专题02 在柱体上或向“柱形容器”液体里加物体
一、常见题目类型
1. 将一物体A分别浸没在容器甲的液体中（液体无溢出）、放在圆柱体乙上表面的中央（见图1）。
甲 乙 甲 图2 乙 图1
2. 将一实心物体A分别浸没于甲、乙液体中（液体无溢出）（见图2） 二、例题
【例题1】如图1所示，薄壁圆柱形容器甲和圆柱体乙置于水平地面上。容器甲足够高、底面积为5×10米，盛有质量为5千克的水。圆柱体乙的重力为160牛、底面积为8×10米。
﹣2
2
﹣2
2
甲 乙 图1
① 求容器甲内水的体积V水。 ② 求圆柱体乙对水平地面的压强p乙。
③ 若将一物体A分别浸没在容器甲的水中、放在圆柱体乙上表面的中央时，水对容器甲底部压强的变化量与圆柱体乙对水平地面压强的变化量相等。求物块A的密度ρA。 【答案】①5×10米； ②2×10帕； ③1.6×10千克/米。 【解析】
① V水＝m水/ρ水＝5千克/(1×10千克/米)＝5×10米
﹣2
2
3
3
3
-3
3
-3
3
3
3
3
② p乙＝F乙/S乙＝G乙/S乙＝160牛/(8×10米)＝2×10帕 ③物体A浸没在容器甲的水中时，水对容器甲底部压强的变化量 Δp水＝
水
gh＝
水
g（VA/S甲）
物体A放在圆柱体乙上表面的中央时，圆柱体乙对水平地面压强的变化量 Δp乙＝ΔF乙/S乙＝mAg /S乙＝
A
gVA/S乙
1
因为Δp水＝Δp乙
水
g（VA/S甲）＝
3
A
gVA/S乙 3
所以 ρA＝1.6×10千克/米
【例题2】如图2所示，轻质圆柱形容器甲、乙置于水平地面上，甲盛有质量为m的水、乙盛有质量为3m的酒精，甲、乙的底面积分别为3S、5S。（ρ酒精＝0.8×10千克/米）
3
3
甲 图2 乙
① 求甲容器中质量为2千克水的体积V水。 ② 求乙容器中，0.1米深处酒精的压强p酒精。
③ 为使容器甲、乙对水平地面的压力相等，且两容器内液体对各自容器底部的压强相等，需将一实心物体A浸没于某一液体中（此液体无溢出），求物体A的质量mA与密度ρA。 【答案】①2×10米；② 784帕；③2m；2.5ρ水。 【解析】
① V水=m水/ρ水=2千克/1×10千克/米=2×10米 ② p酒精=ρ酒精gh=0.8×10千克/米×9.8牛/千克×0.1米=784帕 ③因为容器甲、乙对水平地面的压力相等， 所以F甲= F乙 即 G甲= G乙 （m+mA）g=3mg
物体A的质量 mA=2m 把A放入甲容器水内。 水的压强 p液甲=ρ水gh水=ρ水g（h水原+h） = p水原+ρ水gVA/3S = mg/3S+ρ水gVA/3S
酒精的压强p液乙=ρ酒精gh酒精=3 mg/5S 因为 p液甲= p液乙 即 mg/3S+ρ水gVA/3S=3 mg/5S
所以 VA=4m/5ρ水
3
3
3
3
-3
3
-3
3
ρA= mA/ VA
=2m/4m/5ρ水 =2.5ρ水
2
三、练习题
1．如图1所示，水平地面上的轻质圆柱形容器甲、乙分别盛有质量均为m的水和酒精，甲、乙的底面积分别为S、2S。（ρ酒精＝0.8×10千克/米） ① 求乙容器中0.1米深处酒精的压强p酒精。
② 现有物体A、B（其密度、体积的关系如下表所示），将两物体各放入合适的容器中（液体不会溢出），使甲、乙两容器对地面压强变化量的比值最大，求出该比值。
物体 A B 甲 图 1 乙 密度 体积 3
3
2 V 3V
