不等式组与方程组的完美结合

不等式组与方程组的完

美结合

Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

不等式组与方程组的完美结合

对于不等式组的考查，往往不再是某一知识点的简单重复，而是灵活地把不等式与其他知识结合起来，下面一起赏析不等式组与方程组相结合考题.

一、根据方程组解的关系列不等式组

xym3例1（2010年贵州黔东南州）关于x，y的方程组 的解满足x>y>0，则m

2xy5m的取值范围是（ ）.

(A) m>2 (B)m>－3 (C)－32

分析: 解决本题可先解方程组,然后根据x>y>0列出关于m的不等式组,即可求到m的范围.

x=2m+1

解: 解方程组,得

y=m-2 2m+1>m-2

由x>y>0,得 解这个不等式组,得

m-2>0 

m>2.

故选(A).

二、根据不等式组解的范围列方程组

x+a≥2

例2 （2009年山东烟台）如果不等式组2 的解集是0≤x<1,那么a+b的值

2x-b<3为________.

分析: 解决本题可先解不等式组,求出不等式组的解集,然后与已知的解集进行比较,列出关于a,b的方程组,即可求到a,b的值. x≥4-2a

解: 解不等式组,得b+3,

x<2 

4-2a=0

因为不等式组的解集为0≤x<1, 所以b+3

=12 解这个方程组,得a=2,b=－1,所以a+b=2+(－1)=2.

三、方程组与不等式组携手

例3 （2010年福州市）郑老师想为希望小学四年（3）班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包的价格比每本词典多8元，用124元恰好可以买到3个书包和2本词典.

（1）每个书包和每本词典的价格各是多少元

（2）郑老师计划用1000元为全班40位同学没认购买一件学习用品（一个书包或一本词典）后，余下不少于100元且不超过120元的钱购买体育用品，共有哪几种购买书包和词典的方案

分析：（1）每个书包和每本词典的价格，可根据问题中的相等关系，列出方程组进行求出；（2）求共有几种方案，则需要根据“余下不少于100元且不超过120元的钱购买体育用品”中所包含的不等关系列不等式组. 设每个书包的价格为x元，每本词典的价格为y元,根据题意,得

x+y=8 3x+2y=124

x=28

解这个方程组,得y=20



答:每个书包的的价格为28元,每本词典的价格为20元. (2)设购买书包y个,则购买词典(40－y)本,根据题意,得 1000-[28y+20(40-y)]≥100  1000-[28y+20(40-y)]≤120 解得10≤y≤,

因为y为整数,所以y的值为10或11或12.

所以有三种购买方案,分别是: ①书包10个,词典30本;②书包11个,词典29本;③书包12个,词典28本.

点击不等式（组）决策题

学习了一元一次不等式（组）以后，可以利用一元一次不等式（组）解决许多与

生活密切相关的实际问题，特别是经营决策问题，下面分类举例说明，供同学们参考．

一、最优决策

例1．（2010年山西省）某服装店欲购甲、乙两种新款运动服，甲款每套进价350元，乙款每套进价200元，该店计划用不低于7600元且不高于8000元的资金订购30套甲、乙两款运动服。 (1) 该店订购这两款运动服，共有哪几种方案

(2) 若该店以甲款每套400元，乙款每套300元的价格全部出售，哪种方案获

利最大

分析：(1) 设该店订购甲款运动服x套，根据资金不低于7600元且不高于8000元列不等式组求整数解.(2)根据3种方案的获利数比较确定.

[解] 设该店订购甲款运动服x套，则订购乙款运动服(30x)套，由题意，得

(1) 350x200(30x)76003240，解这个不等式组，得x，

33350x200(30x)8000 ∵x为整数，∴x取11，12，13，∴30x取19，18，17。 答：该店订购这两款运动服，共有3种方案。

方案一：甲款11套，乙款19套； 方案二：甲款12套，乙款18套； 方案三：甲款13套，乙款17套。 (2) 三种方案分别获利为：

方案一：(400350)11(300200)19=2450(元)。 方案二：(400350)12(300200)18=2400(元)。 方案三：(400350)13(300200)17=2350(元)。

∵2450>2400>2350，∴方案一即甲款11套，乙款19套，获利最大。 点评：解答方案最优问题一般需构建不等式(组)或函数模型进行分类讨论.

二、方案决策

例2．（2010黑龙江哈尔滨）君实机械厂为青扬公司生产A、B两种产品，该机械厂由甲车间生产A种产品，乙车间生产B种产品，两车间同时生产．甲车间每天生产的A种产品比乙车间每天生产的B种产品多2件，甲车间3天生产的A种产品与乙车间4天生产的B种产品数量相同．

（1）求甲车间每天生产多少件A种产品乙车间每天生产多少件B种产品

（2）君实机械厂生产的A种产品的出厂价为每件200元，B种产品的出厂

价为每件180元．现青扬公司需一次性购买A、B两种产品共80件，君实机械厂甲、乙两车间在没有库存的情况下只生产8天，若青扬公司按出厂价购买A、B两种产品的费用超过15000元而不超过15080元．请你通过计算为青扬公司设计购买方案．

分析：第1问较简单，可利用一元一次方程或二元一次方程组求解，第2问购买产品的费用由两部分组成，一是A种产品的费用，二是B种产品的费用，根据题意可列出不等式组，进而设计方案.

解：（1）设乙车间每天生产x件B种产品，则甲车间每天生产（x+2）件A种产品.

根据题意3（x+2）=4x 解得x=6 ∴x+2=8

答：甲车间每天生产8件A种产品，乙车间每天生产6件B种产品. （2）设青扬公司购买B种产品m件，则购买A种产品（80－m）件，

15000200(80m)180m1508046m50

∵m为整数 ∴m为46或47或48或49 又∵乙车间8天生产48件 ∴m为46或47或48

∴有三种购买方案：购买A种产品32件，B种产品48件；购买A种产品33件，B种产品47件；购买A种产品34件，B种产品46件.

点评：本题以产品的加工与经销问题背景，借助方程与不等式，进行方案设计，突出考查了学生综合运用方程与不等式知识解决实际问题的能力，体现了建模的数学思想.

小试牛刀：

1、（2010年福州市）郑老师想为希望小学四年（3）班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包价格比每本词典贵8元，用124元恰好可以买到3个书包和2本词典．

①每个书包和每本词典的价格各是多少元

②郑老师计划用1000元为全班40位学生每人购买一件学习用品（一个书包或一本词典）后，余下不少于100元且不超过120元的钱购买体育用．品．共有哪几种购买书包和词典的方案

解：（1）设每个书包的价格为x元，则每本词典的价格为(x8)元. 根据题意得

3x2(x8)124

解得x28 ∴ x820．

答：每个书包的价格为28元，每本词典的价格为20元． （2）设购买书包y个，则购买词典(40y)本. 根据题意得:

100028y20(40y)100 100028y20(40y)120解得 10y12.5 ．

因为y取整数，所以y的值为10或11或12．

所以有三种购买方案：①书包10个，词典30本；

②书包11个，词典29本； ③书包12个，词典28本．