新教材高中数学“多选题”单元练习
02:一元二次函数、方程和不等式(学生版)
1．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（ ） A．a2+b2≥2 C．log2a+log2b≥﹣2
1
B．2ab＞2 ﹣
1
D．√𝑎+√𝑏≤√2
2．若实数x，y满足5x﹣4y＝5y﹣4x，则下列关系式中可能成立的是（ ） A．x＝y
B．1＜x＜y
1𝑧C．0＜x＜y＜1 D．y＜x＜0
3．已知实数x，y，z满足𝑙𝑛𝑥=𝑒𝑦=，则下列关系式中可能成立的是（ ） A．x＞y＞z
B．x＞z＞y
C．z＞x＞y
D．z＞y＞x
4．若非零实数a，b满足a＜b，则下列不等式不一定成立的是（ ） A．＜1
𝑏𝑎
B．+
𝑎
1𝑎2𝑏
𝑏𝑎𝑏
≥2
C．
1
𝑎𝑏
＜2
D．a2+a＜b2+b
5．已知a＞b≥2，则（ ） A．b2＜3b﹣a C．ab＞a+b
6．下列说法正确的是（ ） A．𝑥+𝑥(𝑥＞0)的最小值是2 B．C．𝑥2+2𝑥2+5√𝑥2+2√𝑥2+41
B．a3+b3＞a2b+ab2 D．+
21
2𝑎𝑏
＞1𝑎
+ 𝑏
1
的最小值是√2 的最小值是2
4
D．2−3𝑥−𝑥的最大值是2−4√3 7．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E．则该图形可以完成的所有的无字证明为（ ）
第1页（共22页）
A．
𝑎+𝑏2
≥
√𝑎𝑏（a＞0，b＞0）
B．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） C．√𝑎𝑏≥1D．
𝑎2+𝑏2
2
2
1（a＞0，b＞0） +𝑎𝑏
≥
𝑎+𝑏2𝜋
（a≥0，b＞0）
8．已知0＜𝛼＜𝛽＜2，且tanα，tanβ是方程x2﹣kx+2＝0的两不等实根，则下列结论正确的是（ ） A．tanα+tanβ＝﹣k C．𝑘＞2√2
9．下列说法中正确的有（ ） A．.不等式𝑎+𝑏≥2√𝑎𝑏恒成立 B．存在a，使得不等式𝑎+
1
≤2成立 𝑎𝑏
𝑎𝑏𝑎
B．tan（α+β）＝﹣k D．k+tanα≥4
C．.若a，b∈（0，+∞），则+≥2
2
1𝑦𝑥
≥8
D．若正实数x，y满足x+2y＝1，则+
10．已知函数f（x）＝3x2﹣6x﹣1，则（ ） A．函数f（x）有两个不同的零点 B．函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增
C．当a＞1时，若f（ax）在x∈[﹣1，1]上的最大值为8，则a＝3 D．当0＜a＜1时，若f（ax）在x∈[﹣1，1]上的最大值为8，则𝑎=3 11．下列函数中，最小值为2的是（ ） A．y＝x2+2x+3 B．y＝ex+ex
﹣
1
C．𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥，𝑥∈(0，2) D．y＝3x+2
第2页（共22页）
1𝜋
12．已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣3，则下列结论正确的是（ ） A．函数f（x）的最小值为﹣4
B．函数f（x）在（0，+∞）上单调递增 C．函数f（|x|）为偶函数
