离散数学作业5[答案]

一、填空题

1．已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是 15 ．

2．设给定图G(如右由图所示)，则图G的点割集是 {f，c} ．

3．设G是一个图，结点集合为V，边集合为E，则 G的结点 度数 等于边数的两倍．

4．无向图G存在欧拉回路，当且仅当G连通且 所有结点的度数全为偶数． 5．设G=是具有n个结点的简单图，若在G中每一对结点度数之和大于等于 n-1 ，则在G中存在一条汉密尔顿路．

6．若图G=中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V的每个非空子集S，在G中删除S中的所有结点得到的连通分支数为W，则S中结点数|S|与W满足的关系式为 W|S| ．

7．设完全图Kn有n个结点(n2)，m条边，当 n为奇数 时，Kn中存在欧拉回路．

8．结点数v与边数e满足 e=v-1 关系的无向连通图就是树．

9．设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G中删去 4 条边后使之变成树．

10．设正则5叉树的树叶数为17，则分支数为i = 4 ．

二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）

1．如果图G是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路．． 不正确，图G是无向图，当且仅当G是连通，且所有结点度数均为偶数，这里不能确定图G是否是连通的。

2．如下图所示的图G存在一条欧拉回路．

错误．

因为图G为中包含度数为奇数的结点．

3．如下图所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图．

1

G

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解： 错，既不是欧拉图也不是汉密尔顿图，欧拉图要求所有结点度数均为偶数，这里结点bd各有三个节点；汉密尔顿图要求每一对结点度数之和大于等于总结点数，这里不满足。

4．设G是一个有7个结点16条边的连通图，则G为平面图． 错 ，没有提到面

5．设G是一个连通平面图，且有6个结点11条边，则G有7个面．

对，由欧拉定理得到：结点-边+面=2 ，即为连通平面图，这里6-11+7=2

三、计算题

1．设G=，V={ v1，v2，v3，v4，v5}，E={ (v1,v3)，(v2,v3)，(v2,v4)，(v3,v4)，(v3,v5)，(v4,v5) }，试

(1) 给出G的图形表示； (2) 写出其邻接矩阵； (3) 求出每个结点的度数； (4) 画出其补图的图形．

解：（1）G的图形如图十二

（2）邻接矩阵： 图十二

001000011011011 0110100110（3）v1，v2，v3，v4，v5结点的度数依次为1，2，4，3，2 （4）补图如图十三：

2

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2．图G=，其中V={ a, b, c, d, e}，E={ (a, b), (a, c), (a, e), (b, d), (b, e), (c, e), (c, d), (d, e) }，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试

（1）画出G的图形； （2）写出G的邻接矩阵； （3）求出G权最小的生成树及其权值． 解：（1）G的图形表示如图十四：

图十四 （2）邻接矩阵：

011011001110011 0110111110（3）粗线表示最小的生成树，如图十五

如图十五 最小的生成树的权为1+1+2+3=7：

3．已知带权图G如右图所示．

(1) 求图G的最小生成树； (2)计算该生成树的权值．

3

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4．设有一组权为2, 3, 5, 7, 17, 31，试画出相应的最优二叉树，计算该最优二叉树的权．

四、证明题

1．设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于3的奇数．证明图G与它的补图G中的奇数度顶点个数相等．

2．设连通图G有k个奇数度的结点，证明在图G中至少要添加使其成为欧拉图．

证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k是偶数．

k条边才能2 4

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又根据定理4.1.1的推论，图G是欧拉图的充分必要条件是图G不含奇数度结点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图．

k故最少要加条边到图G才能使其成为欧拉图．

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