方程思想及应用

目 录

摘要 ............................................................................................................. 2 Abstract ....................................................................................................... 3 引言 ............................................................................................................. 3 1.方程思想的涵义 ......................................................................................................... 4

1.1方程 .............................................................................. 错误！未定义书签。 1.2方程思想 .................................................................................................... 5 1.3方程思想的步骤 ........................................................................................ 5 1.4方程思想的两个重要方面 ........................................................................ 5 1.5方程思想是一种源于解决应用问题的思想 ............................................ 6

2.方程思想的应用 ......................................................................................................... 6

2.1方程思想数学学科中的应用 .................................................................... 9 2.2方程思想在物理学科中的应用 ................................................................ 9 2.3方程思想在配平化学方程式中的应用 .................................................. 12

3.方程思想的学习和教学 ..................................................................13

3.1方程思想的学习 ...................................................................................... 13 3.2方程思想的教学 ...................................................................................... 14

参考文献 ................................................................................................................................... 17

1

方程思想的应用与教学

摘要:方程思想是一种重要的数学思想，是指在分析问题的数量关系时，将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组)，然后通过解方程(组)使问题得到解决的思维方式。重点就是化未知为已知的思想，关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。它在多门学科中都有广泛的应用，因此我们要让学生逐步掌握这种数学思想方法，就必须在数学教学中逐步进行有目的的引导和培养。

关键词：方程思想；应用；教学

2

The Equation of the Application of the Thought and teaching

Abstract：Equation thinking is a kind of important mathematical ideas, which means in its analysis of the question of the quantitative relationships, the issue of the known and unknown quantities of the quantitative relationships between the amount established by the appropriate setting element equation or equation group, and then solve the equation (group) so that the problems can be resolved by such a way of thinking. Focus on the translation of the unknown to the known, and the key is to use a known conditions or formula, theorem, known conclusions structure equations (group). It has a wide range of applications in several disciplines, and therefore we want to have the students gradually master this mathematical thinking, it must be in Math Teaching, step-by-step with the aim of the boot and training.

Key Words: Equation thinking; Adhibition; Teaching

3

引言

数学家笛卡尔曾设想一个解决所有问题的通用方法：第一步：将任何问题转化为数学问题；第二步：将任何数学问题转化为代数问题；第三步：将任何代数问题化归为单个方程的求解；第四步：讨论方程（组）的问题，得到解之后再对解解释。通用方法中所体现的方程观点就是笛卡尔模式。这就是所谓的“万能方法”—— 方程思想。

方程的思想，是对于一个问题用方程解决的应用，也是对方程概念本质的认识，是分析数学问题中变量间的等量关系，构建方程或方程组，或利用方程的性质去分析、转换、解决问题。要善用方程和方程组观点来观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。

在中学，方程知识贯穿于初一到高三各年级教材当中，涉及方程的有关概念、方程的解法、方程根与系数的关系、方程的化简和讨论及方程的应用。学生特别是要学会从对问题的数量关系的分析入手，运用数学语言和数量关系转化为方程，从而使问题得以解决。

4

1.方程思想的涵义

1.1方程

方程是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，是含有未知数的等式（通常设未知数为x），通常在两者之间有一等号“=”。方程不用按逆向思维思考，可直接列出等式并含有未知数。它具有多种形式，如一元一次方程、二元一次方程等。广泛应用于数学、物理等理科的运算。 1.2方程思想

方程思想是分析实际问题中的数量关系，然后运用数学的符号化语言将这种数量关系抽象为方程模型，通过解方程或方程组，使问题得以解决的一种数学思想方法。

方程的思想，是对于一个问题用方程解决的应用，也是对方程概念本质的认识，是分析数学问题中变量间的等量关系，构建方程或方程组，或利用方程的性质去分析、转换、解决问题。要善用方程和方程组观点来观察处理问题。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。当一个问题可能与某个方程建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。 1.3方程思想的步骤

方程思想在解决应用题时，就像万能钥匙是关键所在，特别在初一刚接触用方程在解决应用题时，大部分同学都感觉无所适从，不知所措，其实，解决应用题规律也有一定步骤，如下：