【答案】 ① p酒精＝ρ酒精gh ＝0.8×10千克/米×9.8牛/千克×0.1米＝784帕 ②把物体A放入甲容器中
甲容器对地面压强变化量△p甲＝F甲/ S甲＝GB/S =3ρg V /S 乙两容器对地面压强变化量△p乙＝F乙/ S乙＝GA/3S=2ρg V /2S △p甲∶△p乙＝3ρg V /S∶2ρg V /2S＝3∶1
2．如图2所示，底面积为S1的均匀圆柱体A和底面积为S2的圆柱形容器B（足够深）置于水平地面上。已知知A的密度为2×10千克/米，B中盛有重为200牛的液体。
3
3
3
3
图2
① 若A的体积为4×10米，求A的质量mA。
② 若B的底面积为5×10米，求液体对B容器底部的压强PB。
③现将质量为m，密度为ρ的甲物体分別放在A上面和浸没在B容器的液体中（液体求溢出），当圆柱体体A对桌面压强的变化量与液体对B容器底压强的变化量相等时，求B容器中液体的密度ρ液。 【答案】
① mA＝ρA VA＝1.0×10千克/米×4×10米＝8千克
3
3
3
-3
3
-2
2
-3
3
② FB＝GB
pB＝FB/ SB ＝200牛/ 5×10-2米2＝4000帕
③ ΔPA＝ΔPB ΔFA/ S1＝ρ液gm/ρS2
ρ液＝ρS2/S1
3．如图3所示，水平地面上底面积分别为S、2S的轻质圆柱形容器中分别装有甲、乙两种液体，其质量、高度的关系如表一所示。
表一 液体 甲 甲 图3 乙 乙 质量 M M 高度 3h 2h 表二 物体 A B 质量 10m 9m 体积 2V 3V
① 若甲液体是水，高度为0.1米，求水对容器底部的压强p水。 ② 求甲、乙两种液体的密度之比。
③ 现有物体A、B，其质量、体积的关系如表二所示。请在物体A、B和液体甲、乙中各选择一个，当把物体浸没在液体中（液体不会溢出），容器对水平地面压强变化量Δp1、液体对容器底部压强变化量Δp2。要求写出选择的液体和放入其中的物体，并求出Δp1比Δp2的最大值。（说明：②和③小题答题所涉及的物理量均用字母表示） 【答案】
①p水=ρ水gh=1.0×10kg/m3×9.8N/kg×0.1m=980Pa ②液体甲的质量：m甲=ρ甲V甲=ρ甲×S×3h 液体乙的质量：m乙=ρ乙V乙=ρ乙×2S×2h m甲= m乙
则ρ甲×S×3h=ρ乙×2S×2h 解得，甲、乙两种液体的密度之比： ρ甲：ρ乙=4：3
③对水平地面压强变化量 △P1=△F/ S= mg/S
液体对容器底部压强变化量 △p2=ρ液g△h =ρ液gV物/ S 要使比值最大，故应将A物体放入乙液体中 △P1：△P2 = mg/ρ液gV物= 20mSh/VM
4
3
4．如图4所示，柱形薄壁容器甲和均匀柱体乙放在水平地面上，它们的底面积分别为S、2S。已知甲容器中盛有0.3米高的水，柱体乙的质量为2千克。求： ①求甲容器中距水面0.1米处水的压强； ②若乙的体积为1×10米，求乙的密度；
③现有物体A、B、C（其密度、体积的关系如下表所示），请选择其中的一个物体，把物体放入甲容器中（水不溢出）和放置在柱体乙上面，使甲容器底部受到水的压强变化量与柱体乙对地面压强变化量的比值最小，求这个最小比值。
-3
3
物体 甲 乙密度 3ρ水 2ρ水 0.5ρ水 体积 2V A B
C 3
3
图4
V V 【答案】
①p水＝ρ水gh＝1×10kg/m×9.8N/kg×0.1m＝980Pa ② ρ乙=m乙/V乙=2kg/(0.1m)=2×10kg/m ③ 选择A物体
3
3
3
