一、选择题（共6小题）.
1．计算|﹣2×4×0.25|的结果是（ ） A．﹣4
B．﹣2
C．2
D．4
2．计算（ab3）2的结果是（ ） A．2ab3
B．ab6
C．a2b5
D．a2b6
3．根据国家电影局发布的数据显示，2021年2月11日（除夕）至17日（正月初六），全国电影票房达7822000000元，刷新了春节档全国电影票房纪录，用科学记数法表示7822000000是（ ） A．78.22×108 C．7.822×1010
B．7.822×109 D．0.7822×1010
4．B＝2x，A的值始终比B的值大， 已知A＝x2+a，若对于所有的实数，则a的值可能是（ ）A．﹣1
B．0
C．1
D．2
，b＝
5．数轴上A、B、C三点分别对应实数a、b、c，点A、C关于点B对称，若a＝4，则下列各数中，与c最接近的数是（ ） A．4
B．4.5
C．5
D．5.5
6．如图，把直径为60cm的圆形车轮（⊙O）在水平地面上沿直线l无滑动地滚动一周，设初始位置的最低点为P，则下列说法错误的是（ ）
A．当点P离地面最高时，圆心O运动的路径的长为30πcm B．当点P再次回到最低点时，圆心O运动的路径的长为60πcm
C．当点P第一次到达距离地面15cm的高度时，圆心O运动的路径的长为7.5πcm D．当点P第二次到达距离地面30cm的高度时，圆心O运动的路径的长为45πcm 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
7．4的平方根是 ，27的立方根是 ．
8．若分式的值为零，则x的值为 ．
9．方程x2＝3x的解为： ．
10．已知反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，4），则k＝ ． 11．计算
的结果是 ．
12．某校国旗护卫队有5名学生，身高（单位：cm）分别为173、174、174、174、175，则这5名学生身高的方差为 cm2．
13．如图，五边形ABCDE是正五边形，过点B作AB的垂线交CD于点F，则∠C﹣∠1＝ °．
14．如图，点O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，点M、N分别是OD、OE的中点，连接MN，若MN＝2，则BC＝ ．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点（1，），且与x轴的夹角为30°，则直
线l与坐标轴所围成的三角形的周长是 ．
16．已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣1（m为常数），如果当自变量x分别取﹣3，﹣1，1时，所对应的y值只有一个小于0，那么m的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解不等式
＜1．
18．计算：．
19．某车间生产一种零件，该零件由甲乙两种配件组成，现有7名工人，每人每天可制作甲配件900个或者乙配件1200个．应怎样安排人力，才能使每天制作的甲乙配件的个数相等？
20．如表是某地某个月中午12时的气温（单位：℃）的统计数据． 某地某个月中午12时的气温频数分布表 组别 1
气温分组 12≤x＜16
2
16≤x＜20
3
20≤x＜24
4
24≤x＜28
5
28≤x＜32
10 8 6 5 频数 1
方法指导
数据分组后，一个小组的组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数，例如：第1小组12≤x＜16的组中值为
＝14．根据频数分布表求加权平均数时，统计中常用各
组的组中值代表各组的实际数据，把各组的频数看作相应组中值的权．
根据统计的数据，回答下列问题：
（1）该地该月中午12时的气温的中位数落在第 组内； （2）求该地该月中午12时的平均气温．
21．一只不透明的袋子中装有1个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，摇匀后从中任意摸出2个球．
（1）若这个袋子中共有4个球，求摸出红球的概率；
（2）若这个袋子中共有n（n＞1且n为正整数）个球，则摸出红球的概率是 （用含n的代数式表示）．
22．已知关于x的方程mx2+（m﹣1）x﹣1＝0（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，该方程总有实数根； （2）若该方程有两个实数根x1、x2，求x1+x2+x1x2的值．
