组的解的是（ ）

x2y2x1,A．

y0【答案】C 【解析】 【分析】

【详解】

x1,B．

y2x0,C．

y1x2,D．

y1利用代入法解方程组即可得到答案.

2x3y3①， x2y2②由②得：x=2y-2③，

将③代入①得：2（2y-2）+3y=3， 解得y=1，

将y=1代入③，得x=0， ∴原方程组的解是故选：C. 【点睛】

此题考查二元一次方程组的解法：代入法或加减法，根据每个方程组的特点选择恰当的解法是解题的关键.

x0， y1

9．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五人出七，不足三，问人数、羊价各几何?”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少?设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为（ ）. A．y5x45

y7x3B．y5x45

y7x3C．y5x45

y7x3D．y5x45

y7x3【答案】C 【解析】 【分析】

根据羊价不变即可列出方程组. 【详解】

解：由“若每人出5钱，还差45钱”可以表示出羊价为：y5x45，由“若每人出7钱，还差3钱”可以表示出羊价为：y7x3，故方程组为【点睛】

本题考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意，明确羊价不变是列出方程组的关键.

y5x45.故选C.

y7x3

10．三个二元一次方程3xy7，2x3y1，ykx9有公共解，则k的值是( ) A．3 【答案】D 【解析】 【分析】

先结合3xy7，2x3y1，求出x、y的值，然后代入ykx9，即可求出k的值．

B．16 3C．－2 D．4

【详解】 解：根据题意，有

3xy7， 2x3y1x2解得：；

y1x2把代入ykx9，得

y12k91，

解得：k4； 故选：D． 【点睛】

本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法和加减消元法．

11．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（ ）

11x9yA． （10yx）（8xy）1310yx8xyB．

9x1311y9x11yC． （8xy）（10yx）139x11yD．

（10yx）（8xy）13【答案】D 【解析】 【分析】

根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）-（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】

设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，

9x11y由题意得：，

（10yx）（8xy）13故选：D． 【点睛】

此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．

12．已知（x+3）2+3xym= 0，y为负数，则m的取值范围是（ ） A．m＞9 【答案】A 【解析】

分析：根据平方数和绝对值的非负性，列方程求解即可. 详解：由题意可得x+3=0,3x+y+m=0 解得x=-3，y=9-m， 因为y为负数 所以9-m＜0 解得m＞9 故选：A.

点睛：此题主要考查了非负数的应用，关键是根据平方数和绝对值的非负性构造二元一次方程组.

B．m＜9

C．m＞ -9

D．m＜-9

13．某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一题得+5分，每答错一题得－3分，不答的题得－1分．已知欢欢这次竞赛得了72分，设欢欢答对了x道题，答错了y道题，则( )

A．5x3y72 【答案】C 【解析】 【分析】

设欢欢答对了x道题，答错了y道题，根据“每答对一题得+5分，每答错一题得－3分，不答的题得－1分，已知欢欢这次竞赛得了72分”列出方程． 【详解】

解：设答对了x道题，答错了y道题，则不答的题有(20-x-y) 道， 依题意得：5x-3y-(20-x-y)=72， 化简得：6x2y92． 故选：C． 【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，关键是读懂题意，根据题目中的数量关系，列出方程，注意：本题中的等量关系之一为：答对的题目数量+答错的题目数量+不答的题目数量=20．

B．5x3y72

C．6x2y92

D．6x2y92

14．为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有（ ） A．4种 【答案】B 【解析】

【分析】设购买篮球x个，排球y个，根据“购买篮球的总钱数+购买排球的总钱数=1200”列出关于x、y的方程，由x、y均为非负整数即可得． 【详解】设购买篮球x个，排球y个， 根据题意可得120x+90y=1200， 则y=

B．3种

C．2种

D．1种

404x， 3∵x、y均为正整数，

∴x=1、y=12或x=4、y=8或x=7、y=4，

所以购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有3种， 故选B．

【点睛】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，依据相等关系列出方程．

15．小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图请你根据图中的信息，若小明把100个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是（ ）

A．106cm 【答案】A 【解析】 【分析】

通过观察图形，可知题中有两个等量关系：单独一个纸杯的高度加上3个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度等于9，单独一个纸杯的高度加上8个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度等于14．根据这两个等量关系，可列出方程组，再求解． 【详解】