D．若方程f（|x﹣1|）＝a在R上有4个不等实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4＝4 13．关于x的一元二次不等式x2﹣6x+a≤0（a∈Z）的解集中有且仅有3个整数，则a的取值可以是（ ） A．6
B．7
C．8
D．9
14．已知a、b、c、d是实数，则下列一定正确的有（ ）
(𝑎+𝑏)
A．𝑎+𝑏≥ 22
2
2
B．𝑎+
1
1
≥2 𝑎1𝑏
C．若＞，则a＜b
𝑎
D．若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bd 15．若a，b为正数，则（ ） A．
2𝑎𝑏1𝑎+𝑏𝑎
≥
√𝑎𝑏
B．当+
1𝑏
=2时，a+b≥2
1
1
C．当𝑎+𝑏=𝑎+𝑏时，a+b≥2 D．当a+b＝1时，
𝑎21+𝑎
+
𝑏21+𝑏
≥ 3
1
16．对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式a（x﹣a）（x+1）＞0的解集可能为（ ） A．∅ C．（a，﹣1）
B．（﹣1，a）
D．（﹣∞，﹣1）（a，+∞）
17．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），且对称轴为x＝﹣1，则以下选项中正确的为（ ）
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A．b2＞4ac
B．2a﹣b＝1
C．a﹣b+c＝0
D．5a＜b
18．设0＜a＜b，函数f（x）＝x2﹣4x+6，x∈[a，b]的最小值是a，最大值是b，则a，b分别为（ ） A．1
B．2
C．3
D．4
19．已知正数a，b满足a+b＝4，ab的最大值为t，不等式x2+3x﹣t＜0的解集为M，则（ ） A．t＝2 ＜4}
20．设a＞1，b＞1，且ab﹣（a+b）＝1，那么（ ） A．a+b有最小值2（√2+1） C．ab有最大值3+2√2．
B．a+b有最大值（√2+1）2 D．ab有最小值3+2√2．
B．t＝4
C．M＝{x|﹣4＜x＜1}
D．M＝{x|﹣1＜x
21．设a＞0，b＞0，给出下列不等式恒成立的是（ ） A．a2+1＞a
C．（a+b）（+）≥4
𝑎
𝑏1
1
B．a2+9＞6a
1
1
D．（a+𝑎）（b+𝑏）≥4
22．若正实数a，b满足a+b＝1，则下列选项中正确的是（ ） A．ab有最大值 41
B．√𝑎+√𝑏有最小值√2 D．a2+b2有最小值
√2 2
C．+有最小值4
𝑎
𝑏
11
23．二次函数f（x）＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．b＝﹣2a
B．a+b+c＜0 C．a﹣b+c＞0 D．abc＜0
第4页（共22页）
24．对于任意实数a，b，c，d，则下列命题正确的是（ ） A．若ac2＞bc2，则a＞b C．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
B．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d D．若a＞b，则＞ 𝑎
𝑏1
1
25．设a，b∈R，且a≠b，a+b＝2，则必有（ ） A．ab＞1
B．ab＜1
C．
𝑎2+𝑏2
2
＜1 D．
𝑎2+𝑏2
2
＞1
26．设a＞0，b＞0，则下列不等式中一定成立的是（ ）
1A．a+b+≥2√2 √𝑎𝑏B．
2𝑎𝑏
𝑎+𝑏
≥
√𝑎𝑏
1
1𝑎
𝑏