23．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E与点O关于CD对称． （1）连接CE、DE，求证：四边形CEDO是菱形； （2）若AB＝2，∠AOB＝60°，求点E、O之间的距离．
24．如图，为测量直立在建筑物AB上的广告牌AC的高度，小莉在地面上D的处测得A的仰角为31°，然后她沿正对建筑物方向前进了10m到达E处，此时测试A、C的仰角分别为45°、52°，求广告牌AC的高度．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28．）
25．某宾馆有8位旅客要在当日上午10点前到达火车站，他们上午9点出发，唯一可以利用的交通工具只有一辆汽车，但这辆汽车连同司机在内最多能乘坐5人，司机需要分两批接送旅客，接送第一批旅客的同时，让其余旅客步行前往，汽车到达火车站后，立即返回接送第二批步行的旅客．在整个过程中，汽车行驶的速度始终不变，旅客上下车的时间忽略不计．设汽车从宾馆出发xh后，汽车和第二批旅客分别到达离宾馆y1km，y2km的地方，图中的折线OABC表示y1与x之间的函数关系，折线OBC表示y2与x之间的函数关系．
（1）宾馆与火车站相距 km，第二批旅客的步行速度是 km/h； （2）解释图中点B的实际意义；
（3）第二批旅客能否在上午10点前到达火车站？如果能，请说明理由；如果不能，汽车在接到第二批旅客后至少提速多少才能保证不晚于10点到达？
26．如图①，△ABC的内切圆⊙与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，DO、EO、FO的延长线分别交⊙O于点G、H、I，过点G、H、I分别作AB、BC、AC的平行线，从△ABC上截得六边形JKMNPQ．通常，在六边形中，我们把相间两个内角的内角称为六边形的对角，把相邻两角的夹边和它们的对角的夹边称为六边形的对边．
（1）求证：六边形JKMNPQ的对角相等；
（2）小明在完成（1）的证明后继续探索，如图②，连接OJ、OM、ON、OQ，他发现△DOM≌△GOQ、△DON≌△GOJ，于是猜想六边形JKMNPQ的对边也相等．请你证明他的发现与猜想．
27．【问题提出】为了保持室内空气的清新，某仓库的自动换气窗采用了以下设计： 如图①，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形ABCD和一个△CDE组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气．通风口是一个矩形形状的联动装置，顶点P、只能在边框AB上滑动，顶点M、N可在其它边框上滑动，联动装置的四边都是长度可自动伸缩的金属杆，当金属杆MN上下移动时，其他金属杆也随之移动，图①、图②是通风口打开时的两种不同情况，试确定金属杆MN的位置，使通风口（矩形PQNM）面积最大．
设窗子的边框AB、AD分别为am，bm，窗子的高度（窗子的最高点到边框AB的距离）为cm． 【初步探究】
（1）若a＝2，b＝1，c＝2（即点E到AB的距离为2），MN与AB之间的距离为xm，通风口的面积为ym2．
①分别求出当0≤x≤1和1≤x≤2时y与x之间的函数表达式； ②金属杆MN移动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少？
【深入探究】
（2）若金属杆MN移动到高于CD所在位置的某一处时通风口面积达到最大值． ①c需要满足的条件是 ，通风口的最大面积是 m2．（用含a、b、c的代数式表示）
②用直尺和圆规在图③中作出通风口面积最大金属杆MN所在的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
（3）若将窗子的上部分边框改为以AB的中点O为圆心的圆弧（CD）形状（如图④所示），其他条件不变，金属杆MN移动到什么位置时，通风口面积最大．（直接写出答案，不必说明理由）
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．计算|﹣2×4×0.25|的结果是（ ） A．﹣4
B．﹣2
C．2
D．4
【分析】利用有理数的乘法法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值． 解：原式＝|﹣2×4×|＝|﹣2|＝2． 故选：C．