分析实际问题 建立方程模型 解方程 解问题

1.4方程思想的两个重要方面

在了解了方程思想的步骤后，还要有必要了解一下方程思想的两个重要方面。

5

第一，建模思想：用符号将相互等价的两件事情联结，等号的左右两边等价。

第二，化归思想：高次化归为低次；在具体化归过程中有加减消元化归和代入消元化归两种方式。

1.5方程思想是一种源于解决应用问题的思想

方程这个名词，最早见于我国古代算书《九章算术》，书中收集了246个应用问题和其他问题的解法，分为九章，“方程”是其中的一章．我国古代数学家刘徽注释《九章算术》说，“程，课程也．二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这里所谓“如物数程之”，是指有几个未知数就必须列出几个等式．一次方程组各未知数的系数用算筹表示时好比方阵，所以叫做方程，故方程思想是一种源于解决应用问题的思想。具体表现为： 首先，问题中的数量关系可用等式“直观”表示。

其次，实际问题归结为解方程。

最后，方程的解法理论：未知量与已知量地位同等，可以参加运算；方程是用不同的方式表示同一个量的条件等式；方程根据平衡原理，进行同解变形。

2.方程思想的应用

在中学，方程知识贯穿于初一到高三各年级教材当中，涉及方程的有关概念、方程的解法、方程根与系数的关系、方程的化简和讨论及方程的应用。学生特别是要学会从对问题的数量关系的分析入手，运用数学语言和数量关系转化为方程，从而使问题得以解决。 2.1方程思想数学学科中的应用

方程思想是中学数学最常用的思想方法之一，随处可见。 2.1.1方程思想在应用题问题中的应用

今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问：鸡兔各几何？ 解：设有x只鸡头，y只兔头，根据题意得：

xy35

解得：x23;y12

6

2x4y94

答：鸡有23只，兔有12只。

2.1.2方程思想在解等腰三角形问题时的应用

初二时，我们学习了有关等腰三角形的定理与规律及在实际生活中的应用，下面是方程思想在解等腰三角形问题时的应用的例子。

A例:如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AC边上，且BD=BC=AD求∠A 的大小 解：因为AB=AC，故∠ABC=∠C.又因BD=BC,故∠BDC=∠C.而BD=AD,故∠A=∠ABD.如果设∠A=x0D,则∠

ABC=x0DC=∠A+∠ABD= 2x0.所以∠C=∠BDC=2x0

BC∠ABC=∠C =2x0

0在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180, 则 x2x2x180,解得x=36.

2.1.3方程思想在求函数值域时的应用

函数问题常以与其他知识点相结合的综合题形式出现，而函数的值域问题却是联系各种知识点的纽带。求函数值域的方法很多，其中，利用方程思想来求函数值域是一种常用的方法。

2x1y例：求函数 2 的值域。

xx1 解：变形得yx2(y2)x(y1)0，此方程有实数解；当y0时，有(y2)2-4y(y1)3y240即-2323y3312323，故-y.233当y0时，有x2.1.4方程思想在相似三角形中的应用

只要你掌握了方程思想的精髓，有关相似三角形的求边长问题便可迎刃而解。

例：如图，在△ABC中，DE∥BC,DE=2，BC=4，AD=3，求AB长 解：因为DE∥BC 所以△ADE∽△ABC，所以 DE  AD 即 2=3BCAB3AB 339AB=22

7

ADEBC

2.1.5方程思想在空间向量中的应用

例：点A（1,0,0）,B(0,1,0), C（0,0,1），求平面ABC的法向量

解：由A( 1 ， 0 ， 0 ），B( 0 ， 1 ， 0 ），C( 0 ， 0 ， 1 ），知 AB(-1 , 1 , 0）；设平面ABC的一个法向量为n（ x，y，z)，则： 即  0 nAB  nAC0xy0 即 xz0

y所以平面ABC的一个法向量可以是（1,1,1）；x2.1.6方程思想在立体几何中的应用

z。

例：如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=1，BC=a,(a>0),PA⊥平面ABCD，且PA=1，问BC边上是否存在点Q,使得PQ⊥QD，并说明理由

解析：假设BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，连接AQ，因为PA⊥平面ABCD，

222根据三垂线定理的逆定理知：QD⊥AQ，从而有AD=AQ+QD；设CQx，则BQax，于是AQ12(ax)2，CQ1x2

AD2(ax)2x222x22axa22a2，即x2ax10，其判别式

8

(a2)(a2)。

当a2即0时，方程有两解，即BC边上不存在点 Q，使得PQQD; 当a2即0时，方程有一解，即BC边上存在一个点 Q,使得PQQD; 当0a2即0时，方程无解，即 BC边上不存在点Q,使得PQQD。2.1.7方程思想在排列组合中的应用

