高考数学试题分类汇编含答案圆锥曲线

圆锥曲线

一、选择题

1、（2016 年四川高考） 设 O为坐标原点， P 是以 F 为焦点的抛物线 点， M是线段 PF上的点，且

y

2

2 px(p 0) 上随意一

PM =2 MF , 则直线 OM的斜率的最大值为

（ C）

（ A）

3 3

（ B）

2 3

2 2

（D）1

【答案】 C

2、（ 2016 年天津高考）已知双曲线

x2

4

（ b ），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为

b 2 =1 >0

y 2

半径长的圆与双曲线的两条渐近线订交于

、 、 、 四点，四边形的

的面积为 2 ，

A B C D

ABCD

b

则双曲线的方程为（

2 x（A）

）

3 y2

x2 4 y 2

x2 y2

x2 y2

4

4 =1（ B） 4

3 =1（C） 4

b2

=1（D）

412 =1【答案】 D

22

x y

3、（ 2016 年全国 I 高考）已知方程 =1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离 2 – 2

m+n 3m– n

为 4，则 n 的取值范围是

（ A）( – 1,3)

（B）( –1,

3)

（ C） (0,3)

（ D） (0, 3)

【答案】 A

4、（ 2016 年全国 I 高考）以抛物线

的极点为圆心的圆交 于 ， 两点，交

的准线于 ，

C

C

A B C

D

两点. 已知| |= ， | （B） 4

，则 的焦点到准线的距离为

E

（A）2

【答案】 B

AB 4 2 DE|=2 5

C

（C）6

（ D）8

2

5、（ 2016 年全国 II 高考）圆 x y2

2x 8 y 13

0 的圆心到直线 ax y

1 0的距离

为 1，则

（ ）

a=

（ A）

4

（ B）

3 4

（C） 3

（D）2

3

【答案】 A

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6、（ 2016 年全国 II 高考）圆已知

F1,F2 是双曲线 E :

x2

a2

y2 1 的左，右焦点，点 b2

M 在 E

上， MF1 与 x 轴垂直， sin MF 2 F1

1 3

（C）

, 则 E 的离心率为（

）

（A） 2

（B）

3

3

（D）2

2

【答案】 A

7、（ 2016 年全国 III

高考）已知 O为坐标原点， F 是椭圆 C：

x2

y2

b2

1(a b

0) 的左焦

a2

点， A，B 分别为 C的左，右极点 . P 为 C上一点，且 PF

经过

x 轴 . 过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E. 若直线 BM

的中

点，则 C的离心率为

OE

（A）

1

（B）

1

（C）

2

（D）

3

3 2 3

4

【答案】 A

8、（ 2016 年浙江高考）

已知椭圆 C1：

2

x2

+2 =1( y

m>1) 与双曲线 C2 ： x2 – y2 =1( n>0) 的焦点重

1

1

m2 n2

合，

e e C C

A． m>n 且 e1e2>1 B ． m>n 且 e1e2<1 C ． m1 D ． m， 2 分别为 ， 的离心率，则

【答案】 A 二、填空题

1、（ 2016 年北京高考） 双曲线

x2

y2

a2 b2

1

（ a

0 ， b 0 ）的渐近线为正方形

OABC

的边

OA

，

OC所在的直线， 点 B 为该双曲线的焦点， 若正方形 OABC的边长为 2，则 a _______________.

【答案】 2

2、（ 2016 年山东高考）已知双曲线

E： x

2

a2

y2 b2

），若矩形 ABCD的四个极（ a＞ ，b＞ 点 1 0 0

在 E上， AB， CD的中点为 E的两个焦点，且

【答案】 2

2| AB|=3| BC| ，则 E 的离心率是 _______.