2．计算（ab3）2的结果是（ ） A．2ab3
B．ab6
C．a2b5
D．a2b6
【分析】根据积的乘方等于乘方的积，可得答案． 解：原式＝a2b6， 故选：D．
3．根据国家电影局发布的数据显示，2021年2月11日（除夕）至17日（正月初六），全国电影票房达7822000000元，刷新了春节档全国电影票房纪录，用科学记数法表示7822000000是（ ） A．78.22×108 C．7.822×1010
B．7.822×109 D．0.7822×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 解：7822000000＝7.822×109． 故选：B．
4．B＝2x，A的值始终比B的值大， 已知A＝x2+a，若对于所有的实数，则a的值可能是（ ）A．﹣1
B．0
C．1
D．2
【分析】本题只需根据题意列出一元二次不等式，解出不等式即可． 解：由题可得：∵A的值始终比B的值大，
∴有x2+a＞2x， 即x2﹣2x+a＞0，∀x∈R，
即y＝x2﹣2x+a的函数图像与x轴无交点， ∴△＝4﹣4a＜0， ∴a＞1． 故选：D．
5．数轴上A、B、C三点分别对应实数a、b、c，点A、C关于点B对称，若a＝4，则下列各数中，与c最接近的数是（ ） A．4
B．4.5
C．5
D．5.5
，b＝
【分析】先求得AB的长度，根据点A、C关于点B对称，即可得出BC的长，再用BC的长度加上4可得出点C所对应的实数． 解：∵A、B两点对应的实数是∴AB＝4﹣
，
和4，
∵点A与点C关于点B对称， ∴BC＝4﹣
，
＝8﹣
≈4．
∴点C所对应的实数是4+4﹣故选：A．
6．如图，把直径为60cm的圆形车轮（⊙O）在水平地面上沿直线l无滑动地滚动一周，设初始位置的最低点为P，则下列说法错误的是（ ）
A．当点P离地面最高时，圆心O运动的路径的长为30πcm B．当点P再次回到最低点时，圆心O运动的路径的长为60πcm
C．当点P第一次到达距离地面15cm的高度时，圆心O运动的路径的长为7.5πcm D．当点P第二次到达距离地面30cm的高度时，圆心O运动的路径的长为45πcm 【分析】圆心O运动的路径等于圆上的点滚动的距离，利用弧长公式即可得到答案． 解：直径为60cm的圆，周长为60πcm，
A、当点P离地面最高时，圆心O运动的路径的长为60π×合题意；
＝30π（cm），故A不符
B、当点P再次回到最低点时，圆心O运动的路径的长即是圆的周长60πcm，故B不符合题意；
C、当点P第一次到达距离地面15cm的高度时，圆上的点滚动的距离是60°圆心角所对的弧长，即60π×
＝10π（cm），故C符合题意；
D、当点P第二次到达距离地面30cm的高度时，圆上的点滚动的距离是270°圆心角所对的弧长，即60π×故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
7．4的平方根是 ±2 ，27的立方根是 3 ． 【分析】利用平方根、立方根定义计算即可求出值． 解：4的平方根是±2，27的立方根是3． 故答案为：±2，3． 8．若分式
的值为零，则x的值为 1 ．
＝45π（cm），故D不符合题意．
【分析】分式的值为0的条件是分子为0，分母不能为0，据此可以解答本题． 解：
，
则x﹣1＝0，x+1≠0， 解得x＝1． 故若分式
的值为零，则x的值为1．
9．方程x2＝3x的解为： x1＝0，x2＝3 ．
【分析】首先把方程移项，把方程的右边变成0，然后对方程左边分解因式，根据几个式子的积是0，则这几个因式中至少有一个是0，即可把方程转化成一元一次方程，从而求解．
解：移项得：x2﹣3x＝0， 即x（x﹣3）＝0， 于是得：x＝0或x﹣3＝0．
则方程x2＝3x的解为：x1＝0，x2＝3． 故答案是：x1＝0，x2＝3．
10．已知反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，4），则k＝ ﹣4 ． 【分析】坐标代入函数关系式即可．
解：∵反比例函数y＝的图象经过点（﹣1，4）， ∴k＝﹣4． 故答案为：﹣4． 11．计算
的结果是
．
【分析】先分母有理化，然后合并即可． 解：原式＝＝＝
﹣．
．
﹣
故答案为
12．某校国旗护卫队有5名学生，身高（单位：cm）分别为173、174、174、174、175，则这5名学生身高的方差为 0.4 cm2．