△p甲/△p乙＝(△F甲/S甲)/(△F乙/S乙)＝(ρ水g×2V/S)/ (3ρ水g×2V/2S) ＝2/3
5．足够高的薄壁圆柱形容器甲内盛有0.2米深的水；体积为10米的均匀实心圆柱体乙的质量为2千克；甲、乙均置于水平地面上。 ①求水对甲容器底部的压强p水； ②求圆柱体乙的密度ρ乙；
③若甲、乙的底面积分别为S甲、S乙，现将另一底面积S丙的均匀实心圆柱体丙，分别浸没在甲的水中、叠放在乙的上表面正中央时，水对甲容器底部压强的变化量恰为丙对乙压强的0.5倍，求圆柱体丙的密度ρ丙
-3
3
。（用相关字母来表示）
【答案】
(1) p水=ρ水gh水=10千克/米×9.8牛/千克×0.2米=1960帕 (2) 乙m乙2千克2×103千克/米3 -33V乙10米(3 ) ①当S丙≤S乙时
3
3
p水11F丙 p丙 水gh水22S丙
5
水gV丙1丙V丙g 2S丙丙水 S甲2S丙S甲
② 同理：当S丙≥S乙时，丙2S乙水
S甲6．如图6所示，薄壁圆柱形容器甲、乙（足够高）的底面积分别为3S和2S，甲容器中装有0.3米深的水，乙容器中装有等高的某种液体，实心圆柱体丙的高度为7h（小于0.3米）。求： ① 水对甲容器底部的压强p水。
② 如果甲容器的底面积是0.02米，求甲容器中水的质量m水。
2
图6
③ 现将丙分别放入甲、乙容器中，发现丙会竖直漂浮在甲容器的水中，且露出水面的高度恰好为h。丙在乙容器中会沉底，已知分别放入丙后水对甲容器底的压强增加量p水与液体对乙容器底的压强增加量p液之比是5∶7，求乙容器中液体的密度ρ液。 【答案】
①p水=ρ水gh水=1×10kg/m×9.8N/kg×0.3m=2940Pa ②V甲=S甲h水=0.02 m×0.3m=6×10m
2
-33
3
3
m水=ρ水V甲=1×103kg/m3×6×10-3m3=6kg
③由于丙竖直漂浮在甲容器的水中，根据漂浮条件可知：F浮=G丙 即：ρ水gV排水=ρ丙gV丙， ρ水gS丙（7h-h）=ρ丙gS丙×7h
ρ丙=6/7ρ水
则水对甲容器底的压力增加量△F甲=G丙=ρ丙gV丙 △p水=△F甲/ S甲=ρ丙gV丙/3S
由于丙在乙容器中会沉底，则液体对乙容器底的压力增加量 △F乙=G丙排=ρ液gV丙排=ρ液gV丙 △p液=△F甲/ S甲=ρ液gV丙/2S △p水：△p液=5:7
6
ρ丙gV丙/3S ：ρ液gV丙/2S = 5:7 ρ液=800千克/米3
7．如图7所示，放置在水平桌面上的两个圆柱形容器，甲容器底面积为3×10米，容器内放了正方体物块A；乙容器底面积为2×10米，容器内装有深度为0.2米的水。求： ① 乙容器中水的质量m水。 ② 水对乙容器底的压强p水。
-2
2
-2
2
A 甲 图7
乙
③ 现将某种液体倒入甲容器中，并使物块A正好浸没，此时液体对容器甲的压强为
p液。再将物块取出浸没在乙容器的水中，水面上升至0.25米（水未溢出）。p液恰好是水对容器乙压强变化
量Δp水的1.5倍，求：液体密度ρ液。 【答案】
① m水＝ρ水V水＝1×10kg/m×2×10m×0.2m＝4kg ② p水＝ρgh=1×10kg/m×9.8N/kg×0.2m=1960Pa ③ V水=S乙 △h =2×10m×（0.25m-0.2m）=10m
-22
-33 3
33
3
-22
h=0.1m p液＝1.5△p水
ρ液gh液1.5ρ水gh水
ρ液9.8N/kg0.1m1.5103 kg/m39.8N/kg0.05m ρ液0.75103 kg/m3
