2011年辽宁省文科数学高考试卷及答案

2011年辽宁省文科数学高考试卷及答案

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、

准考证号填写在答题卡上． 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的． 1．已知集合A={x|x1}，B={x|1x2}}，则AB=

A．{x|1x2} C．{x|1x1}

B．{x|x1} D．{x|1x2}

111 i3i5i7 A．0 B．2i C．2i 3．已知向量a(2,1)，b(1,k)，a(2ab)0，则k

2．i为虚数单位， A．12 B．6 4．已知命题P：n∈N，2n＞1000，则P为 A．n∈N，2n≤1000 C．n∈N，2n≤1000

5．若等比数列{an}满足anan+1=16n，则公比为 A．2 B．4 6．若函数f(x)C．6

1iD．4i D．12

B．n∈N，2n＞1000 D．n∈N，2n＜1000 C．8

D．16

x为奇函数，则a=

(2x1)(xa)B．

A．

1 22 3C．

3 4D．1

7．已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，AFBF=3，则线段AB的中

点到y轴的距离为

A．

3 4B．1 C．

5 4D．

7 48．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图

如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是

1

A．4

B．23 C．2 D．3

9．执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P是 A．8 B．5 C．3 D．2

10．已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2，

∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S-ABC的体积为

A．3 343 3B．23 353 3 C．D．

11．函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，

则f(x)2x4的解集为

A．（1，1） C．（，1）

B．（1，+）

D．（，+）

12．已知函数f(x)=Atan（x+）（0,||部分图像如下图，则f(

A．2+3

2），y=f(x)的

24)

B．3 D．23

C．3 3第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第

22题~第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．已知圆C经过A（5，1），B（1，3）两点，圆心在x轴上，则C的方程为___________． 14．调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示

年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：

ˆ0.254x0.321．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增y加____________万元．

15．Sn为等差数列{an}的前n项和，S2=S6，a4=1，则a5=____________． 16．已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值范围是___________．

2

三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=2a． （I）求

b； a（II）若c2=b2+3a2，求B． 18．（本小题满分12分）

如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=（I）证明：PQ⊥平面DCQ；

（II）求棱锥Q—ABCD的的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值．

19．（本小题满分12分）

某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．

（I）假设n=2，求第一大块地都种植品种甲的概率；

（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表： 品种甲 品种乙 403 419 397 403 390 412 404 418 388 408 400 423 412 400 406 413 1PD． 2分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？

1附：样本数据x1,x2,,xn的的样本方差s2[(x1x)2(x2x)2(xnx)2]，其中x为

n样本平均数．

20．（本小题满分12分）

设函数f(x)=x+ax2+blnx，曲线y=f(x)过P（1,0），且在P点处的切斜线率为2．

（I）求a，b的值；

（II）证明：f(x)≤2x-2．

3

21．（本小题满分12分）

如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．

（I）设e1，求BC与AD的比值； 2（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED． （I）证明：CD//AB；

（II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆． 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程

xcos在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的参

ysinxacos数方程为（ab0，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐

ybsin标系中，射线l：θ=与C1，C2各有一个交点．当=0时，这两个交点间的距离为2，当=时，这两个交点重合．

（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值； （II）设当=

24时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当=4时，l与C1，C2的交点为

A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)=|x-2||x-5|． （I）证明：3≤f(x)≤3；

4

（II）求不等式f(x)≥x28x+15的解集．

参考答案

评分说明：

1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主

要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容

和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分. 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4．只给整数分数，选择题不给中间分. 一、选择题

1—5 DADAB 6—10 ACBCC 11—12 BB 二、填空题

13．(x2)2y210 14．0.254 15．—1

16．(,2ln22] 三、解答题

17．解：（I）由正弦定理得，sinAsinBcosA222sinA，即

sinB(sin2Acos2A)2sinA

故sinB2sinA,所以2b2. „„„„„„6分 a2 （II）由余弦定理和cb3a,得cosB由（I）知b22a2,故c2(23)a2. 可得cosB22(13)a. 2c12,又cosB0,故cosB,所以B45 „„„„12分 2218．解：（I）由条件知PDAQ为直角梯形

因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.