【分析】 由题意 BC = 2c ，所以 AB = 3c，

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于是点（ ,

3

c

c )

2

2在双曲线 E 上，代入方程，得

2c－ 9 c ，

2 2 = 1 a 4 b

2

2

在由 a

2

+ b = c 得 E 的离心率为 e = = 2 ，应填 2.

a

c

3、（ 2016 年上海高考）已知平行直线 l1 : 2 _______________ 【答案】

x y 1 0,l 2 : 2 x y

1 0 ，则 l1,l2 的距离

2 5

5

4、（ 2016 年浙江高考）若抛物线 _______． 【答案】 9 三、解答题

y2 =4x 上的点 M 到焦点的距离为

10，则 M 到 y 轴的距离是

2

1、（ 2016 年北京高考）

已知椭圆 C： 2

x

2

a

OAB 的面积为 1.

y 2 1 （ a b b

0 ）的离心率为

3 ， A(a,0) ， 2

B(0, b) ， O (0,0) ，

（ 1）求椭圆 C 的方程；

（ 2）设 P 的椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB与 x 轴交于点 N. 求证： AN

BM 为定值 .

c a

【分析】⑴由已知，

, ab 1，又 a

2 2

312

b

2

c ，

2解得 a

2, b 1,c

3.

2

∴椭圆的方程为

⑵方法一：

x 4

y

2

1.

设椭圆上一点

P x0 , y0 ，则

y0 x0 2

x2

0

y02 1.

0

直线 PA ： y

4

x 2 , 令 x

0 ，得 yM

2 y

x0

.

2

∴ BM

1

2 y0 x0

直线 PB ： y

y01

2

x 1 , 令 y 0 ，得 xN x0

x

0

.

y0 1

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∴ AN

2

x0

y0 1

AN

BM 2

1

x0 y0

1

2y0 x0

2

x0 2 y0 2 x0 2 y0 2

x0 2 y0 1 x02 4 y02

x0 y0 x0 2y0

2

4x0 y0 4x0 8 y0 4

将

x0

2

y2

0

1代入上式得 AN BM =4

故 AN BM 为定值.

方法二：

设椭圆 上一点 P 2cos

,sin

x

，

直线 ∴

PA: y

sin

2 , 令 x

0 ，得 yM

sin 1 cos

2cos 2

sin cos 1

.

BM

PB : y

直线

∴ AN

1 cos

sin 1

x 1, 令 y

2cos 2sin 2cos 2

0 ，得 xN

2cos 1 sin

.

1 sin 2sin 2cos

2

sin cos 1 cos

1

AN BM

2 4

2

1 sin 2sin 1 sin

2cos cos

2sin cos sin cos

故 AN BM 为定值 .

2、（ 2016 年山东高考）平面直角坐标系

xOy 中，椭圆 C：

x2

a2

y2 b2

1 a＞ b＞0

的离心率

是

3 ，抛物线 E： x2

2y 的焦点 F 是 C的一个极点 .

2

（ I ）求椭圆 C的方程；

（ II ）设 P是 E上的动点，且位于第一象限， E 在点 P 处的切线 l 与 C交与不一样的两点

A， B，

线段 AB的中点为 D，直线 OD与过 P且垂直于 x 轴的直线交于点

M.

（ i ）求证：点 M在定直线上 ;

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（

ii

）直线 l 与 轴交于点

y G

，记

△PFG

的面积为

S1 ，△ PDM 的面积为 S2 ，求

S1

的最大

S2

值及获得最大值时点

P的坐标 .

【分析】 ( Ⅰ) 由离心率是

3 ，有 a2 = 4b 2 ， 2

又抛物线 x

2

= 2 y 的焦点坐标为 F (0, ) ，所以 b =

2

1

1 2

，于是 a = 1 ，

所以椭圆 C 的方程为 x2 + 4 y 2 = 1．

( Ⅱ ) （i ）设 P 点坐标为 P（ m,

m2

), (m > 0) ，

2

x = 2y

由

2 y = x E P m 得 ′ ，所以 在点 处的切线 l 的斜率为 ，

所以切线 l 的方程为 y = m x－

m

2

，

2

设 A( x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) ， D ( x0 , y0 ) ，

将 y = m x－

m2 代入 x2 + 4 y 2 = 1，得 2

（1 + 4m2 ) x 2－ 4m 3 x + m2－ 1 = 0 ．

于是

4m3

x1 + x2

2m3

x+ x=1 2 1 + 4m2

又 y0

= mx0－ m2 2

， x0 =

2

= 1+ 4m 2，

= －m2 2 ， 2(1 + 4m )