【分析】先求出这组数据的平均数，再根据方差公式进行计算即可． 解：这组数据的平均数是：（173+174+174+174+175）＝174（cm），
则这5名学生身高的方差为×[（173﹣174）2+3×（174﹣174）2+（175﹣174）2]＝0.4（cm2）． 故答案为：0.4．
13．如图，五边形ABCDE是正五边形，过点B作AB的垂线交CD于点F，则∠C﹣∠1＝ 54 °．
【分析】利用多边形的内角和定理可得∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠E＝
＝108°，由BF⊥AB，可得∠CBF的度数，利用三角形的内角和定理可得∠1，易得结果．
解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠E＝∵BF⊥AB， ∴∠ABF＝90°，
∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝108°﹣90°＝18°，
∴∠1＝180°﹣∠C﹣∠CBF＝180°﹣108°﹣18°＝54°， ∴∠C﹣∠1＝108°﹣54°＝54°， 故答案为：54．
14．如图，点O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，点M、N分别是OD、OE的中点，连接MN，若MN＝2，则BC＝ 8 ．
＝108°，
【分析】连接DE，由点O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC得到DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理即可求得BC． 解：连接DE，
∵O是△ABC的外心，OD⊥AB，OE⊥AC， ∴AD＝BD，AE＝CE， ∴DE＝BC， ∴BC＝2DE，
∵M、N分别是OD、OE的中点， ∴MN＝DE， ∴DE＝2MN， ∴BC＝4MN， ∵MN＝2， ∴BC＝8， 故答案为：8．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点（1，线l与坐标轴所围成的三角形的周长是 4+4
），且与x轴的夹角为30°，则直
．
【分析】先求得直线l的解析式，即可求得直线与坐标轴的交点坐标，解直角三角形求得AB，进而即可求得直线l与坐标轴所围成的三角形的周长． 解：∵直线经过点（1，
），且与x轴的夹角为30°，
∴y＝﹣∴
＝﹣
x+b， +b， ，
x+
，
∴b＝
∴直线l为：y＝﹣令x＝0，则y＝
；令y＝0，则x＝4，
），
∴直线与坐标轴的交点为A（4，0），B（0，
∴AB＝＝＝，
∴直线l与坐标轴所围成的三角形的周长＝4+故答案为4
+4．
+＝4+4，
16．已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣1（m为常数），如果当自变量x分别取﹣3，﹣1，1时， 所对应的y值只有一个小于0，那么m的取值范围是 ﹣4＜m＜2且m≠﹣2，m≠0 ．
【分析】根据题意得到或，解不等式组即可求得．
解：由题意得或，
由解得0＜m＜2，由解得﹣4＜m＜0且m≠﹣2．
∴m的取值范围是﹣4＜m＜2且m≠﹣2，m≠0，
故答案为：﹣4＜m＜2且m≠﹣2，m≠0．
三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解不等式
＜1．
【分析】先去分母，再去括号，移项、合并同类项即可． 解：去分母，得3（x+1）﹣2x＜6． 去括号，得3x+3﹣2x＜6． 移项，得3x﹣2x≤6﹣3． 合并同类项，得x＜3． 18．计算：
．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 解：原式＝＝＝
﹣．
﹣
•
19．某车间生产一种零件，该零件由甲乙两种配件组成，现有7名工人，每人每天可制作甲配件900个或者乙配件1200个．应怎样安排人力，才能使每天制作的甲乙配件的个数相等？
解：设安排x名工制作甲配件，安排（7﹣x）名工制作乙配件， 900x＝1200（7﹣x）， 解得：x＝4， 7﹣4＝3（名），
答：安排4名工制作甲配件，安排3名工制作乙配件，才能使每天制作的甲乙配件的个数相等．
20．如表是某地某个月中午12时的气温（单位：℃）的统计数据． 某地某个月中午12时的气温频数分布表 组别 1