C．𝑎2+𝑏2√𝑎𝑏≥a+b D．（a+b）（+）≥4
27．设a、b是正实数，以下不等式恒成立的为（ ） A．√𝑎𝑏＞2𝑎𝑏
𝑎+𝑏B．a＞|a﹣b|﹣b D．ab+𝑎𝑏＞2
2
C．a2+b2＞4ab﹣3b2
28．已知实数x，y满足ax＞ay＞1（0＜a＜1），则下列关系式正确的为（ ） A．x2+1＞y2
B．|1﹣x|＞|y﹣1|
C．sinx＞siny
D．x3＞y3
29．下列命题中是假命题的有（ ） A．|x|2+|x|﹣2＝0有四个实数解
B．设a、b、c是实数，若二次方程ax2+bx+c＝0无实根，则ac≥0 C．若x2﹣3x+2≠0，则x≠2 D．若x∈R，则函数y=√𝑥2+4+30．下列命题中正确命题是（ ） A．函数f（x）=√2+𝑥2+
1√2+𝑥2
1√𝑥2+4
的最小值为2
有最小值2
B．“x2﹣4x﹣5＝0”的一个必要不充分条件是“x＝5”
C．命题p：∃x∈R，tanx＝1；命题q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0．则命题“p∧（￢q）”是假命题
D．函数f（x）＝x3﹣3x2+1在点（2，f（2））处的切线方程为y＝﹣3 31．下列说法正确的有（ ）
A．在△ABC中，若∠A＞∠B，则sinA＞sinB
第5页（共22页）
B．等差数列{an}中，a1，a3，a4成等比数列，则公比为 2
2
3𝑎
𝑏
1
C．已知a＞0，b＞0，a+b＝1，则+的最小值为5+2√6 D．在△ABC中，已知
𝑎
𝑐𝑜𝑠𝐴
=
𝑏𝑐𝑜𝑠𝐵
=
𝑐𝑐𝑜𝑠𝐶
，则∠A＝60°
第6页（共22页）
新教材高中数学“多选题”单元练习
02:一元二次函数、方程和不等式(教师版)
1．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（ ） A．a2+b2≥2 C．log2a+log2b≥﹣2
1
B．2ab＞2 ﹣
1
D．√𝑎+√𝑏≤√2
1
【解析】①已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以（a+b）2≤2a2+2b2，则𝑎2+𝑏2≥2，故A正确．
②利用分析法：要证2𝑎−𝑏＞2，只需证明a﹣b＞﹣1即可，即a＞b﹣1，由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以：a＞0，b﹣1＜0，故B正确．
③𝑙𝑜𝑔2𝑎+𝑙𝑜𝑔2𝑏=𝑙𝑜𝑔2𝑎𝑏≤𝑙𝑜𝑔2(2)2=−2，故C错误． ④由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，
利用分析法：要证√𝑎+√𝑏≤√2成立，只需对关系式进行平方，整理得𝑎+𝑏+2√𝑎𝑏≤2，即2√𝑎𝑏≤1，故√𝑎𝑏≤故选：ABD．
2．若实数x，y满足5x﹣4y＝5y﹣4x，则下列关系式中可能成立的是（ ） A．x＝y
B．1＜x＜y
C．0＜x＜y＜1
D．y＜x＜0
√21𝑎+𝑏
=，当且仅当a＝b=时，等号成立．故D正确． 2221
𝑎+𝑏
【解析】若实数x，y满足5x﹣4y＝5y﹣4x⇔4x+5x＝5y+4y，
设f（x）＝4x+5x，g（y）＝5y+4y，由初等函数的性质，可得f（x），g（y）都是单调递增函数，
画出函数f（x），g（y）的图象，如图所示， f（0）＝g（0）＝1，f（1）＝g（1）＝9， 作一条直线y＝m，