又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.

在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=

2PD，则PQ⊥QD 25

所以PQ⊥平面DCQ. „„„„„„6分 （II）设AB=a.

由题设知AQ为棱锥Q—ABCD的高，所以棱锥Q—ABCD的体积V1由（I）知PQ为棱锥P—DCQ的高，而PQ=2a，△DCQ的面积为所以棱锥P—DCQ的体积为V213a. 322a， 213a. 3故棱锥Q—ABCD的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值为1.„„„„12分 19．解：（I）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4，

令事件A=“第一大块地都种品种甲”.

从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个； （1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）. 而事件A包含1个基本事件：（1，2）.

所以P(A)1. „„„„„„6分 6 （II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

1x甲(403397390404388400412406)400,8

12S甲(3(3)2(10)242(12)20212262)57.25.8 „„„„„„8分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

1x乙(419403412418408423400413)412,8

12S乙(72(9)20262(4)2112(12)212)56.8 „„„„„„10分

由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. 20．解：（I）f(x)12axb. „„„„2分 x由已知条件得f(1)0,1a0, 即f(1)2.12ab2.解得a1,b3. „„„„„„5分

（II）f(x)的定义域为(0,)，由（I）知f(x)xx3lnx.

设g(x)f(x)(2x2)2xx3lnx,则

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g(x)12x3(x1)(2x3). xx

当0x1时,g(x)0;当x1时,g(x)0.所以g(x)在(0,1)单调增加,在(1,)单调减少.而g(1)0,故当x0时,g(x)0,即f(x)2x2. „„„„„„12分 21．解：（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设

x2y2b2y2x2C1:221,C2:421,(ab0)

abaa设直线l:xt(|t|a)，分别与C1，C2的方程联立，求得

A(t,a22b22at),B(t,at). „„„„„„4分 ba当e13时,ba,分别用yA,yB表示A，B的纵坐标，可知 222|yB|b23|BC|:|AD|. „„„„„„6分

2|yA|a24 （II）t=0时的l不符合题意.t0时，BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，

即

b22a22atatab,

ttaab21e22a. 解得t22abe1e22e1. 因为|t|a,又0e1,所以21,解得2e所以当0e2时，不存在直线l，使得BO//AN； 2当

2e1时，存在直线l使得BO//AN. „„„„„„12分 222．解：

（I）因为EC=ED，所以∠EDC=∠ECD.

因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA. 故∠ECD=∠EBA，

所以CD//AB. „„„„5分

（II）由（I）知，AE=BE，因为EF=FG，故∠EFD=∠EGC

7

从而∠FED=∠GEC.

连结AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE， 又CD//AB，∠EDC=∠ECD，所以∠FAB=∠GBA. 所以∠AFG+∠GBA=180°.

故A，B，G，F四点共圆 „„„„10分 23．解：

（I）C1是圆，C2是椭圆.

当0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），因为这两点间的距

离为2，所以a=3. 当2时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），因为这两点重合，

所以b=1.

x2y21. （II）C1，C2的普通方程分别为xy1和922 当4时，射线l与C1交点A1的横坐标为x2，与C2交点B1的横坐标为 2 x310. 10当4时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此，

四边形A1A2B2B1为梯形. 故四边形A1A2B2B1的面积为24．解：

(2x2x)(xx)2. „„„„10分

25x2,3, （I）f(x)|x2||x5|2x7,2x5,

3,x5. 当2x5时,32x73.

所以3f(x)3. „„„„„„5分 （II）由（I）可知，

当x2时,f(x)x8x15的解集为空集；

当2x5时,f(x)x28x15的解集为{x|53x5}； 当x5时,f(x)x8x15的解集为{x|5x6}.

综上，不等式f(x)x28x15的解集为{x|53x6}. „„„„10分

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