例：在某班学生中，选出4个组长的不同选法有m种，选出正副组长各一名的不同选法有n种，若m:n=13:2，求该班的学生人数。

解析：设该班学生人数为x，则选出4个组长的方法数为：Cx4，选出正副组长各一名的方法数为：Ax2 所以Cx4:Ax2 13:2解这个方程得： x25

2.1.8方程思想在数列中的应用

例：已知三个数20，50,100分别加上相同的常数后，新得到的三个数成等比数列，求公比q的值

解：设20,50,100都加上x以后，得到20+x，50+x，100+x，它们成等比

2数列，所以 (50  x )  (20  x )(100  x )。

解这个方程，得x=25

所以三个新数为45,75,125，公比为 = 。 2.2方程思想在物理学科中的应用

在物理学习中如果以单一的定势思维来思考、解决问题常常会碰壁。在教育、教学活动中，我们若能充分运用多种解题方式，对同一问题、用不同方法进行全方位的思考，就可引导学生克服孤立思考问题的习惯和消极的心理定势，提高学生解决问题的能力。“它山之石，可以攻玉”，在很多物理情景下，数学是一种极好的应用工具。将数学方法应用在物理学习中，变换思考角度，可以更为灵活地解决有关物理问题，扩展学生思路，培养学生处理问题的能力。

许多学生感觉物理难学（包括数学中的应用题），那是他们还未对物理学进行深度思考总结，其实高中的物理题就是由基本公式参与构成的解方程组问题。只要掌握列方程解题的基本步骤，再难的物理题都可以化为解方程组的问题，从而实现学生思维上质的突破，不再对应用题惧怕，站在战略的角度即利用方

754553

9

程组思想使之养成良好的解题习惯与必胜的信心，形成统一的解题思路与技巧，实现战略战术的完美整合。先看下面的例题：

例题一：宇航员在某行星上从高度32m处自由释放一重物，测得在下落最后1s通过的距离为14m。则重物下落的时间和该星球的重力加速度分别是多少？

解析：设重物下落的时间为t，该星球的重力加速度为g，已知h=32m,

h1=14m,由题意列方程得：h121gt ，h-h1(t1)2 。 22 这里仅仅利用了自由落体的最基本、最简单的公式，学生很容易理解并掌握。

例题二：一车处于静止状态，车后相距25m处有一人。当车以1m/s2的加速度开始启动同时，人以6m/s的速度匀速追车，问人能否追上车？若人追不上车子，则两者间的最小距离为多少？

解析：设经过时间t s后，人追上车子，则两者的位移关系满足下列关系：

1vtsat2

21(6)242502

12t6t2502

所以方程无实数解，即人追不上车子。

设人车间距为y，则人车间距满足下列关系：

1ysat2vt21y251t26t2 6t6s1221ymin2562667m2即人与车间的最小间距为7m。

10

例题三：在仰角6的雪坡上举行跳台滑雪比赛，运动员从高处滑下，

能在O点借助于器材以与水平方向成θ角的速度v0跳起，最后落在坡上A点。假如v0 的大小不变，那么以怎样的θ角起跳能使OA最远？最远距离为多少？

解析：以O点为原点，建立水平和竖直方向的xoy坐标系。

xv0tcos1yv0tsingt2

2yxtan从以上方程中消去x和y，可得

2x2v0cossin()/gcosyv[sin(2)sin]/gcos式中v0、α、g等都是定值，不难看出当

220

2即42

时x有极大值:

2xmaxvo(sin1)/gcos

此时OA有极大值:

2Lxmax/cosv0(sin1)/gcos2

有些学生在做这些题时可能写了一大堆算式或公式，或陷入“鬼打墙”—逻辑混乱，很像鸡生蛋与蛋生鸡问题；或根本入不了“门槛”—不知如何下手，很像作茧自缚、画地为牢。究其原因，就在于他们已形成的思维定势，非要一个接一个的按顺序解题目罗列的问题，这便是症结所在。我们要打破常规，不能按套路出牌。方程思想的精髓就是问什么就设什么未知数，甚至多设一些未知量，为了能用更基本的公式或更一般的规律列方程组，这特别适合思维或基础有困难的学生。要把整个题目所有的物理量都看作一个统一整体，极像是快

11

刀斩乱麻。要从每一句话、每个数据中找到可能对应的一个方程，通常几个未知量对应几个方程，写多了可能有等价式或其中一些可从其他算式中推出即冗余；写少了一般又解不出来。这不需要任何特殊的思维，最原始最繁杂的解法多数时候又是最简单最聪明的解法，类似大智若愚、笨方法又是最简洁、最巧妙、最高效的解法。