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于是

直线 OD 的方程为 y = －

1

x ．

4m

联立方程 y = －

1

x 与 x = m ，得 M 的坐标为 M(m, － ) ．

1 4

4m

1

所以点 M 在定直线

y = － 4 上．

（ ii ）在切线 l 的方程为 y = m x－

1

m2

中，令 x = 0 ，得 y = －

m22

， 2

即点 G 的坐标为 G(0, －

m 2

1

) ，又 P(m, ) ， F(0, ) ， 2 2 2

m 2

m(m2 + 1)

所以 S1 = m ×GF =

2

4

；

2－m

) ，得 再由

224m 2(4m +1) D( +1 ,

2m3

1 2m2 + 1 2m3 + m m(2m2 + 1) 2

×S=×=22 4m2 + 1 8( 4m2 +1) 4

于是有

S1 2(4m2 +1)(m2 +1)

S2

2

=

(2m

S1

2

+1)

2

．

2(t－ )(t + 1)

2

2

1

令 t = 2m

+1，得

=

=2+ －

1 t

1

2

S2

2时， 当 1 = 1 时，即 t = 值

S1S2

t

t

获得最大t 2

9 ． 4

此时 m2 = 1 ， m = 2 ，所以 P 点的坐标为 P( 2 , 1 ) ．

2

2

2

4

所以

S1

的最大值为

S2

9 ，获得最大值时点 P 的坐标为 P( 2 , ) ． 4 2 4

1

3、（ 2016 年上海高考）

有一块正方形菜地

EFGH , EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜

可送到 F 点或河畔运走。于是，菜地分为两个地区

S1 和 S2 ，此中 S1 中的蔬菜运到河畔较近，

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S2 中的蔬菜运到 F 点较近，而菜地内

S1 和 S 2 的分界限 C 上的点到河畔与到

F 点的距离相

等，现成立平面直角坐标系，此中原点

O为EF 的中点，点 F 的坐标为（ 1,0 ），如图

（ 1）求菜地内的分界限

C 的方程

（ 2）菜农从蔬菜运量预计出

S1 面积是 S2 面积的两倍，由此获得 S1 面积的“经验值”为

8 。 3

设M 是C上纵坐标为

1 的点，请计算以 EH 为一边、另一边过点

M 的矩形的面积，及五边

形 EOMGH 的面积，并判断哪一个更靠近于 【分析】

S1 面积的经验值

（ 1）由于 C 上的点到直线

与到点 F 的距离相等，所以

C 是以 F 为焦点、以

为准线的抛物线在正方形

FG 内的部分，其方程为

y2

4x （ 0

y 2 ）．

（ 2）依题意，点

的坐标为

1

,1 ．

所求的矩形面积为

5 2

4

，而所求的五边形面积为

11 ． 4

矩形面积与“经验值”之差的绝对值为

5 8 2 3

1

，而五边形面积与“经验值”之差

6

的绝对值为

11

4

8 3

1 ，所以五边形面积更靠近于 S1 面积的“经验值” ． 12

2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.

4、（ 2016 年上海高考）此题共有

双曲线 x2

y 2 1(b b2

0) 的左、右焦点分别为 F1、F2 ，直线 l 过 F2 且与双曲线交于

A、 B 两点。

（ 1）若 l 的倾斜角为

，

F1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

2

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（ 2）设 b 3 ，若 l 的斜率存在，且 ( F1A F1B)

AB 0 ，求 l 的斜率 .

【答案】（ 1） y

2x ．（ 2）

15

5

.

【分析】（ 1）设

x , y

．

由题意， F2 c,0 ， c 由于 即 4 1

1 b2 ， y2 b2 c2 1 b4 ，

2c

F1

是等边三角形，所以

3 y ，

b2 3b4 ，解得 b2

y

2 ．

故双曲线的渐近线方程为 （ 2）由已知， F1 设

2x ．

2,0 ， F2 2,0 ． x2, y2 ，直线 l : y

x1 , y1 ， k x 2 ．明显 k

0 ．

x2 y2 1 2 2 2

3 3 x 4k x 4k 由 ，得 k

y k x 2

由于 l 与双曲线交于两点，所以 设

的中点为

2

3 0 ．

k2 3 0 ，且

．

36 1

k 2

0 ．

x , y

由 F

1

F

1

0即 1

，知 F1

，故 k

F1

k

1 ．

F

， y

2

0

而 x

x1 x2

2k 2 k 2 3

k x

2

2 3k

k

6k ， k

F

k 2 3 1

3k 2k2

，

3

所以

1 ，得 k

3

，故 l 的斜率为

15 5

．

2k 2 3

5

5、（ 2016 年四川高考）已知椭圆 E：

的两个焦点与短轴的一个端点

是直角三角形的 3 个极点，直线 l : y＝－ x+3 与椭圆 E 有且只有一个公共点 T.

