一．选择题（共12小题）
1．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（ ）A．﹣1
B．﹣1或﹣11
C．1
D．1或11
2．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（ ）A．25
B．20
C．15
D．10
3．将a3b﹣ab进行因式分解，正确的是（ ）A．a（a2b﹣b）C．ab（a+1）（a﹣1）
B．ab（a﹣1）2D．ab（a2﹣1）
4．已知：a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，请你巧妙的求出代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值（ ）A．3
B．2
C．1
D．0
5．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（ ）A．﹣1
B．0
C．3
D．6
6．已知496﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）A．61，63
B．63，65
C．65，67
D．63，64
7．对于算式20183﹣2018，下列说法错误的是（ ）A．能被2016整除C．能被2018整除
B．能被2017整除D．能被2019整除
8．已知a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（ ）A．0
B．1
C．2
D．3
9．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（ ）A．（x﹣3）（b2+b）C．（x﹣3）（b2﹣b）
B．b（x﹣3）（b+1）D．b（x﹣3）（b﹣1）
10．多项式x2+7x﹣18因式分解的结果是（ ）A．（x﹣1）（x+18）C．（x﹣3）（x+6）
B．（x+2）（x+9）D．（x﹣2）（x+9）
11．若k为任意整数，且993﹣99能被k整除，则k不可能是（ ）
A．50B．100C．98D．97
12．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n＝p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算
．例如：12＝1×12＝2×6＝3×4，则
那么以下结论中：①
；②
．
；③若n是一个完全平方数，则F（n）
．正确的个数为
＝1；④若n是一个完全立方数（即n＝a3，a是正整数），则（ ）A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二．填空题（共6小题）13．已知a＝
，b＝
，c＝
，则代数式
2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是 ．
14．已知a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝ ．
15．已知a，b，c满足a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，a3+b3+c3＝5．则a4+b4+c4的值是 ．
16．已知ab＝3，a+b＝5，则a3b+2a2b2+ab3的值 ．
17．已知x，y，z是△ABC的三边，且满足2xy+x2＝2yz+z2，则△ABC的形状是 ．18．已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2019＝ ．三．解答题（共5小题）19．因式分解：a2﹣2ab+b2﹣1．20．因式分解．
（1）a2（x+y）﹣4b2（x+y）（2）p2（a﹣1）+p（1﹣a）（3）
．
21．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判定△ABC的形状．22．观察下列各式．
①4×1×2+1＝（1+2）2；②4×2×3+1＝（2+3）2；③4×3×4+1＝（3+4）2…
（1）根据你观察、归纳，发现的规律，写出4×2016×2017+1可以是哪个数的平方？（2）试猜想第n个等式，并通过计算验证它是否成立．
（3）利用前面的规律，将4（x2+x）（x2+x+1）+1因式分解．
23．定义：若数p可以表示成P＝x2+y2﹣xy（x，y为自然数）的形式，则称P为“希尔伯特”数．
例如：3＝22+11﹣2×1，39＝72+52﹣7×5，147＝132+112﹣13×11…所以3，39，147是“希尔伯特”数．（1）请写出两个10以内的“希尔伯特”数．
（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，试说明所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．（3）已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是224，求这两个“希尔伯特”数．
人教版八年级数学上册14.3因式分解培优专练习题
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（ ）A．﹣1
B．﹣1或﹣11
C．1
D．1或11
【解答】解：a2﹣ab﹣ac+bc＝11（a2﹣ab）﹣（ac﹣bc）＝11a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝11（a﹣b）（a﹣c）＝11∵a＞b，
∴a﹣b＞0，a，b，c是正整数，∴a﹣b＝1或11，a﹣c＝11或1．故选：D．
2．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（ ）A．25
B．20
C．15
D．10
【解答】解法一：∵x2﹣2x﹣5＝0，∴x2＝2x+5，
∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，
＝（2x+5）2﹣2x（2x+5）+x2﹣12x﹣5＝4x2+20x+25﹣4x2﹣10x+x2﹣12x﹣5＝x2﹣2x﹣5+25＝25．