①当m＜1时，y＜x＜0，所以，D选项正确，
②当m＝1或9时，x＝y＝0或x＝y＝1，所以，A选项正确， ③当1＜m＜9时，0＜x＜y＜1，所以，C选项正确， ④当m＞9时，1＜y＜x，所以，B选项不正确．
第7页（共22页）
故选：ACD．
3．已知实数x，y，z满足𝑙𝑛𝑥=𝑒𝑦=𝑧，则下列关系式中可能成立的是（ ） A．x＞y＞z
B．x＞z＞y
1𝑧1
C．z＞x＞y D．z＞y＞x
【解析】实数x，y，z满足𝑙𝑛𝑥=𝑒𝑦=，
画出图象，分别作出与x轴平行且与三个函数图象相交的直线． 由最下面的直线与函数图象的交点可得：z＞x＞y； 由中间的直线与函数图象的交点可得：x＞z＞y； 由最上面的直线与函数图象的交点可得：x＞y＞z． 则下列关系式中可能成立的是ABC． 故选：ABC．
4．若非零实数a，b满足a＜b，则下列不等式不一定成立的是（ ） A．＜1
𝑏𝑎
𝑏
𝑎𝑏
B．+
𝑎
1𝑎2𝑏
≥2
C．
1
𝑎𝑏
＜2
D．a2+a＜b2+b
第8页（共22页）
【解析】当a＜b＜0时，＜1不成立，
𝑏
𝑎
当＜0时，+
𝑏
𝑎𝑎𝑏𝑎
因为
1
𝑎𝑏2−
𝑏1
≥2不成立，
𝑎−𝑏(𝑎𝑏)
𝑎2𝑏
=
＜0，则21
𝑎𝑏
＜21𝑎2𝑏
一定成立，
因为a2﹣b2+a﹣b＝（a﹣b）（a+b+1）符号不定，故a2a＜b2+b不一定成立． 故选：ABD．
5．已知a＞b≥2，则（ ） A．b2＜3b﹣a C．ab＞a+b 【解析】a＞b≥2，
A，错误，比如a＝3，b＝2，9＞3不成立；
B，a3+b3﹣（a2b+ab2）＝a2（a﹣b）﹣b2（a﹣b）＝（a﹣b）2（a+b）＞0成立； C，由ab﹣a﹣b＝a（b﹣1）﹣b＝（b﹣1）（a−𝑏−1）＝（b﹣1）[a﹣（1+𝑏−1）]＞0， 故C成立； D，+
21
2𝑎𝑏
𝑏
1
B．a3+b3＞a2b+ab2 D．+
21
2𝑎𝑏
＞1𝑎
+ 𝑏
1
−
1𝑎
−
1𝑏
=
𝑎𝑏+4−2𝑏−2𝑎
2𝑎𝑏
=
(𝑎−2)(𝑏−2)
𝑎𝑏
≥0，故D不成立，
故选：BC．
6．下列说法正确的是（ ） A．𝑥+𝑥(𝑥＞0)的最小值是2 B．C．𝑥2+2𝑥2+5√𝑥2+2√𝑥2+41
的最小值是√2 的最小值是2
4
𝑥
D．2−3𝑥−的最大值是2−4√3 【解析】由基本不等式可知，x＞0时，x+𝑥≥2，当且仅当x=𝑥即x＝1时取等号，故A正确； B：𝑥2+2𝑥2+5√𝑥2+2√𝑥2+41
1
==
1
√𝑥2+2≥√2，当x＝0时取得等号，故B正确； √𝑥2+4+
1√𝑥2+4C：，令t=√𝑥2+4，则t≥2，
52
因为𝑦=𝑡+𝑡在[2，+∞）上单调递增，当t＝2时，取得最小值，故C错误；
第9页（共22页）
D：2−(3𝑥+)在x＜0时，没有最大值，故D错误． 故选：AB．
7．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E．则该图形可以完成的所有的无字证明为（ ）
4
𝑥
A．
𝑎+𝑏2
≥
√𝑎𝑏（a＞0，b＞0）
B．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） C．√𝑎𝑏≥1D．
𝑎2+𝑏2
2
2
1（a＞0，b＞0） +𝑎𝑏
≥
𝑎+𝑏2
（a≥0，b＞0）
【解析】根据图形，利用射影定理得：CD2＝DE•OD， 由于：OD≥CD， 所以：
𝑎+𝑏2
≥
． √𝑎𝑏（a＞0，b＞0）
由于CD2＝AC•CB＝ab，