（ I ）求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标；

）设 O是坐标原点，直l ’ 平行于 OT, 与椭圆 E 交于不一样的两（ II 线 点 A、B，且与直线 l 交于 点 P. 证明：存在常数 λ ，使得∣ PT∣ 2=λ ∣ PA∣· ∣PB∣，并求 λ 的值 .

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x2

有方程组 2b2

y2

b2 1, 得 3x2 12x (18 2b2 ) 0. ① x 3,

y

方程①的鉴别式为

=24(b2 3) ，由 =0 ，得 b2 =3 ，

此方程①的解为 x=2 ， 所以椭圆 E的方程为

x2

6

y 2

3

1.

点 T坐标为（ 2,1）.

由②得 x1 x2 =

4m 3

, x1x2

4m2 12

.

3

2

所以

PA

(2 2m x )

1

3

(1

2m

y )2

1

5 2 2

2m x ，

3

3

1

同理

PB

5 2m

x2 ， 2

2 3

所以 PB PB

5

(2

4

2m x1 )(2 2m x2 ) 3 3

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5

(2

2m 2m) 2 (2

)( x1

x2 ) x1x2

4

3

3

5

(2

2m) 2 (2 2m)( 4m)

4m2 12

4

3

3 3

3

10 m2 .

9

4

故存在常数

2

，使得 PT

PA PB.

5

6、（ 2016 年天津高考）设椭圆

x2y2 1 （ a

3 ）的右焦点为

F ，右极点为 A ，已知

a2

3

1

1

3e

，此中 O 为原点， e为椭圆的离心率 .

|OF |

|OA| |FA |

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点

A 的直线 l 与椭圆交于点 B （ B 不在 x 轴上），垂直于 l 的直线与 l 交于点

M ，与 y 轴交于点 H ，若 BF

HF ，且 MOA MAO ，求直线的 l 斜率的

取值范围 .

【分析】

（ 2）（Ⅱ）解：设直线 l 的斜率为 k （ k

0），则直线 l 的方程为 y k (x 2) . 设 B( xB , yB ) ，

x2 y2

由方程组

1 ，消去 y ，整理得 (4 2

12 0 .

4 3

k 2 3) 2 16 16 2

x k x k

y k( x

2)

解得 x2 ，或 x6

8k 2 6 ，由题意得 xB 8k 2 ，进而 yB 12k .

4k 2

3

4k 2 3

4k 2 3

由 （ Ⅰ ） 知， F (1,0) ， 设 H (0, y9H ) ， 有 FH

( 1, yH ) ， BF (

4k2 , 12k ) . 由

4k 2 3 4k 2 3

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9 4k2

BF

12 kyH

2

9

4k 2 12k

HF ，得 BF HF 0 ，所以

4k 2 3

4k 3

0 ，解得 yH

. 所以直线 MH

的方程为 y

1 x k

9 4k2 .

12k

1 x 9 4k 2

设 M ( xM , yM ) ，由方程组 k 12k 消去 y ，解得 xM

y k( x 2)

y

20k 2 9

2

12(k

1)

. 在 MAO 中，

MOA MAO

| MA | | MO | ， 即 ( xM

2) 2 yM2 xM2

yM2 ， 化 简 得 xM

1 ， 即

20k2 9 12( k2 1)

1，解得 k

6 4

或 k

6 4 ,

.

所以，直线 l 的斜率的取值范围为

(

6 ] [ 6 ,

4 4

) .

7、（2016 年全国 I 高考）设圆 x2

y2 2 x 15 0 的圆心为 A，直线 l 过点 B（ 1,0 ）且与 x

轴不重合， l 交圆 A 于 C， D两点，过 B作 AC的平行线交 AD于点 E. （I ）证明 EA

EB 为定值，并写出点 E 的轨迹方程；

1

（II ）设点 E 的轨迹为曲线 C，直线 l 交 C 于 M, N两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A

1

交于 P, Q两点，求四边形 MPNQ面积的取值范围 .

