类型一：巧用圆系求圆的过程
在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种：
⑴以为圆心的同心圆系方程
⑵过直线与圆的交点的圆系方程
⑶过两圆和圆的交点的圆系方程
此圆系方程中不包含圆，直接应用该圆系方程，必须检验圆是否满足题意，谨防漏解。
当时，得到两圆公共弦所在直线方程
例1：已知圆
，求实数
的值。
与直线相交于两点，为坐标原点，若
分析：此题最易想到设出
思想，联立方程，由根与系数关系得出关于
，不难得出
在以
，由得到，利用设而不求的
的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系
刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点
为直径的圆上。而
的圆系方程，可极大地简化运算过程。
解：过直线与圆的交点的圆系方程为：
，即
资料
………………….①
依题意，在以为直径的圆上，则圆心（）显然在直线上，则
，解之可得
又满足方程①，则故
例2：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。
解：圆和的公共弦方程为
，即
过直线与圆的交点的圆系方程为
，即
依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心
必在公共弦所在直线上。即，则代回圆系方程得所求圆方程
例3:求证：m为任意实数时，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过一定点P，并求P点坐标。
分析：不论m为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。解：由原方程得
m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0，①
x
即
2yy
15
00
x
解得
xy
94，
资料
∴直线过定点P（9，－4）
注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。
例4已知圆C：（x－1）＋（y－2）＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）. （1）证明：不论（2）求直线被圆
2
2
m取什么实数，直线C截得的弦长最小时
l与圆恒交于两点；l的方程.
.
剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得（1）证明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0. 2
∵m∈R，∴
x+y－7=0，x+y－4=0，得
x=3，y=1，
即l恒过定点A（3，1）. ∵圆心C（1，2），｜AC｜＝∴点A在圆C内，从而直线（2）解：弦长最小时，
5＜5（半径），l恒与圆C相交于两点.
12
，
，由kAC＝－l⊥AC
∴l的方程为2x－y－5=0. 评述：若定点
A在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？
思考讨论
类型二：直线与圆的位置关系例5、若直线解：∵曲线
yx4
m与曲线yx表示半圆x
22.
2
2
4x有且只有一个公共点，求实数
y
2
2
m的取值范围.
m的取值范围是
y2或m
4(y0)，∴利用数形结合法，可得实数
2m
变式练习：1.若直线y=x+k与曲线x=1
解析：利用数形结合
.
y恰有一个公共点，则
2
k的取值范围是___________.
答案：－1＜k≤1或k=－
2
例6圆(x3)
2
(y3)
2
9上到直线3x
4y110的距离为1的点有几个？
分析：借助图形直观求解．或先求出直线解法一：圆(x
l1、l2的方程，从代数计算中寻找解答．
3)
2
(y3)
2
9的圆心为O1(3,3)，半径r0的距离为d，则d
3．
2
3．
设圆心O1到直线3x4y11
334311
3
2
4
2
如图，在圆心O1同侧，与直线3x点符合题意．
4y11
0平行且距离为1的直线l1与圆有两个交点，这两个交
资料
又
rd321．
4y11
0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．
∴与直线3x
∴符合题意的点共有3个．
解法二：符合题意的点是平行于直线
3x4y110，且与之距离为
1的直线和圆的交点．设所求
直线为3x
∴
4ym
0，则d
m113
2
4
2
1，16，也即
0．
m11
4y
5，即m
63)
2
6，或m
4y16
l1：3x0，或l2：3x(y3)
2
设圆O1：(x9的圆心到直线l1、l2的距离为d1、d2，则
d1
33436
3
2
4
2
3，d2
334316
3
2
4
2
1．
∴l1与O1相切，与圆O1有一个公共点；l2与圆O1相交，与圆O1有两个公共点．即符合题意的点共个．
说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：设圆心O1到直线3x
3
4y110的距离为d，则d
334311
3
2
4
2
23．
∴圆O1到3x
4y110距离为1的点有两个．
4y
1．
显然，上述误解中的
d是圆心到直线3x
11
0的距离，dr，只能说明此直线与圆有两个
交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为
类型三：圆中的最值问题例7：圆x
2
y
2
4x
2
4y(y
2)
10
2
0上的点到直线x
y140的最大距离与最小距离的差是
32，∴圆心到直线的距离
解：∵圆(x2)18的圆心为（2，2），半径r
d
102
r)
52r，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是
(d
资料
(dr)2r62.
例8 (1)已知圆O1：(x
(2)已知圆O2：(x大、最小值．
3)22)
2
(yy
2
4)2
1，P(x,y)为圆O上的动点，求d
y
2
x
2
y的最大、最小值．
x
2y的最
2
1，P(x,y)为圆上任一点．求
x1
的最大、最小值，求
分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决．解：(1)(法1)由圆的标准方程
(x3)
2
(y4)
2
1．
可设圆的参数方程为
x3cos,y
4sin,
（是参数）．
则dx
2
y
2
96cos
cos
2
168sinsin
2
26
6cos8sin
2610cos(
)（其中tan43
）．
所以dmax
2610
36，dmin
26
10
16．
(法2)圆上点到原点距离的最大值d'
1等于圆心到原点的距离d1加上半径1，圆上点到原点距离的最
小值d2等于圆心到原点的距离
d'
1
减去半径1．
所以
d1
3
2
4
2
16．
d2
3
2
4
2
14．
所以dmax
36．dmin
16．
(2) (法1)由(x
2)2
y
2
1得圆的参数方程：
x2cos,y
sin,
是参数．
则
y2sin2sin2x1
cos
3
．令
cos
3
t，
得sintcos
23t，1t2sin(
)
23t
2
3t
2
sin(
)
1
33
31t
4t
3
4
．
所以t33
，t3
3max
4
min
4．
即
y2
3
33
x1
的最大值为
4，最小值为
34
．
此时x2y2cos
2sin25cos()．
资料
所以x2y的最大值为y
2
25，最小值为y
k
2
25．
(法2)设k，则kx0．由于P(x,y)是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所
x1
示，
两条切线的斜率分别是最大、最小值．由
d
2kk
2
2
1，得k
33
1k
4
．
所以
y2x1的最大值为
33
4
，最小值为
33
4
．
令x2y
t，同理两条切线在x轴上的截距分别是最大、最小值．
由
d
2m5
1，得m
25．
所以x2y的最大值为
2
5，最小值为25．
例9、已知对于圆x2
(y1)2
1上任一点P(x,y)，不等式x
y
m
0恒成立，求实数围．
设圆x2
(y1)2
1上任一点P(cos
,1sin)[0,2)
∴
xcos，y1sin
∵xy
m
0恒成立
∴cos1sin
m0
即m
(1cos
sin)恒成立．∴只须m不小于(1cossin)的最大值．设u(sin
cos)1
2sin(
4
)1
∴umax
21即m
21．
资料
的取值范
m说明：在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法．一般地，把圆
(xa)
2
(yb)
2
r上的点设为
2
(arcos,brsin)([0,2))．采用这种设法一方面可减少参数的个数，另一方面可以灵活地
运用三角公式．从代数观点来看，这种做法的实质就是三角代换．
资料
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容