𝐶𝐷𝑎𝑏
所以𝐷𝐸=𝑂𝐷=𝑎+𝑏
22
所以由于CD≥DE， 整理得：√𝑎𝑏≥𝑎+𝑏=1故选：AC．
8．已知0＜𝛼＜𝛽＜2，且tanα，tanβ是方程x2﹣kx+2＝0的两不等实根，则下列结论正确的是（ ） A．tanα+tanβ＝﹣k C．𝑘＞2√2
2𝑎𝑏
2
． 1（a＞0，b＞0）+𝑎𝑏𝜋
B．tan（α+β）＝﹣k D．k+tanα≥4
第10页（共22页）
【解析】∵已知0＜𝛼＜𝛽＜，且tanα，tanβ是方程x2﹣kx+2＝0的两不等实根， ∴tanα+tanβ＝k＞0，tanα•tanβ＝2，tan（α+β）=∴k＞2√𝑡𝑎𝑛𝛼⋅𝑡𝑎𝑛𝛽=2√2，
k+tanα＝2tanα+tanβ≥2√2𝑡𝑎𝑛𝛼⋅𝑡𝑎𝑛𝛽=4，当且仅当2tanα＝tanβ时，等号成立，故D正确， 故选：BCD．
9．下列说法中正确的有（ ） A．.不等式𝑎+𝑏≥2√𝑎𝑏恒成立 B．存在a，使得不等式𝑎+
1
≤2成立 𝑎𝑏
𝑎𝑏𝑎
𝑡𝑎𝑛𝛼+𝑡𝑎𝑛𝛽𝑘
==−k，
1−𝑡𝑎𝑛𝛼⋅𝑡𝑎𝑛𝛽1−2𝜋2C．.若a，b∈（0，+∞），则+≥2
2
1𝑦𝑥
≥8
D．若正实数x，y满足x+2y＝1，则+
【解析】不等式𝑎+𝑏≥2√𝑎𝑏恒成立的条件是a≥0，b≥0，故A不正确； 当a为负数时，不等式𝑎+
1
≤2成立．故B正确； 𝑎由基本不等式可知C正确； 对于+
𝑥2
1𝑦
=(+)(𝑥+2𝑦)=4+
𝑥
𝑦𝑥
1
1
214𝑦𝑥
+
𝑥𝑦
≥4+2√
4𝑦𝑥𝑥
⋅
𝑦
=8，
当且仅当
4𝑦𝑥
=，即𝑥=2，𝑦=4时取等号，故D正确．
𝑦
故选：BCD．
10．已知函数f（x）＝3x2﹣6x﹣1，则（ ） A．函数f（x）有两个不同的零点 B．函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增
C．当a＞1时，若f（ax）在x∈[﹣1，1]上的最大值为8，则a＝3 D．当0＜a＜1时，若f（ax）在x∈[﹣1，1]上的最大值为8，则𝑎=3 【解析】因为二次函数对应的一元二次方程的判别式△＝（﹣6）2﹣4×3×（﹣1）＝48＞0，
所以函数f（x）有两个不同的零点，A正确；
因为二次函数f（x）图象的对称轴为x＝1，且图象开口向上，
第11页（共22页）
1
所以f（x）在（1，+∞）上单调递增，B不正确；
令t＝ax，则f（ax）＝g（t）＝3t2﹣6t﹣1＝3（t﹣1）2﹣4． 当a＞1时，≤𝑡≤𝑎，故g（t）在[，𝑎]上先减后增，
𝑎1
1𝑎又
𝑎+2
1𝑎＞1，故最大值为g（a）＝3a2﹣6a﹣1＝8，
解得a＝3（负值舍去）．
同理当0＜a＜1时，𝑎≤𝑡≤，g（t）在[𝑎，]上的最大值为𝑔()=解得𝑎=3（负值舍去）． 故选：ACD．
11．下列函数中，最小值为2的是（ ） A．y＝x2+2x+3 B．y＝ex+ex
﹣
1
𝑎1𝑎1𝑎36
−−1=8， 𝑎2𝑎1
C．𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥，𝑥∈(0，2) D．y＝3x+2
【解析】y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2≥2即最小值为2，符合题意； 由基本不等式可得，y＝ex+ex≥2，即最小值为2，符合题意；
﹣
1𝜋
由𝑥∈(0，2𝜋)可得sinx∈（0，1），从而可得y＝sinx+𝑠𝑖𝑛𝑥＞2，没有最小值，不符合题意；