2.3方程思想在配平化学方程式中的应用

配平化学方程式的方法非常之多，然而，方法的掌握及其运用有一个非常有趣的现象：学的方法愈多，对每种方法的运用往往愈不甚精。本文从化学方程式中的配平涉及的基本问题，即化学反应前后元素种类和原子数目不变这一本质出发，运用数学中的方程思想推出一种通用的、带普适性的、对各种化学反应类型的方程式配平都行之有效的待定系数法。

在高中化学中，关于配平化学方程式的问题，是一个非常带技巧性的问题，特别是在配平复杂氧化还原反应方程式中，配平问题成为教学中的一个突出的难点问题，利用方程思想来解决此类问题，常常可以取得很好的效果。例如：

CuHNO3(稀）—Cu(NO3)2H2ONO

第一步：设反应物Cu和HNO3前的系数分别为x和y，并以此确定生成物的系数；

CuHNO3(稀)—Cu(NO3)2H2ONO

xyxy2y2x第二步：根据反应前后氧原子的数目相等列出方程；

3y6xy(y2x) 2解得： 3y8x 根据最小公倍数法则：

x3;y8即：3Cu8HNO3(稀）3Cu(NO3)24H2O2NO

12

综上所述，该方法是一种普适性的配平化学方程的方法，它巧妙地运用了数学方程思想来建立等量关系，并用最小公倍数法来确定系数。它具有适用性强能够适用各类化学方程式的配平、数学思维简明扼要、配平快的特点。但该法要求具备一定的数学能力，抓住建立等量关系的条件，有些要求从反应物设未知数，而有的则要从生成物入手，运用较为灵活。只要初学者勤于训练，掌握要领，就一定能应付各类化学方程式的配平。

总之，方程思想方法在高中数学的各个分支都有着广泛的应用，甚至在物理，化学等相邻学科中也能大展身手。运用方程思想方法，常常事半功倍，取得意想不到的效果。因此，在教学中向学生渗透方程的思想方法还是很有必要的。

3.方程思想的学习和教学

对于学习有困难的学生,方程思想特别适合他们，可以极其快速地实现成绩提升以及建立解决有一定难度的问题,也会有一种“忽如一夜春风来，千树万树梨花开”，“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”，“蓦然回首,那人却在灯火阑珊处”的感觉。方程思想犹如一记良药与猛药使其在“久病”（昏昏噩噩,迷迷糊糊，不知所措)或漫长的黑夜(一直稳居倒数)之后可以重见光明,如拨云见日、醍醐灌顶、久旱逢甘露，顶上被压的泰山终于可以卸掉了，如获重释，推翻了三座大山的压迫，以迅雷不及掩耳之势，实现人的突变与质变。因此，必须重视方程思想的学习和教学 3.1方程思想的学习

在学习数学的时候,重要的是学习数学的思想，这才是在学习数学的时候最需要注意的。在数学学习方面，只有了解怎么灵活运用方程来解决问题，这样，数学学习才会有更大的进步。

数学学习其实最讲究的就是思想问题了,大家要了解数学学习方程的思想。初中最重要的数量关系是等量关系，其次是不等量关系。最常见的等量关系就是“方程”。初一比较系统地学习解一元一次方程，并总结出解一元一次方程的五个步骤。如果学会并掌握了这五个步骤，任何一个一元一次方程都能顺利地

13

解出来。初二、初三我们还将学习解一元二次方程、二元二次方程组、简单的三角方程;到了高中我们还将学习指数方程、对数方程、线性方程组、参数方程极坐标方程等。解这些方程的思维几乎一致，都是通过一定的方法将它们转化成一元一次方程或一元二次方程的形式，然后用大家熟悉的解一元一次方程的五个步骤或者解一元二次方程的求根公式加以解决。物理中的能量守恒，化学中的化学平衡式，现实中的大量实际应用，都需要建立方程，通过解方程来求出结果。因此，同学们一定要将解一元一次方程和解一元二次方程学好，进而学好其它形式的方程。

所谓的“方程”思想就是对于数学问题，特别是现实当中碰到的未知量和已知量的错综复杂的关系，善于用“方程”的观点去构建有关的方程，进而用解方程的方法去解决它。

学习方程思想最重要的是掌握建模思想：列方程的重点，抽象过程；学会化归方法：解方程的重点，运算过程。 3.2方程思想的教学

教师在教学中对培养学生方程思想的意识有着不可替代的作用，为此，教师要做到以下几点： 3.2.1掌握方程思想的实质

教育实践者首先要在理论上理解方程的实质才能有针对性的确定教学目标运用恰当的方法进行教学，方程思想的核心内容有两个：一个是建模，一个是化归。建模是用自然语言将生活中的具体事物描述出来，再将自然语言进行数学表达，然后用数学符号建立方程，解决具体问题。建模思想是用等号将数学上等价的两件事情联立起来，至于用自然语言表达还是用数学符号表达并不重要，重要的是将错综复杂的事物进行抽象的过程。而化归思想是用替代的方法，将问题简化为已熟知的内容，用熟悉的算法来解决当前的问题。比如把三元一次方程组化归为二元一次方程组，把二元一次方程组化归为一元一次方程组，再把一元一次方程组化归为xa形式。建模是列方程的重点，化归则是解方程的重点。对于学生的教育而言，建模就是培训学生对事物的抽象能力，化归则是培养学成形成运算逻辑的思想，一种在做任何事情都要在头脑中形成一个清

