2019-2020学年浙江省宁波市镇海中学高三（上）期中数
学试卷
一、选择题（本大题共10小题）
1. 已知集合，，则的元素的个数为
A. 2 B. 3 C. 4 2. 若a，b，且，则下列不等式中一定成立的是
D. 7 D. D. 36
A. B. C.
3. 已知是等差数列的前n项和，且，，则等于
A. 50 B. 42 C. 38 4. 函数的图象大致为
A.
B.
C.
D.
5. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面
积是
A. 84
B. C. D.
6. 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到，则的函数解析式为
A. C. A.
8. 已知，，，则
B. D.
B. B.
C. C.
D. D.
7. 设命题p：，命题，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是
A.
9. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，设点P是该椭圆和双曲线的一个公共点，且，
若椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为
A. B. C. D.
10. 设a，b为正实数，且，则的最大值和最小值之和为
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A. 2 B. C. D. 9
二、填空题（本大题共7小题）
11. 抛物线的焦点坐标是______，准线方程是______．
12. 已知点，，点在线段AB上，则直线AB的斜率为______；的最大值为______． 13. 若实数满足约束条件，则的最小值为______；的最小值为______．
14. 已知长方体中，，则直线与平面所成的角为______；若空间的一条直线l与直线所
成的角为，则直线l与平面所成的最大角为______． 15. 已知是等比数列，且，，则______，的最大值为______
16. 已知圆O：，设点P是恒过点的直线l上任意一点，若在该圆上任意点A满足，则
直线l的斜率k的取值范围为______．
17. 已知点，为单位圆上两点，且满足，则的取值范围为______． 三、解答题（本大题共5小题） 18. 已知的最大值为．
Ⅰ求实数a的值； Ⅱ若，求的值．
19. 在锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，．
Ⅰ求A；
Ⅱ求的取值范围．
20. 如图，在三棱锥中，和都为等腰直角三角形，，，M为AC的中点，且．
Ⅰ求二面角的大小；
Ⅱ求直线PM与平面PBC所成角的正弦值．
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21. 已知数列的前n项和为，且满足：．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ数列满足，，求数列通项公式．
22. 在平面直角坐标系中，已知，，若线段FP的中垂线l与抛物线C：总是相切．
Ⅰ求抛物线C的方程；
Ⅱ若过点的直线交抛物线C于M，N两点，过M，N分别作抛物线的切线，相交于点，分别与y轴交于点B，C．
证明：当变化时，的外接圆过定点，并求出定点的坐标； 求的外接圆面积的最小值．
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答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：0，1，2，3，4，，， 3，4，，
的元素的个数为4． 故选：C．
可以求出集合A，B，然后进行交集的运算求出，从而得出的元素的个数．
本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题． 2.【答案】D
【解析】解：，b，且，取，可排除A，B；取，可排除C． 由不等式的性质知当时，，故D正确． 故选：D．
根据不等式的基本性质，结合特殊值，可判断选项正误． 本题考查了不等式的基本性质，属基础题． 3.【答案】B
【解析】解：，， ，
解可得，，， 则．
故选：B．
结合等差数列的求和公式求出，d，然后再带入求和公式即可求解． 本题主要考查了等差数列的求和公式的简单应用，属于基础试题 4.【答案】A
【解析】解：，则函数为偶函数，图象关于y轴对称，排除B， 当，，排除C， 当时，，排除D， 故选：A．
先判断函数的奇偶性和对称性，利用极限思想以及当时的函数值是否对应进行排除即可．
本题主要考查函数与图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和极限思想，利用排除法是解决本题的关键． 5.【答案】B
【解析】【分析】
几何体为侧放的五棱柱，底面为正视图中的五边形，棱柱的高为4． 本题考查了棱柱的结构特征和三视图，属于基础题． 【解答】
由三视图可知几何体为五棱柱，底面为正视图中的五边形，高为4． 所以五棱柱的表面积为． 故选：B．
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6.【答案】C