由指数函数的性质可知，y＝3x+2＞2，没有最小值，不符合题意． 故选：AB．
12．已知函数f（x）＝x2﹣2x﹣3，则下列结论正确的是（ ） A．函数f（x）的最小值为﹣4
11
B．函数f（x）在（0，+∞）上单调递增 C．函数f（|x|）为偶函数
D．若方程f（|x﹣1|）＝a在R上有4个不等实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4＝4 【解析】二次函数f（x）在对称轴x＝1处取得最小值，且最小值f（1）＝﹣4，故选项A正确；
二次函数f（x）的对称轴为x＝1，其在（0，+∞）上有增有减，故选项B错误； 由f（x）得，f（|x|）＝|x|2﹣2|x|﹣3，显然f（|x|）为偶函数，故选项C正确；
第12页（共22页）
令 h（x）＝f（|x﹣1|）＝|x﹣1|2﹣2|x﹣1|﹣3，方程f（|x﹣1|）＝a的零点转化为y＝h（x）与y＝a 的交点，
作出h（x）图象如右图所示：
图象关于x＝1 对称，当y＝h（x） 与y＝a 有四个交点时， 两两分别关于x＝1对称，所以x1+x2+x3+x4＝4， 故选项D正确． 故选：ACD．
13．关于x的一元二次不等式x2﹣6x+a≤0（a∈Z）的解集中有且仅有3个整数，则a的取值可以是（ ） A．6
B．7
C．8
D．9
【解析】设f（x）＝x2﹣6x+a，其图象是开口向上，对称轴是x＝3的抛物线，如图所示；
第13页（共22页）
若关于x的一元二次不等式x2﹣6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数，则 𝑓(2)≤04−12+𝑎≤0{，即{，
1−6+𝑎＞0𝑓(1)＞0
解得5＜a≤8，又a∈Z， 所以a＝6，7，8． 故选：ABC．
14．已知a、b、c、d是实数，则下列一定正确的有（ ）
(𝑎+𝑏)
A．𝑎+𝑏≥ 22
2
2
B．𝑎+𝑎≥2 C．若＞，则a＜b
𝑎
𝑏1
1
1
D．若a＜b＜0，c＜d＜0，则ac＞bd
【解析】由于2（a2+b2）﹣（a+b）2＝a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2≥0， 故𝑎2+𝑏2≥2(𝑎+𝑏)2，故A正确； B中，当a＝﹣1时显然不成立，B错误；
C中：a＝1，b＝﹣1显然有＞，但a＞b，C错误；
𝑎
𝑏1
1
1
D中：若a＜b＜0，c＜d＜0，则﹣a＞﹣b＞0，﹣c＞﹣d＞0，则根据不等式的性质可知ac＞bd＞0，故D正确．
第14页（共22页）
故选：AD．
15．若a，b为正数，则（ ） A．
2𝑎𝑏1𝑎+𝑏𝑎
≥
√𝑎𝑏
B．当+
1𝑏
=2时，a+b≥2
1
1
C．当𝑎+𝑏=𝑎+𝑏时，a+b≥2 D．当a+b＝1时，
𝑎21+𝑎
+
𝑏21+𝑏
≥ 3
2𝑎𝑏𝑎+𝑏
12
1
【解析】对A，因为𝑎+𝑏≥2√𝑎𝑏，所以
12
1
1
12
𝑏𝑎
𝑎𝑏
≤
√𝑎𝑏，当a＝b时取等号，A错误；
𝑏𝑎𝑎𝑏
对B，(𝑎+𝑏)(+)=
𝑎
𝑏
(2++)≥
(2+2√⋅)=2，当a＝b时取等号，
正确；
对C，a+b=𝑎+𝑏=𝑎𝑏，则ab＝1，𝑎+𝑏≥2√𝑎𝑏=2，当a＝b＝1时取等号，正确；
𝑎2𝑏𝑏(1+𝑎)𝑎2(1+𝑏)22
对D，(1+𝑎+1+𝑏)(1+𝑎+1+𝑏)=𝑎+𝑏+1+𝑏+1+𝑎≥𝑎2+𝑏2+2𝑎𝑏=
2
2
11𝑎+𝑏
(𝑎+𝑏)2=1，
当𝑎=𝑏=时取等号，正确． 故选：BCD．