8．如图8所示，底面积为S1的均匀圆柱体A和底面积为S2的圆柱形容器B置于水平地面上。已知A的密度为2×10千克/米，B中盛有重为200牛的液体。 ① 若A的体积为4×10米，求A的质量mA。
② 若B的底面积为5×10米，求液体对B容器底部的压强pB。
③ 现将质量为m，密度为ρ的甲物体分别放在A上面和浸没在B容器的液体中(液体未溢出)，当圆柱体A对桌面压强的变化量与液体对B容器底压强的变化量相等时，求B容器中液体的密度ρ液。
2
2
3
3
3
3
7
A B 图8
【答案】
① mA＝ρA VA＝1.0×10千克/米×4×10米＝8千克 ② FB＝GB
3
3
-3
3
pB＝FB/ SB＝200牛/ 5×10-2米2＝4000帕
③ ΔPA＝ΔPB ΔFA/ S1＝ρ液gm/ρS2
ρ液＝ρS2/S1
9．如图9所示，边长为0.1米均匀正方体甲和底面积为210米的薄壁柱形容器乙放在水平地面上，乙容器高0.3米，内盛有0.2米深的水。正方体甲的密度为5×10千克/ 米。求：
3
32
2
甲图9
乙
①甲的质量。
②水对容器底部的压强。
③现分别把一个体积为310米的物体丙放在正方体甲上方和浸没在乙容器内的水中，甲对地面压强的增加量恰好为乙容器对地面压强的增加量的2.5倍，求物体丙的密度。 【答案】 ①m甲＝② p水＝
甲
3
3
V甲＝5×103千克/米3×（0.5米）3＝5千克
水
gh＝1×103千克/米3×9.8牛/千克×0.2米＝1960帕
③△p甲＝2.5△p乙
△F甲/S 甲＝2.5△F乙/S 乙
丙
V丙g/S 甲＝2.5（
丙
V丙g-水
V溢g）/S乙
8
丙
＝5×10/3千克/米
3
3
33
＝1.7×10千克/米
10．如图10（a）所示，甲、乙两个相同的薄壁柱形容器放在水平地面上，容器中分别盛有质量相等的水和酒精，甲中水的深度为0.1米。
甲乙酒精水0.1m
（a） 图10 （b）
①求甲中水对容器底的压强p水。
②若乙中酒精的质量为1.6千克，求酒精的体积V酒精（ρ酒精=0.8×10千克/米）。
③现有足够数量的实心铁质圆柱形薄片（底面积为容器底面积的一半，厚度均为0.01米），如图10（b）所示。现选择适当数量的薄片按原叠放方式分别放入甲、乙容器中后（液体都不溢出），能使水和酒精对各自容器底的压强相等。
（a）若要求放入薄片的个数为最少，则应在甲中放入_______个，乙中放入_______个。 （b）若要求放入甲、乙中薄片的个数必须相等，求甲或乙中应放入薄片的最少个数
3
3
n最少。
【答案】
①p水＝ρ水gh＝1.0×10千克/米×9.8牛/千克×0.1米＝980帕
3
3
-3
3
33
②V酒精=m／ρ=1.6千克/0.8×10千克/米= 2×10米 ③（a）4，5
（b）水g0.1酒精gh酒精
1h酒精0.125m 0.125mhh
2h0.25m n最少0.2525 0.01
说明：③（b）有多种解法，过程合理且答案正确均可得分
11．如图11所示，薄壁轻质圆柱形容器甲和正方体乙置于水平地面上。容器甲高度为0.5米、底面积为1×10
﹣2
米，里面盛有0.2米深的水。正方体乙的质量为16千克、体积为8×10米。
2﹣33
9
甲 乙 图11
① 求乙的密度ρ乙。
② 求甲容器底部受到水的压强p水。
③ 若将一底面积为5×10米的柱体A分别轻轻放入容器甲的水中、放在正方体乙上表面的中央时，使水对容器甲底部压强的变化量与正方体乙对水平地面压强的变化量相等。求物块A的密度ρA范围及对应的体积VA应满足的条件。 【答案】