【分析】（Ⅰ）由于 | AD | | AC |， EB // AC ，故 所以 | EB| |ED|，故 |EA| 又圆 A 的标准方程为 ( x 由题设得 A(

EBD

ACD

ADC ，

|EB| |EA|

1) 2 y2

|ED| |AD|.

16，进而 |AD| 4，所以 | EA| |EB| 4.

1,0) ， B(1,0) ， | AB | 2 ，由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为：

x2 4

y 2 3

1

（ y

0 ）.

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8、（ 2016 年全国 II

高考）已知椭圆 E :

x2

t

y2 1的焦点在 x 轴上， A 是 E 的左极点，斜率 3

为 k(k

0)的直线交 E于 A,M 两点，点 N 在E上， MA NA．

4,| AM | | AN | 时，求

AMN 的面积；

（Ⅰ）当 t

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（Ⅱ）当 2 AM

【分析】 ⑴当 t

AN 时，求 k 的取值范围．

4 时，椭圆 E的方程为

AM

x2

4

y2 1 ， A 点坐标为 2，0 ， 3

则直线

的方程为 y k x

2 ．

x2 y2

联立

4 3 并整理得， 3 4k xy k x 2

1

2

2

2

2

16k x 16k

12

2

0

2

2

解得 x

2 或 x

8k

3 4k

6

2 ，则 AM 1 k

2

8k

6

2

1 k

2

12 3 12

2

3 4k 12

4k

由于 AM

AN ，所以

AN

1 k

2

2

1

3 4 1

1 k

2

1 k

3 k

4 k

由于 AM

1 k 2

AN ， k

12 3 4k

0，

2

1 k2

12 3k

2

所以

4 ，整理得 k 1 4k k

2

k 4

0 ，

4k2 k 4 0 无实根，所以 k 所以 △AMN 的面积为

1．

1

2

AM 2 1

1 1

12

144 ．

2

3 4

49

⑵直线 AM的方程为 y k x

t ，

2

x2 y2

1

2

2

22

联立

t

3

并整理得， 3

tk x

2t tk x t k

3t 0

y k x

t

解得 x

t 或 x

t tk 2 3 t

3 tk t

2

，

所以 AM

1 k

2

tk 2 3 t 3 tk

2

t

1

k

2

6 t

3

2

tk

所以

AN

1 k 2 6 t t

3k

k

由于2AM AN

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所以

2

1 k

6t3 tk

2

2

2

61 k

t t ，整理得， k

2

3k

t 6k 3 3k ．

k 2

由于椭圆 E 的焦点在 x 轴，所以 t

3 ，即 6 k2

3

k

3k 3 ，整理得 2

k2

k

1 k 2

3

0

2

解得

3

2

k

．2

9、（ 2016 年全国 III 高考）已知抛物线 C ： y2

2x 的焦点为 F ，平行于 x 轴的两条直线 l1 ,l 2

分别交 C 于 A， B 两点，交 C 的准线于 P， Q 两点． （I ）若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中点，证明 （II ）若 PQF 的面积是 ABF 的面积的两倍，求

AR FQ；

AB 中点的轨迹方程 .

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2 、（ 2016 年浙江高考）如图，设椭圆

xy 2 1 （a＞ 1） .

a 2

I ）求直线 y=kx+1 被椭圆截得的线段长（用 a、 k 表示）；

II ）若随意以点 A（ 0,1 ）为圆心的圆与椭圆至多有

3 个公共点，求椭圆离心率的取值

.

y kx

1

I ）设直线 y kx 1 被椭圆截得的线段为

，由

x2

得

y 2

1

a2

1 a2k 2 x2

2a2kx 0 ，故 x1

0 ， x2

2a2 k ．

1 a2k 2

10（（范围

【试题分析】（

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所以

1 k x1 x2

2

2a k 1 a2 k2

2

1 k 2 ．

II （

y

）假定圆与椭圆的公共点有

Q

轴左边的椭圆上有两个不一样的点

4 个，由对称性可设 ， ，

知足

Q ．

记直线

， Q 的斜率分别为

k1 ， k2 ，且 k1 ， k2 0 ， k1 k2 ．

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