16．对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式a（x﹣a）（x+1）＞0的解集可能为（ ） A．∅ C．（a，﹣1）
【解析】对于a（x﹣a）（x+1）＞0，
当a＞0时，y＝a（x﹣a）（x+1）开口向上，与x轴的交点为a，﹣1， 故不等式的解集为x∈（﹣∞，﹣1，）∪（a，+∞）； 当a＜0时，y＝a（x﹣a）（x+1）开口向下， 若a＝﹣1，不等式解集为∅；
若﹣1＜a＜0，不等式的解集为（﹣1，a）， 若a＜﹣1，不等式的解集为（a，﹣1）， 综上，ABCD都成立，
第15页（共22页）
1
2B．（﹣1，a）
D．（﹣∞，﹣1）（a，+∞）
故选：ABCD．
17．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），且对称轴为x＝﹣1，则以下选项中正确的为（ ）
A．b2＞4ac
B．2a﹣b＝1
C．a﹣b+c＝0
D．5a＜b
【解析】由抛物线的开口向下知a＜0， 与y轴的交点在y轴的正半轴上得c＞0； 因为二次函数的图象与x轴有2个不同交点， 所以，△＝b2﹣4ac＞0， 因此选项A正确； 因为对称轴为x＝﹣1， 所以，−
𝑏
=−1，即，2a﹣b＝0， 2𝑎因此B不正确；
又因为图象过点A（﹣3，0），且对称轴为x＝﹣1， 所以，图象与x轴的另一个交点是（1，0）； 把点（1，0）代入解析式得：a+b+c＝0， 故选项C不正确；
把x＝﹣3，x＝1代入解析式得：9a﹣3b+c＝0，和a+b+c＝0， 两式相加并整理得：10a﹣2b＝﹣c＜0，即，5a＜b，故D正确； 故选：AD．
18．设0＜a＜b，函数f（x）＝x2﹣4x+6，x∈[a，b]的最小值是a，最大值是b，则a，b分别为（ ） A．1
B．2
C．3
D．4
【解答】解∵f（x）＝（x﹣2）2+2≥2，∴a≥2 ∴f（x）在[a，b]上单调递增．
∵f（x）在区间[a，b]（a＜b）上的最小值为a，最大值为b，
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∴f（a）＝a，f（b）＝b． ∴a，b为方程f（x）＝x的两根 由x2﹣4x+6＝x，得a＝2，b＝3． 故选：BC．
19．已知正数a，b满足a+b＝4，ab的最大值为t，不等式x2+3x﹣t＜0的解集为M，则（ ） A．t＝2 ＜4}
【解析】∵正数a，b满足a+b＝4， 则ab≤(
𝑎+𝑏2
)=4， 2B．t＝4 C．M＝{x|﹣4＜x＜1} D．M＝{x|﹣1＜x
即ab的最大值为t＝4，
而x2+3x﹣4＜0的解集为M＝（﹣4，1）． 故选：BC．
20．设a＞1，b＞1，且ab﹣（a+b）＝1，那么（ ） A．a+b有最小值2（√2+1） C．ab有最大值3+2√2． 【解析】∵a＞1，b＞1，
∴𝑎+𝑏≥2√𝑎𝑏，当a＝b时取等号，
∴1=𝑎𝑏−(𝑎+𝑏)≤𝑎𝑏−2√𝑎𝑏，解得√𝑎𝑏≥√2+1， ∴𝑎𝑏≥(√2+1)2=3+2√2， ∴ab有最小值3+2√2； ∵𝑎𝑏≤(
𝑎+𝑏2
)，当a＝b时取等号， 2𝑎+𝑏2
)−(𝑎+𝑏)， 2B．a+b有最大值（√2+1）2 D．ab有最小值3+2√2．
∴1=𝑎𝑏−(𝑎+𝑏)≤(
∴（a+b）2﹣4（a+b）≥4，
∴[（a+b）﹣2]2≥8，解得𝑎+𝑏−2≥2√2，即𝑎+𝑏≥2(√2+1)， ∴a+b有最小值2(√2+1)． 故选：AD．