气温分组 12≤x＜
频数 1
16
2
16≤x＜20
3
20≤x＜24
4
24≤x＜28
5
28≤x＜32
方法指导
数据分组后，一个小组的组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数，例如：第1小组12≤x＜16的组中值为
＝14．根据频数分布表求加权平均数时，统计中常用各
10 8 6 5
组的组中值代表各组的实际数据，把各组的频数看作相应组中值的权．
根据统计的数据，回答下列问题：
（1）该地该月中午12时的气温的中位数落在第 4 组内； （2）求该地该月中午12时的平均气温．
解：（1）该地该月中午12时的气温的中位数落在第4组内． 故答案为：4；
（2）（12+16）÷2＝14， （16+20）÷2＝18， （20+24）÷2＝22， （24+28）÷2＝26， （28+32）÷2＝30， 14×
+18×
+22×
+30×
＝24.8（℃）．
故该地该月中午12时的平均气温为24.8℃．
21．一只不透明的袋子中装有1个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，摇匀后从中任意摸出2个球．
（1）若这个袋子中共有4个球，求摸出红球的概率；
（2）若这个袋子中共有n（n＞1且n为正整数）个球，则摸出红球的概率是 含n的代数式表示）．
解：（1）记袋中的3个白球分别为白1，白2，白3，从袋中随机摸出2个球，共有6种等可能的情况，
分别是（红，白1）（红，白2）（红，白3）（白1，白2）（白1，白3）（白2，白3），满足摸出红球的结果有3种，因此摸出红球的概率是＝；
（2）这个袋子中共有n（n＞1且n为正整数）个球，则摸出红球的概率是． 故答案为：．
22．已知关于x的方程mx2+（m﹣1）x﹣1＝0（m为常数）． （1）求证：不论m为何值，该方程总有实数根； （2）若该方程有两个实数根x1、x2，求x1+x2+x1x2的值． 【解答】（1）证明：分两种情况讨论． ①当m＝0时，方程为﹣x﹣1＝0， ∴x＝﹣1， ∴方程有实数根；
②当m≠0，△＝（m﹣1）2﹣4m（﹣1）＝m2﹣2m+1+4m＝m2+2m+1＝（m+1）2≥0， ∴方程恒有实数根；
因此，不论m为何值，该方程总有实数根； （2）解：∵x1，x2是方程的两个实数根， ∴x1+x2＝﹣
，x1•x2＝﹣，
﹣＝﹣1．
（用
∴x1+x2+x1x2＝﹣
23．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E与点O关于CD对称． （1）连接CE、DE，求证：四边形CEDO是菱形； （2）若AB＝2，∠AOB＝60°，求点E、O之间的距离．
【解答】（1）证明：如图，连接OE交DC于点F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OC＝AC，OD＝BD， ∴OC＝OD，
∵点E与点O关于CD对称． ∴CD垂直平分OE， ∴DO＝DE，CO＝CE， ∴DO＝DE＝CO＝CE， ∴四边形CEDO是菱形； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝2， ∵OD＝OC，
∴△ODC是等腰三角形， ∵∠AOB＝∠COD＝60°， ∴△ODC是等边三角形， ∴∠ODC＝60°， ∴∠DOE＝30°， ∴OD＝DC＝2， ∵CD垂直平分OE， ∴DF＝1， ∴OF＝
∴OE＝2OF＝2，
．
∴点E、O之间的距离为2
24．如图，为测量直立在建筑物AB上的广告牌AC的高度，小莉在地面上D的处测得A的仰角为31°，然后她沿正对建筑物方向前进了10m到达E处，此时测试A、C的仰角分别为45°、52°，求广告牌AC的高度．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28．）
BE＝AB，【分析】由锐角三角函数定义得BD≈AB，再由BD﹣BE＝DE＝10m，得AB﹣AB＝10m，解得AB＝15m，则BE＝15m，然后由锐角三角函数定义求出BC的长，即可解决问题．
解：在Rt△ABD中，∠D＝31°，tanD＝∴BD≈
＝AB，
＝tan45°＝1， ＝tan31°≈0.6，
在Rt△ABE中，∠AEB＝45°，tan∠AEB＝∴BE＝AB，