解法二：∵x2﹣2x﹣5＝0，∴x2﹣2x＝5，
∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5＝x2（x2﹣2x+1）﹣12x﹣5＝6x2﹣12x﹣5＝6（x2﹣2x）﹣5
＝6×5﹣5＝25．
故选：A．
3．将a3b﹣ab进行因式分解，正确的是（ ）A．a（a2b﹣b）C．ab（a+1）（a﹣1）
B．ab（a﹣1）2D．ab（a2﹣1）
【解答】解：a3b﹣ab＝ab（a2﹣1）＝ab（a+1）（a﹣1），故选：C．
4．已知：a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，请你巧妙的求出代数式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值（ ）A．3
B．2
C．1
D．0
【解答】解：∵a＝﹣226x+2017，b＝﹣226x+2018，c＝﹣226x+2019，∴a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca＝＝＝＝＝＝3，故选：A．
5．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（ ）A．﹣1
B．0
C．3
D．6
【解答】解：a2b+ab2﹣a﹣b＝（a2b﹣a）+（ab2﹣b）＝a（ab﹣1）+b（ab﹣1）＝（ab﹣1）（a+b）
将a+b＝3，ab＝1代入，得原式＝0．故选：B．
6．已知496﹣1可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）A．61，63
B．63，65
C．65，67
D．63，64
【解答】解：利用平方式公式进行分解该数字：496﹣1＝（448+1）（448﹣1）＝（448+1）（424+1）（424﹣1）＝（448+1）（424+1）（412+1）（46+1）（43+1）（43﹣1）＝（448+1）（424+1）（412+1）（46+1）×65×63故选：B．
7．对于算式20183﹣2018，下列说法错误的是（ ）A．能被2016整除C．能被2018整除
B．能被2017整除D．能被2019整除
【解答】解：20183﹣2018＝2018（20182﹣1）＝2018×（2018+1）（2018﹣1）＝2018×2019×2017
2018×2019×2017能被2017、2018、2019整除，不能被2016整除．故选：A．
8．已知a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（ ）A．0
B．1
C．2
D．3
【解答】解：∵a＝2018x+2018，b＝2018x+2019，c＝2018x+2020，∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝＝＝＝＝3，
故选：D．
9．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（ ）A．（x﹣3）（b2+b）C．（x﹣3）（b2﹣b）
【解答】解：b2（x﹣3）+b（x﹣3），＝b（x﹣3）（b+1）．故选：B．
10．多项式x2+7x﹣18因式分解的结果是（ ）A．（x﹣1）（x+18）C．（x﹣3）（x+6）
【解答】解：原式＝（x﹣2）（x+9）．故选：D．
11．若k为任意整数，且993﹣99能被k整除，则k不可能是（ ）A．50
B．100
C．98
D．97
B．（x+2）（x+9）D．（x﹣2）（x+9）B．b（x﹣3）（b+1）D．b（x﹣3）（b﹣1）
【解答】解：∵993﹣99＝99×（992﹣1）＝99×（99+1）×（99﹣1）＝99×100×98，
∴k可能是99、100、98或50，故选：D．
12．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解n＝p×q（p≤q）称为正整数n的最佳分解，并定义一个新运算
．例如：12＝1×12＝2×6＝3×4，则
那么以下结论中：①
；②
．
；③若n是一个完全平方数，则F（n）
．正确的个数为
＝1；④若n是一个完全立方数（即n＝a3，a是正整数），则（ ）A．1个
B．2个
C．3个
，正确；，正确；
D．4个
【解答】解：依据新运算可得①2＝1×2，则②24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，则
③若n是一个完全平方数，则F（n）＝1，正确；
④若n是一个完全立方数（即n＝a3，a是正整数），如64＝43＝8×8，则F（n）不一定等于，故错误．故选：C．
二．填空题（共6小题）13．已知a＝
，b＝
，c＝
，则代数式
2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是 6 ．【解答】解：a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2＝（﹣1）2+（﹣4）2+（﹣1）2＝1+4+1＝6
故答案为6．
14．已知a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝ 3 ．【解答】解：∵a＝2005x+2006，b＝2005x+2007，c＝2005x+2008，∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
则原式＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]＝3．
故答案为：3．
15．已知a，b，c满足a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，a3+b3+c3＝5．则a4+b4+c4的值是 ．
【解答】解：∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），a+b+c＝1，a2+b2+c2＝3，∴1＝3+2（ab+bc+ac），∴ab+bc+ac＝﹣1，