14

晰计划的意识与习惯。

3.2.2培养学生用方程思想解决问题的意识

教学中，只有联系生活实际才能激发学生的学习兴趣，才是真实的科学，生活的科学。联系实际，提供具有挑战性的学习任务，可以帮助学生获得更大的思考空间，给学生提供更为广泛的思考内容，促使学生结合实际进行探究。重视培养学生在实际生活中运用方程思想，教会学生特别是要学会从问题的数量关系的分析入手，运用数学语言和数量关系转化为方程，从而使问题得以解决的思想方法。

在“方程思想的运用”中，相信以充分体现了方程思想的优势，特别是通过应用题教学，让学生面临求解一个未知对象的数值或数量时，学会自然地想到构建一个方程模型来解决。

3.2.3中小学教师对方程的教学要体现出连续与统一

在实际教学中，教师要从宏观上统一把握方程思想，树立一至九年级连续的教材观，对学生进行循序渐进的教学。中小学生对于方程的学习是一个连续的由简入繁，由易入难的过程，是坚固基础，螺旋递升的过程，小学阶段的四则运算、用字母表示数与一元一次方程是中学一元多次方程与多元一次方程化归的基础，小学对简单方程的情境描述与概括是中学多元方程理解抽象的基垫。

首先要保证方程教学内容的生活化，让学生感受到方程思想在生活中的体现，让学生在生活情境中感受事物之间的等价。中小学教师在教学中要统一目标，即让学生明确学习方程的目的是利用方程知识简化并解决生活中的复杂问题，提高生活质量。教师要把学生方程学习的生活联系过程作为重点，在义务教育阶段全程渗透用方程解决生活中的实际问题的思想。

其次要保证数学情境由简单到复杂。遵循学生身心发展特点，在小学阶段，数学情境要简单易懂，易于让学生找出基本的等价关系，当真正体会出方程思想的真谛后，能够熟练的描述等价关系后再逐渐将情境复杂化。虽然在小学阶段方程计算对于学生来说看似简单，但是对于数量关系的描述其实并不简单，教师在教学中一定要把握住重点，这对于学生能否真正掌握方程思想并运用方程解决实际问题是至关重要的。

再次要注意小学与初中的教学侧重。小学阶段重描述与概括，并进行初步

15

的抽象。注重在自然的情境中对事物等价的描述，重点是让小学生初步感受方程思想，学会用语言对自然情境中的等价事实进行清楚的描述与概括，建立一元一次方程；初中重抽象的全过程。在逐渐复杂化的情境中，抽象最为本质的多种事物之间的等价关系，建立多元一次方程组。并能根据等式的性质进行准确计算。

最后注意数学语言表达与数学符号的正解使用。虽然小学阶段的方程计算相对简单，一般来说只需要一次化归就能解决，但是这是多元方程的基础，不容忽视。小学阶段注重四则混合运算的熟练掌握，为方程的化归进行必要的铺垫。使中学的多元方程在利用小学计算的方法的基础上能够顺利的逐级归元，完成复杂的计算。

16

参考文献

[1] 娄晓阳.分式函数值域的求法.宁波教育学院学报.2008.10 [2] 张建国.函数与方程思想在立体几何中的应用.2009.6

[3] 姚正红.方程思想在《三角形》一节中的应用探微.中学数学.2012.4 [4] 郭文献.巧用方程思想解等比数列题.中学生数理化（高二版）.2010.7 [5] 刘平.相似三角形中方程思想的应用.高中数理化.2011.14

[6] 李其明.用方程思想解等腰三角形计算题.中学生数理化（八年级数学人教版）.2009.7

[7] 李记东.运用方程思想解向量题.中学生数理化（高一版）.2007.6

[8] 苏晓伟.新教材下数学方程思想在物理教学中的具体应用.中学生数理化.2012.9 [9] 胡洪瑜.数学方程思想在配平化学方程式中的应用.理科爱好者.教育教学版.2012.2

17

18