∵BD﹣BE＝DE＝10m， ∴AB﹣AB＝10m， 解得：AB＝15m， ∴BE＝15m，
在Rt△CBE中，∠CEB＝52°，tan∠CEB＝∴BC≈1.28BE＝19.2（m），
∴AC＝BC﹣AB＝19.2﹣15＝4.2（m）， 答：广告牌AC的高度为4.2m．
≈1.28，
25．某宾馆有8位旅客要在当日上午10点前到达火车站，他们上午9点出发，唯一可以利用的交通工具只有一辆汽车，但这辆汽车连同司机在内最多能乘坐5人，司机需要分两批接送旅客，接送第一批旅客的同时，让其余旅客步行前往，汽车到达火车站后，立即返回接送第二批步行的旅客．在整个过程中，汽车行驶的速度始终不变，旅客上下车的时间忽略不计．设汽车从宾馆出发xh后，汽车和第二批旅客分别到达离宾馆y1km，y2km的地方，图中的折线OABC表示y1与x之间的函数关系，折线OBC表示y2与x之间的函数关系．
（1）宾馆与火车站相距 20 km，第二批旅客的步行速度是 5 km/h； （2）解释图中点B的实际意义；
（3）第二批旅客能否在上午10点前到达火车站？如果能，请说明理由；如果不能，汽车在接到第二批旅客后至少提速多少才能保证不晚于10点到达？
【分析】（1）根据图象，结合题意解答即可； （2）根据图象，结合题意解答即可；
（3）根据题意求出汽车的速度，进而判断第二批旅客能否在上午10点前到达火车站，再根据“路程÷时间＝速度”可得汽车的提速． 解：（1）根据题意可知宾馆与火车站相距20km， 第二批旅客的步行速度是：4÷0.8＝5（km/h）， 故答案为：20；5；
（2）图中点B的实际意义为：汽车从宾馆出发后到达旅店4km处于第二批旅客相遇； （3）汽车原来的速度为：∵
，
（km/h），
∴第二批旅客不能在上午10点前到达火车站，
（km/h），
80﹣45＝35（km/h）， ∴至少提速35km/h．
26．如图①，△ABC的内切圆⊙与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，DO、EO、FO的延长线分别交⊙O于点G、H、I，过点G、H、I分别作AB、BC、AC的平行线，从△ABC上截得六边形JKMNPQ．通常，在六边形中，我们把相间两个内角的内角称为六边形的对角，把相邻两角的夹边和它们的对角的夹边称为六边形的对边． （1）求证：六边形JKMNPQ的对角相等；
（2）小明在完成（1）的证明后继续探索，如图②，连接OJ、OM、ON、OQ，他发现△DOM≌△GOQ、△DON≌△GOJ，于是猜想六边形JKMNPQ的对边也相等．请你证明他的发现与猜想．
【分析】（1）由∠A+∠AJQ＝180°，∠A+∠ANP＝180°，可得∠AJQ＝∠ANP，同理可得∠BMK＝∠BQJ，∠CKM＝∠CPN，故六边形JKMNPQ的对角相等；
（2）证明△EQO≌△GQO可得∠EOQ＝∠GOQ＝∠EOG，同理∠DOM＝∠HOM＝∠DOH，从而可得∠DOM＝∠GOQ，△DOM≌△GOQ，同理△DON≌△GOJ，可得DM＝GQ，DN＝GJ，故MN＝JQ，同理JK＝NP，KM＝PQ，即可得到证明． 【解答】（1）证明：∵JQ∥AB， ∴∠A+∠AJQ＝180°， ∵NP∥AC，
∴∠A+∠ANP＝180°， ∴∠AJQ＝∠ANP，
同理可得：∠BMK＝∠BQJ，∠CKM＝∠CPN， 即六边形JKMNPQ的对角相等； （2）∵⊙O与AB切于D， ∴OD⊥AB， ∴∠ADO＝90°， ∵AB∥JQ，
∴∠ADO＝∠QGO＝90°， ∵⊙O与BC切于E， ∴OE⊥BC， ∴∠QEO＝90°，
∴∠QEO＝∠QGO＝90°， 又OQ＝OQ，OE＝OG， ∴Rt△EQO≌Rt△GQO（HL）， ∴∠EOQ＝∠GOQ＝∠EOG， 同理∠DOM＝∠HOM＝∠DOH， ∵∠DOH＝∠EOG， ∴∠DOM＝∠GOQ，
∵OD＝OG，∠ODM＝∠OGQ， ∴△DOM≌△GOQ（ASA）， 同理△DON≌△GOJ， ∴DM＝GQ，DN＝GJ， ∴DM+DN＝GQ+GJ， 即MN＝JQ，
同理JK＝NP，KM＝PQ， 即六边形JKMNPQ的对边相等．
27．【问题提出】为了保持室内空气的清新，某仓库的自动换气窗采用了以下设计： 如图①，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形ABCD和一个△CDE组成，该窗子关闭时可以完全密封，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气．通风口是一个矩形形状的联动装置，顶点P、只能在边框AB上滑动，顶点M、N可