① ρ乙=m乙/V乙=16kg/8×10 m=2×10kg/m ② p水＝ρ水gh＝1×10kg/m×9.8N/kg×0.2m＝1960Pa ③ S甲/S乙＝1/4 h水最大=0.4米 ∵△p甲＝△p乙， S甲＜S乙 ∴△F甲＜△F乙 △F甲＜GA 当A物体浸没时， △p甲＝△p乙 △F甲/S甲＝△F乙/S乙
3
3-3
3
3
3
﹣3
2
ρ水gVA/S甲＝ρAgVA/S乙 ρA＝4ρ水 = 4×103kg/m3 VA≤2×10-3 m3
当A物体不浸没时，△h＝0.2米 △p甲＝△p乙
ρ水g△h＝mAg/S乙
mA＝8kg VA＞2×10-3 m3
1×10kg/m＜ρA＜4×10kg/m
3333
12．如图12所示，水平地面上的轻质圆柱形容器甲、乙分别盛有质量均为m的水和酒精，甲、乙的底面积分别为S、2S。（ρ酒精＝0.8×10千克/米）
3
3
10
① 求乙容器中0.1米深处酒精的压强p酒精。
② 现有物体A、B（其密度、体积的关系如下表所示），请在物体A、B和容器甲、乙中各选择一个，当把物体放入容器中后（液体不会溢出），可使容器对水平地面的压力最大且压强最大。求该最大压力F最大和最大压强p最大。（本小题答题所涉及的物理量均用字母表示）
物体 A B 甲 图12 乙 密度 体积 5 3 2V 3V
【答案】
① p酒精=ρ酒精g h酒精 =0.8×10千克/米×9.8牛/千克×0.1米 =784帕 ② F最大=G最大=(10ρV＋m)g
3
3
3
p最大F最大10Vmg S最小S2
13．如图13所示，边长为0.2米的正方体甲和底面积为0.03米的薄壁柱形容器乙放在水平地面上，乙容器高0.4米，内盛有0.3米深的水。正方体甲的密度为5×10千克/米。求：
3
3
甲图13
乙
① 甲的质量；
② 水对乙容器底部的压强；
③ 把一个底面积为0.02米，高0.3米圆柱体A（已知
2
水
＞
A
）先后放置在正方体甲上和乙容器的水中，
甲对地面压强的增加量与水对乙容器底部的压强增加量相等，求A物体的质量。 【答案】
① m甲＝ρ甲V甲＝5×10kg/m×(0.2m)＝40 kg
3
3
3
3
3
② p水＝ρ水gh＝1×10kg/m×9.8N/kg×0.3m＝2940Pa ③ △p甲＝△p乙 △F甲/S甲＝ρ水g△h
11
GA/S甲＝ρ水g(h容－h水) mA＝ρ水 S甲(h容－h水) mA＝1×10kg/m×(0.2m)×(0.4m－0.3m) mA＝4kg
14．如图14所示，质量均为2.4千克的薄壁圆柱形容器A和B放在水平地面上，底面积分别为2×10米
－2
2
3－2
2
3
3
2
和1×10米。容器A中盛有0.1米高的水，容器B中盛有质量为1.6千克的酒精。（ρ酒精＝0.8×10千克/米）求：
水 酒精3
A
图14 B
①容器B中酒精的体积V酒精。 ②容器B对水平地面的压强pB。
③现有质量相等的甲、乙两实心物块，若将甲浸没在水中、乙浸没在酒精中后，两液体均未溢出，且两液体各自对容器底部压强的变化量相等，求甲、乙的密度ρ甲、ρ乙之比。 【答案】
①V酒精＝m酒精/ ρ酒精 ＝1.6千克/0.8×10千克/米 ＝2×10米 ②FB＝G总＝m总g＝（m酒精+mB）g
＝（2.4千克＋1.6千克）×9.8牛/千克＝39.2牛
3
3
3
3