∵a3+b3+c3﹣3abc＝（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac），a3+b3+c3＝5∴5﹣3abc＝3+1
∴abc＝，
∵（ab+bc+ac）2＝a2b2+b2c2+a2c2+2abc（a+b+c）∴1＝a2b2+b2c2+a2c2+∴a2b2+b2c2+a2c2＝
∵（a2+b2+c2）2＝a4+b4+c4+2（a2b2+b2c2+a2c2）∴9＝a4+b4+c4+∴a4+b4+c4＝故答案为：
．．
16．已知ab＝3，a+b＝5，则a3b+2a2b2+ab3的值 75 ．【解答】解：∵a3b+2a2b2+ab3＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2
又已知ab＝3，a+b＝5，∴原式＝3×52＝75故答案为：75．
17．已知x，y，z是△ABC的三边，且满足2xy+x2＝2yz+z2，则△ABC的形状是 等腰三角形 ．
【解答】解：∵2xy+x2＝2yz+z2，∴2xy+x2﹣2yz﹣z2＝0，
因式分解得：（x﹣z）（x+z+2y）＝0，∵x，y，z是△ABC的三边，∴x+z+2y≠0，∴x﹣z＝0，∴x＝z，
∴△ABC是等腰三角形；故答案为：等腰三角形．
18．已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2019＝ 2020 ．【解答】解：∵a2+a﹣1＝0
∴a2+a＝1∴a3+a2＝a
又∵a3+2a2+2019＝a3+a2+a2+2019＝a+a2+2019＝1+2019＝2020
∴a3+2a2+2019＝2020三．解答题（共5小题）19．因式分解：a2﹣2ab+b2﹣1．【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣1，＝（a﹣b）2﹣1，＝（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）．20．因式分解．
（1）a2（x+y）﹣4b2（x+y）（2）p2（a﹣1）+p（1﹣a）（3）
．
【解答】解：（1）原式＝（x+y）（a2﹣4b2）＝（x+y）（a+2b）（a﹣2b）；（2）原式＝（a﹣1）（p2﹣p）＝p（a﹣1）（p﹣1）；（3）原式＝
＝
＝．
21．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判定△ABC的形状．【解答】解：∵a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，∴a4﹣b4﹣a2c2+b2c2＝0，
∴（a4﹣b4）﹣（a2c2﹣b2c2）＝0，∴（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）＝0，∴（a2+b2﹣c2）（a2﹣b2）＝0
得：a2+b2＝c2或a＝b，或者a2+b2＝c2且a＝b，即△ABC为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．22．观察下列各式．
①4×1×2+1＝（1+2）2；②4×2×3+1＝（2+3）2；③4×3×4+1＝（3+4）2…（1）根据你观察、归纳，发现的规律，写出4×2016×2017+1可以是哪个数的平方？（2）试猜想第n个等式，并通过计算验证它是否成立．
（3）利用前面的规律，将4（x2+x）（x2+x+1）+1因式分解．【解答】解：（1）根据观察、归纳、发现的规律，得到4×2016×2017+1＝（2016+2017）2＝40332；
（2）猜想第n个等式为4n（n+1）+1＝（2n+1）2，理由如下：∵左边＝4n（n+1）+1＝4n2+4n+1，右边＝（2n+1）2＝4n2+4n+1，∴左边＝右边，
∴4n（n+1）+1＝（2n+1）2；
（3）利用前面的规律，可知4（x2+x）（x2+x+1）+1＝（x2+x+x2+x+1）
2＝（x2+2x+1）2＝（x+1）4．
23．定义：若数p可以表示成P＝x2+y2﹣xy（x，y为自然数）的形式，则称P为“希尔伯特”数．
例如：3＝22+11﹣2×1，39＝72+52﹣7×5，147＝132+112﹣13×11…所以3，39，147是“希尔伯特”数．（1）请写出两个10以内的“希尔伯特”数．
（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，试说明所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．（3）已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是224，求这两个“希尔伯特”数．【解答】解：（1）
∵0＝02+02×0，1＝12+02﹣1×0，3＝22+11﹣2×1，4＝22+02﹣2×0，7＝22+32﹣2×3，9＝32+02﹣3×0，
∴10以内的“希尔伯特”数有0，1，3，4，7，9；
（2）设“希尔伯特”数为（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）．（n为自然数）∵（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）＝4n2+3，∵4n2能被4整除，
∴所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．
（3）设两个“希尔伯特”数分别为：（2m+1）2+（2m﹣1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）和（2n+1）2+（2n﹣1）2﹣（2n+1）（2n﹣1）．（m，n为自然数）．
由题意：（2m+1）2+（2m﹣1）2﹣（2m+1）（2m﹣1）﹣[（2n+1）2+（2n﹣1）
2﹣（2n+1）（2n﹣1）]＝224，
∴m2﹣n2＝56，
∴（m+n）（m﹣n）＝56，可得整数解：
或
，
∴这两个“希尔伯特”数分别为：327和103或903和679．
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