解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高xcm，单独一个纸杯的高度为ycm，

B．110cm

C．114cm

D．116cm

2xy9x1则，解得

7xy14y7则99x+y＝99×1+7＝106

即把100个纸杯整齐的叠放在一起时的高度约是106cm． 故选：A． 【点睛】

本题以实物图形为题目主干，图形形象直观，直接反映了物体的数量关系，这是近年来比

较流行的一种命题形式，主要考查信息的收集、处理能力．本题易错点是误把9cm当作3个纸杯的高度，把14cm当作8个纸杯的高度．

16．图①的等臂天平呈平衡状态，其中左侧秤盘有一袋石头，右侧秤盘有一袋石头和2个各10克的砝码．将左侧袋中一颗石头移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的1个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图②所示．则被移动石头的重量为（ ）

A．5克 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】

解：设左天平的一袋石头重x克，右天平的一袋石头重y克，被移动的石头重z克，由题意，得：

B．10克

C．15克

D．20克

xy20 xzyz10解得z=5

答：被移动石头的重量为5克． 故选A． 【点睛】

本题考查了列三元一次方程组解实际问题的运用,三元一次方程组的解法的运用,解答时理解图象天平反映的意义找到等量关系是关键．

17．如果方程组A．﹣1 【答案】B 【解析】 【分析】

x4y3的解与方程组的解相同，则a+b的值为( )

byax5bxay2B．1

C．2

D．0

x＝4bxay＝2把代入方程组，得到一个关于a，b的方程组，将方程组的两个方程左

y＝3byax＝5右两边分别相加，整理即可得出a+b的值． 【详解】

把x＝4bxay＝2代入方程组， y＝3byax＝5得：4b3a＝2①，

3b4a＝5②①+②，得：7（a+b）=7， 则a+b=1． 故选B． 【点睛】

此题主要考查了二元一次方程组的解的定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．理解定义是关键．

18．某商店对一种商品进行促销，促销方式：若购买不超过10件，按每件a元付款：若一次性购买10件以上，超出部分按每件b元付款．小明购买了14件付款90元；小聪购买了19件付款115元，则a，b的值为（ ） A．a7,【答案】A 【解析】 【分析】

根据题意可列出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】 解：由题意得：

b5 B．a5,b7 C．a8,b5 D．a7,b4

10a4b90①， 10a9b115②由②−①得：5b25，

解得：b5，将b5代入①得：

10a4590，解得：a7，

∴方程组的解为故选：A． 【点睛】

此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，列出方程组．

a7， b5

19．用5个大小相同的小长方形拼成了如图所示的大长方形，若大长方形的周长是28,则每个小长方形的周长是( )

A．12

B．14

C．13

D．16

【答案】A 【解析】 【分析】

设小长方形的长为x,宽为y，根据题意列出方程组，解方程组求出x,y的值，进而可求小长方形的周长． 【详解】

设小长方形的长为x,宽为y，根据题意有

x2yx4 解得(3yxx)228y2∴小长方形的周长为(42)212 ， 故选：A． 【点睛】

本题主要考查二元一次方程组的应用，读懂题意列出方程组是解题的关键．

20．已知关于x、y的方程组②axy1a1，满足xy，则下列结论：①a2；

2xy3a5xy1a5时，xy；③当a1时，关于x、y的方程组的解也是方3xy3a5B．2个

C．3个

D．4个

程xy2的解；④若y1，则a1，其中正确的有（ ） A．1个 【答案】C 【解析】 【分析】

xa31①解方程组得，由xy得到关于a的不等式，解之可得答案；②将x＝y

2y2a2xa3代入方程组，求出a的值，即可做出判断；③将x＝y代入求出x、y的值，

y2a2从而依据x＝y得出答案；④由y≤1得出关于a的不等式，解之可得． 【详解】

解：关于x、y的方程组xy1a，

xy3a5解得：xa3．

y2a21y， 2①∵x∴a＋3≥−a−1， 解得a≥−2，故①正确；

4xxa33②将x＝y代入，得：，

5y2a2a3即当x＝y时，a＝③当a＝−1时，5，此结论正确； 3x2，满足x＋y＝2，此结论正确； y03，此结论错误； 2④若y≤1，则−2a−2≤1，解得a≥−故选：C． 【点睛】

本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是牢记二元一次方程组的解题方法．