pB＝FB/SB
＝39.2牛/1×10米＝3920帕 ③
－2
2
p水＝p酒精
ρ水gh水＝ρ酒精gh酒精
ρ水gV水/SA＝ρ酒精gV酒精/SB ρ水gV甲/SA＝ρ酒精gV乙/SB
ρ水gm甲/（ρ甲SA）＝ρ酒精g m乙/（ρ乙SB）
12
ρ甲：ρ乙＝ρ水SB：ρ酒精SA
＝（1000千克/米×1×10米）：（0.8×10千克/米×2×10米） ＝5:8
15．如图15所示，水平地面上的完全相同的轻质圆柱形容器甲、乙，高0.12米、底面积0.05米，它们分别盛有质量为5千克的水和4.4千克的盐水（已知ρ盐水＝1.1×10千克/米）。求：
3
3
2
3
－2
2
3
3
－2
2
图15
（1）水对容器底部的压强； （2）乙容器中盐水的体积；
（3）现有实心物体A、B，A的质量为2千克、体积为0.001米，B的质量为2.5千克、体积为0.002米。请从A、B中选择一个物体浸没在合适的容器中，使该容器对地面的压强变化量最小，并求出容器对地面的压强变化量的最小值。 【答案】
（1）F= G=mg =5千克×9.8牛/千克=49牛
3
3
p＝F /S =49牛/0.05米2=980帕
（2）V =m/ρ =4.4千克/1.1×10千克/米=4×10米（3）B放入甲
G物=mg =2.5千克×9.8牛/千克=24.5牛
G排=ρ液V排g=1.0×10千克/米×1.0×10米×9.8牛/千克=9.8牛 Δp最小＝ΔF最小/S= (G物- G排) /S =14.7牛/0.05米=294帕
16．如图16所示，水平地面上的轻质圆柱形容器甲、乙分别盛有质量均为m的水和酒精，甲、乙的底面积分别为S、2S。（ρ酒精＝0.8×10千克/米）
3
3
2
3
3
3
3
3
3
-3
3
13
甲 乙 图16
① 若乙容器中酒精的质量为1.6千克，求酒精的体积V酒精。 ② 求甲容器中0.1米深处水的压强p水。
③ 将同一物体分别浸没在两液体中时，液体不溢出。若水和酒精对容器底部压强的变化量分别为
p水、
p酒，求p水与p酒的比值。
【答案】 ① V酒＝m酒/ρ酒
＝1.6千克/0.8×10千克/米＝2×10米
3
3
3
3
② p水＝ρ水gh
＝1×10千克/米×9.8牛/千克×0.1米 ＝980帕
③ △p水∶△p酒＝（ρ水g V物 ）/S∶（ρ酒g V物 ）/2S＝5∶2
17．如图17所示，装有水的薄壁轻质圆柱形容器底面积为1×10米，静止在水平面上。 ①若容器内水的体积为2×10米，求水的质量m水和水对容器底部的压强p水。
物体 A B 图17
密度 ρ 3ρ 体积 2V V －3
3
－2
2
3
3
②若容器内水的质量为m，现有物体A、B（其密度、体积的关系如右表所示），请选择一个，当把物体浸没在水中时（水不会溢出），可使水对容器底部压强p′水与水平地面受到的压强p′地的比值最小。 选择______物体（选填“A”或“B”）。求p′水与p′地的最小比值。（用m、ρ水、ρ、V表示） 【答案】
①m水＝ρ水V水 ＝1×10千克/米×2×10米 ＝2千克
14
3
3
－3
3
p水＝F水/s＝m水g/s
＝（2千克×9.8牛/千克）/1×10米 ＝1960帕
② B；
－2
2
p′水：p′地＝（p水＋ Δp水）：（p地＋ Δp地）
＝（m＋ρ水V）：（m＋3ρV）
15
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