【解析】解：将函数的图象向右平移个单位长度后，得到， 即将的图象向左平移个单位，得到． 故选：C．
直接利用三角函数关系式的平移变换和诱导公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的图象的平移变换的应用，诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 7.【答案】A
【解析】解：命题p：． 解得：．
命题q：，解得：．
又是p的必要不充分条件， ， ，
故选：A．
先求出命题p，q的等价条件，利用p是q的充分不必要条件，确定实数a的取值范围． 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用对数不等式和分式不等式的解法求出对应的解是解决本题的关键． 8.【答案】B
【解析】解：已知，，， 则，， 整理得：， 所以，又因为， 所以，即，所以， 由条件可得，整理得， ，
所以，， 即，
所以和两式平方和得，， 所以，解得． 故选：B．
直接利用三角函数关系式的变换和同角三角函数关系式的变换的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 9.【答案】A
【解析】【分析】
设出椭圆方程与双曲线方程，再设，，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得s，t，再由余弦定理，可得a，m与c的关系，结合离心率公式，以及基本不等式，可得所求最小值．
本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，主要是离心率，考查解三角形的余弦定理，以及基本不等式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 【解答】
解：不妨设椭圆方程为，双曲线方程为． 再设，，P为第一象限的交点，
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由椭圆和双曲线的定义可得，，
解得，，
在三角形中，， 可得 ， 即有， 可得， 即为， 则 ，
当且仅当，即，取得最小值． 故选：A． 10.【答案】C
【解析】解：设a，b为正实数，且， 设，，则，， 由柯西不等式：， 所以， 化简得，
所以不等式的解的端点就是n的一个最大值和一个最小值，也就是其对应的方程的两个根的和，
由韦达定理，其对应的方程的根的和为， 故的最大值和最小值之和为为． 故选：C．
利用换元法，设，，则，利用柯西不等式转化为，解不等式，利用根与系数的关系，解出即可．
考查换元法，柯西不等式的应用，一元二次不等式的解法，韦达定理，综合题． 11.【答案】
【解析】解：抛物线的焦点坐标是；准线方程是：． 故答案为：；．
利用抛物线的标准方程求解焦点坐标以及准线方程即可． 本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题． 12.【答案】
【解析】解：，， ；
线段AB的方程为． 点在线段AB上，，即 ．
当时，ab有最大值为． 故答案为：；．
直接由两点求斜率公式可得直线AB的斜率；求出线段AB的方程，把P的坐标代入，可得a，b的关系，把ab转化为a的二次函数求最值．
本题考查直线的斜率，训练了利用二次函数求最值，是基础题． 13.【答案】1
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【解析】解：作出实数满足约束条件，表示的可
行域，
作出直线，平移直线，当过点时， 取最小值：1．
的最小值为可行域内的点与的距离的最小值，即点到直线的距离． 的最小值为：． 故答案为：1；．
作出不等式组表示的可行域，以及直线，平移通过目标函数的几何意义，即可得到所求最小值．的最小值为可行域内的点与的距离的最小值，即点到直线的距离．
本题考查线性目标函数在不等式组下的最值问题的解法，注意运用平移法，考查作图能力，属于基本知识的考查． 14.【答案】
【解析】解：建立右图所示的空间直角坐标系，则有 0，，，0，，
设平面的一个法向量为，则有
，即，．
设直线与平面所成的角为，． 则有，．
故直线与平面所成的角为． 空间的一条直线l与直线所成的角为，不妨设直线l恒过
定点A，则直线l与平面的交点M的轨迹为：以点为圆心，为半径的圆． 则点M的坐标可设为，，又平面的一个法向量为， 直线l与平面所成的角为，则有，， ．
故直线l与平面所成的最大角为．
建立空间直角坐标系，用向量法可求解；
构造法，设动直线l恒过定点A，与平面的交点是以点为圆心，为半径的圆；然后设定直线l的方向向量，即可求解．
此题主要考查利用向量法求解立体几何运动题，凡是可建立坐标系的这类题应选择向量法更为适宜． 15.【答案】5
【解析】解：因为是等比数列，所以，，所以，即，又，所以， ．
故答案为：5，
根据等比中项的性质，，，代入原式化简即可
本题考查了等比数列的等比中项的性质，基本不等式等知识，属于基础题． 16.【答案】
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【解析】解：
因为，所以：当点A位于Y轴左侧时：
