例谈椭圆定义在解题中的应用(精)

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例谈椭圆定义在解题中的应用 聂文喜

定义是揭示事物的本质属性， 对于某些数学问题， 若能灵活运用定义解题， 往往事半功倍， 本文举例说明椭圆定义在解题中的应用。 一. 解方程 例 1.

x 2 ? 2x + 2 + x 2 + 2x + 2 = 4

分析：常规方法是经过两次平方去根号求解，但运算繁杂，难免不出错。如果联想到椭圆 的第一定义，将方程配方后令 1 = y 2 ，得 ( x ? 1) 2 + y 2 + ( x + 1) 2 + y 2 = 4 ，则点 M（x，y） 的轨迹是以 F1（-1，0） 2（1，0）为焦点，长轴长为 4 的椭圆，从而原方程的解等价于已知 ，F 椭圆上点的纵坐标去求它们的横坐标。 解：由原方程可得

?y 2 = 1 ? ? ? ( x ? 1) 2 + y 2 + ( x + 1) 2 + y 2 = 4 ? ? x2 y2 =1 ? + ?? 4 3 ?y 2 = 1 ? 解得 x = ± 2 6 3

二. 判断方程表示的曲线 例 2. 已知 x、y ∈ R ，且满足 x 2 ? 4 x + 4 + y 2 = 样的曲线。 分析： 若将原方程平方， 化简后并不能直接判断出轨迹是什么曲线， 注意式子结构的特点， 左边可看成点 M 到点（2，0）的距离，从而可联想右边可化为点 M 到直线 x + y ? 2 = 0 的距

1 | x + y ? 2| ，试判断点 M 的轨迹是怎 2

( x ? 2) 2 + y 2 2 离，即有 = ，由此联想到椭圆的第二定义，就很简单地求出点 M 的轨迹是 | x + y ? 2| 2 2 椭圆。

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三. 求参数的取值范围

x2 + y 2 = 1 的两个焦点是 F1（-c，0） 2（c， 、F m+1 0） （c>0） ，且椭圆上存在点 P，使得直线 PF1 与直线 PF2 垂直，求 m 的取值范围。

例 3. （2004 年高考・全国卷 III）设椭圆 解：由题意知 m>0， a = m + 1，b = 1 ， c = m ，且

?| PF1 |2 +| PF2 |2 =| F1 F2 |2 = 4c 2 ? ? ?| PF1 |+| PF2 | = 2a ② ? ②2－①得： ①

| PF1 || PF2 | = 2a 2 ? 2c 2 = 2 b 2 ? 又 | PF1 || PF2 | ≤ ( ?

| PF1 |+| PF2 | 2 ) = a2 2

所以 2 b 2 ≤ a 2 ，即 2 ≤ m + 1 ，所以 m ≥ 1 若方程 m(x 2 + y 2 + 2 y + 1) = ( x ? 2 y + 3) 2 表示的曲线为椭圆， 例 4. （1997 年全国联赛题） 则 m 的取值范围是（ ） A. （0，1） C. （0，5） B. （1，+∞） D. （5，+∞）

分析：由已知得 m[ x 2 + ( y + 1) 2 ] = ( x ? 2 y + 3) 2 即

x 2 + ( y + 1) 2 = | x ? 2 y + 5| 5

5 m 5 ∈(0，1) ，解得 m>5，选 D。 m

依题意，此方程表示椭圆，根据椭圆的第二定义，得 e =

四. 求最值 （1999 年全国联赛题）给定 A（-2，2） ，已知 B 是椭圆 例 5. （1）

x2 y2 + = 1 上动点，F 25 16

5 是左焦点，当 | AB|+ | BF| 取最小值时，求 B 点坐标。 3

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x2 y2 + = 1 内有一点 P（1，-1） 为椭圆右焦点，M 是椭圆上动点，求 ，F 4 3 |MP|+|MF|的最小值。

（2）已知椭圆 分析：此题如果按一般求最值的方法先建立目标函数，再求最值，因含有两个根式的和， 代入消元不易，难以求解，但如果我们注意数量特征，利用椭圆定义合理转化，则可得到如下 简解。

5 解： 显然点 A 在椭圆内部， （1） 由椭圆第二定义可得： 到椭圆左准线 l 的距离 d = | BF| ， B 3 5 所以 | AB|+ | BF| =| AB|+d ，结合平面几何知识，可知，当 AB⊥l 时， | AB|+ d 最小，此时易求 3 5 3 ，2） B 点坐标为（ ? 2 （2）设椭圆的左焦点为 F'，由平面几何知识，得 | MP| ≥| MF'|?| PF'| ，当且仅当 M 为线段 F'P 的延长线与椭圆交点时取等号。 所以 | MP|+| MF| ≥| MF'|?| PF'|+| MF| = 4 ?| PF'| = 4 ? 5 所以 | MP|+| MF| 的最小值为 4 ? 5 。

五. 求轨迹方程 例 6. （2002 年春季高考题）已知椭圆的焦点是 F1、F2，P 是椭圆上一个动点，如果延长 ） F1P 到 Q，使得 | PQ| =| PF2 | ，那么动点 Q 的轨迹是（ A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线一支 D. 抛物线 解：因为 | PQ| =| PF2 | ，所以 | QF1 | =| PQ|+| PF1 | =| PF2 |+| PF1 | 由椭圆第一定义得 | PF1 |+| PF2 | = 2a ，故 | QF1 | = 2a ，即 Q 点轨迹是以 F1 为圆心，以 2a 为 半径的圆，选 A。 求焦点三角形的面积 六. 求焦点三角形的面积 例 7. 已知点 P 是椭圆 α，求△F1PF2 的面积 S。 解：△PF1F2 中，由余弦定理，得

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 上的一点，F1、F2 是两个焦点，且∠F1PF2＝ a 2 b2

| F1 F2 |2 =| PF1 |2 +| PF2 |2 ?2| PF1 || PF2 |cos α = (| PF1 |+| PF2 |) 2 ? 2| PF1 || PF2 |(1 + cos α )

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所以 | PF1 || PF2 | = 故 S ?PF1F2 =

2b 2 1 + cos α

α 1 b 2 sin α | PF1 || PF2 |sin α = = b 2 tan 2 1 + cos α 2

七. 求离心率

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 上一点，F1、F2 是椭圆的左、右

焦点若∠PF1F2 a 2 b2 ＝α，∠PF2F1＝β，求椭圆离心率。 例 8. 已知 P 是椭圆 解：△PF1F2 中，由正弦定理有

| PF1 | | PF2 | | F1 F2 | = = sin β sin α sin[π ? (α + β )] ? ?

| PF1 |+| PF2 | | F1 F2 | = sin α + sin β sin(α + β ) 2a 2c = sin α + sin β sin(α + β ) sin(α + β ) c = a sin α + sin β ?e=

八. 求离心率取值范围

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的两个焦点，若椭 a 2 b2 圆上存在点 P 使得∠F1PF2＝120°，求椭圆离心率的取值范围。 例 9. （2001 年“希望杯”赛题）F1、F2 是椭圆 解：由同例 8 得 e=

sin(α + β ) = sin α + sin β cos cos

α +β α ?β 2 2

又 α + β = 60 o ，所以 e =

α?β cos 30 o 3 3 = cos ∈[ ，1) α?β 2 2 2 cos 2

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