在其它边框上滑动，联动装置的四边都是长度可自动伸缩的金属杆，当金属杆MN上下移动时，其他金属杆也随之移动，图①、图②是通风口打开时的两种不同情况，试确定金属杆MN的位置，使通风口（矩形PQNM）面积最大．
设窗子的边框AB、AD分别为am，bm，窗子的高度（窗子的最高点到边框AB的距离）为cm． 【初步探究】
（1）若a＝2，b＝1，c＝2（即点E到AB的距离为2），MN与AB之间的距离为xm，通风口的面积为ym2．
①分别求出当0≤x≤1和1≤x≤2时y与x之间的函数表达式； ②金属杆MN移动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少？ 【深入探究】
（2）若金属杆MN移动到高于CD所在位置的某一处时通风口面积达到最大值． ①c需要满足的条件是 c＞2b ，通风口的最大面积是 的代数式表示）
②用直尺和圆规在图③中作出通风口面积最大金属杆MN所在的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
（3）若将窗子的上部分边框改为以AB的中点O为圆心的圆弧（CD）形状（如图④所示），其他条件不变，金属杆MN移动到什么位置时，通风口面积最大．（直接写出答案，不必说明理由）
m2．（用含a、b、c
解：（1）①如图1，过E作EF⊥AB，垂足为F，EF分别与CD、MN相交于点G、H，当0≤x≤1时，y＝2x， 当1≤x≤2时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2m，∠A＝∠ADC＝90°， ∵EF⊥AB， ∴∠AFG＝90°， ∴四边形ADGF是矩形， ∴AD＝GF＝1m，∠DGF＝90°， ∵四边形PQNM是矩形， ∴MN∥PQ，
∴∠EFA＝∠EHM＝90°， 由题意可知，EF＝2m，HF＝xm， ∴EG＝1m，EH＝（2﹣x） m， ∵MN∥PQ∥CD， ∴△EMN∽△EDC，
又EH、EG分别是△EMN、△EDC的对应高， ∴
＝
，即
＝
，
化简，得：MN＝（4﹣2x） m． ∴y＝x（4﹣2x）＝﹣2x2+4x． ②当0≤x≤1时，y＝2x，
因此，当x＝1时，y最大，最大值是2． 当1≤x≤2时，y＝﹣2x2+4x＝﹣2（x﹣1）2+2， 因此，当x＝1时，y最大，最大值是2． 综上所述，当x＝1时，y最大，最大值是2．
因此，金属杆MN移动到CD所在的位置时，通风口面积最大，最大面积是2m2． （2）①如图2，已知在△ABC中有内接矩形，其中M、N在AB、AC边上，P、Q在BC边上，
易证当MN为中位线时，矩形PQNM的面积最大，且最大面积为△ABC面积的一半，
即：•底•高，
在图②中，延长ED、EG交直线AB于F、G，
则MN为△EFG的中位线时，矩形PQNM的面积最大，
所以要想金属杆MN移动到高于CD所在位置的某一处时通风口面积达到最大值， 只需△EFG与FG边平行的中位线在CD上方即可， 即c＞2b，此时的最大，面积为△EFG的面积的一半． 作ES⊥FG于S交CD于J， ∵CD∥FG， ∴△EDC∽△EFG， ∴
＝
，即
＝
，
∴FG＝（m），
（m2）．
∴矩形PQNM面积的最大值＝△EFG面积的一半＝FG•ES＝故答案为：c＞2b；
．
②如图4，线段MN即为所求． （3）当0＜a≤2b （等同于b＜c≤口面积最大； 当a＞2b（等同于c＞大．
易知当M在AD上时，y随x增大而增大， 当M在CD上时，如图5， OP＝
＝
（m），
b）时，金属杆MN移动到与AB相距
cm时，通风口面积最
b）时，金属杆MN移动到CD所在位置时，通风
则y＝2MP•OP＝2x＝2＝2，
则当x2＜c2即b≤x＜当x≥∴当
c时，y随x增大而增大，
c时，y随x增大而减小. c≤b，即b＜c≤
b时：当0＜x≤b时，y随x增大而增大；
当x＞b时，x＞c，
∴y随x增大而减小，
∴在0＜x＜c中，当x＝b时，y最大． 当
c＞b，即c＞
b时：当0＜x≤b时，y随x增大而增大：当b＜x＜c≤x＜c时，y随x增大而减小，
c时，y最大．
c时，y随
x增大而增大：当
∴在0＜x＜c中，当x＝∵∠A＝90°， ∴AD2+AO2＝DO2， ∴b2+（）2＝c2， ∴b＜c≤
b等同于0＜a≤2b，c＞b等同于a＞2b．
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