设直线PA的倾斜角为 因为；， 所以：；
斜率k的取值范围：
由对称性可知：当点A位于Y轴右侧时，斜率k的取值范围： 综上可得：直线l的斜率k的取值范围是： 故答案为：
先设出直线的倾斜角，根据三角形内角和为，求出点A位于Y轴左侧时倾斜角的范围，进而求出斜率，再根据对称性即可求出结论． 本题主要考查直线和圆的位置关系，本题的关键点在于根据条件分析出倾斜角的取值范围，属于基础题目． 17.【答案】
【解析】解：， 又， ，
设，，， 则 又，
当或时，取得最小值为， 当时，取得最大值． 故答案为：
计算，得出，设，，，根据和角公式化简，再根据的范围求出答案． 本题考查了平面向量的坐标运算，三角函数的化简求值，属于中档题．
18.【答案】解：Ⅰ，
由于函数的最大值为， 故，解得． Ⅱ由于，
所以，整理得． 所以， 所以． 或， 所以或，
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故，
所以当时．． 当时，， 所以原式．
【解析】Ⅰ直接利用三角函数关系式的恒等变换求出结果．
Ⅱ利用三角函数的关系式的变换和同角三角函数及倍角公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 19.【答案】解：Ⅰ在锐角中，，， 可得，
由余弦定理可得：， 由A为锐角，可得． Ⅱ，
又，可得， ， ， ，
即的取值范围是
【解析】Ⅰ由已知可得，由余弦定理可得，由A为锐角，可得A的值． Ⅱ由三角函数恒等变换的应用可求，由已知可求B的范围，进而利用三角函数的有界限即可得取值范围．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质等基础知识在解三角形中的综合应用，考查了运算能力和转化思想，属于中档题．
20.【答案】解：分别取线段AB，BC
的中点O，N，连接PO，ON，MN，PN，设，则有
在等腰直角中，O是中点，
则有---
在等腰直角中，点O，N分别是AB， BC的中点，则有--- 由可知，平面PON， 又，平面PON，则有． 又，则，
又，则有，又，由三角形余弦定理可知，， ，
即二面角的大小为．
建立如图所示的空间直角坐标系，过点P作交NO延长线于点D，设，则有 0，，2，，0，，1，， 由可知，，又，．
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，．
，
设平面PBC的一个法向量为，则有， 又，，， ．
设直线PM与平面PBC所成角为，则有： ．
故直线PM与平面PBC所成角的正弦值为．
【解析】关键是找到；
利用空间向量，建立恰当的空间直角坐标系，就可以很好地求解．
在几何法不好求解的立体几何题，可以选择用向量法去处理，但前提是：能够很好地建立空间直角坐标系，求出各点的坐标．
21.【答案】解：Ⅰ数列的前n项和为，且满足：． 当时，，两式相减得：，
所以数列是以2为首项为公比的等比数列． 所以．
Ⅱ由于，所以， 由于， 所以， 所以．
【解析】Ⅰ直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式． Ⅱ利用Ⅰ的结论，进一步利用关系式的变换的应用求出结果．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的递推关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 22.【答案】解：Ⅰ，，，可得FP的中点为， 当时，FP的中点为原点，
当时，直线FP的斜率为，线段FP的中垂线l的斜率为， 可得中垂线l的方程为，代入抛物线方程， 可得，
由直线和抛物线相切可得，解得， 则抛物线的方程为；
Ⅱ证明：可设过点的直线的方程为，即， 代入抛物线的方程，可得， 设，，则，，
由，两边对x求导可得，即， 可得M处的切线方程为，化为， 同理可得N处的切线方程为， 由可得，，即，
又，分别与y轴交于点，，
设过A，B，C的外接圆的方程为，， 即有，结合，，可得，，， 可得的外接圆方程为， 可得， 由可得或，
则当变化时，的外接圆过定点和； 的外接圆的半径，
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可得当时，r的最小值为，
则的外接圆面积的最小值为
【解析】Ⅰ求得FP的中点，讨论和t不为0，求得直线FP的斜率，可得中垂线l的斜率和方程，联立抛物线方程，运用直线和抛物线相切的条件：判别式为0，解方程可得p，进而得到所求抛物线方程；
Ⅱ可设过点的直线的方程为，即，代入抛物线方程，设，，运用韦达定理，由导数可得切线的斜率，分别求得M，N处切线的方程，求得交点A的坐标，B和C的坐标，设过A，B，C的外接圆的方程为，，由待定系数法解方程可得D，E，F，由圆过定点的求法，可得所求定点；
求得的外接圆的半径r，再由二次函数的最值求法，可得所求最小值．
本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理，同时考查圆的方程的求法和运用，以及圆过定点的求法，考查化简运算能力和推理能力，是一道综合题．
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