21．设a＞0，b＞0，给出下列不等式恒成立的是（ ） A．a2+1＞a
B．a2+9＞6a
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C．（a+b）（+）≥4
𝑎
𝑏
11
D．（a+）（b+）≥4
1
𝑎1𝑏【解析】设a＞0，b＞0，
a2+1﹣a＝（a+）2+＞0，A成立， a2+9﹣6a＝（a﹣3）2≥0，B不成立 （a+b）(𝑎+𝑏)≥（1+1）2＝4，故C成立， a+𝑎≥2，𝑏+𝑏≥2，故D成立， 故选：ACD．
22．若正实数a，b满足a+b＝1，则下列选项中正确的是（ ） A．ab有最大值 41
1
11
11234B．√𝑎+√𝑏有最小值√2 D．a2+b2有最小值
√2 2
14C．+有最小值4
𝑎
𝑏
11
【解析】∵a＞0，b＞0，且a+b＝1；∴1+𝑎+𝑏≥1√𝑎𝑏；∴𝑎𝑏≤； ∴ab有最大值，∴选项A正确；
41
√𝑎+√𝑏≥2√𝑎𝑏，2√𝑎𝑏≤1，∴√𝑎+√𝑏的最小值不是√2，∴B错误；
1𝑎
+
1𝑏
=
𝑎+𝑏𝑎𝑏
=
1𝑎𝑏
≥4，∴+有最小值4，∴C正确；
𝑎
𝑏
1
√2，∴D错误． 2
11
a2+b2≥2ab，2𝑎𝑏≤2，∴a2+b2的最小值不是故选：AC．
23．二次函数f（x）＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）
A．b＝﹣2a
B．a+b+c＜0
𝑏
C．a﹣b+c＞0 D．abc＜0
【解析】由图象a＜0，对称轴x=−2𝑎=1，则b＝﹣2a，则b＞0 由f（0）＝c＞0，
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∴abc＜0，
由f（﹣1）＜0，则即a﹣b+c＜0， 由f（1）＞0，则a+b+c＞0， 故选：AD．
24．对于任意实数a，b，c，d，则下列命题正确的是（ ） A．若ac2＞bc2，则a＞b C．若a＞b，c＞d，则ac＞bd 【解析】若ac2＞bc2，则a＞b，A对，
由不等式同向可加性，若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d，B对， 当令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，则ac＝bd，C错， 令a＝﹣1，b＝﹣2，则＜，D错．
𝑎
𝑏1
1
B．若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d D．若a＞b，则＞ 𝑎
𝑏1
1
故选：AB．
25．设a，b∈R，且a≠b，a+b＝2，则必有（ ） A．ab＞1
B．ab＜1
C．
𝑎2+𝑏2
2
＜1 D．
𝑎2+𝑏2
2
＞1
【解析】由基本不等式可得ab≤(∴ab＜1，
𝑎+𝑏2
)，a≠b， 2(𝑎+𝑏)𝑎2+𝑏+2𝑎𝑏12
又1==＜2(𝑎+𝑏2)，
4422
∴(𝑎2+𝑏2)＞1，
2
1
所以ab＜1＜2(𝑎2+𝑏2)， 故选：BD．
26．设a＞0，b＞0，则下列不等式中一定成立的是（ ） A．a+b+C．1≥2√2 √𝑎𝑏1
B．
2𝑎𝑏
𝑎+𝑏
≥
√𝑎𝑏
1
1𝑎
𝑏
𝑎2+𝑏2√𝑎𝑏≥a+b D．（a+b）（+）≥4
【解析】∵a＞0，b＞0， ∴𝑎+𝑏+
√2111≥2√𝑎𝑏+≥2√2，当且仅当a＝b且2√𝑎𝑏=即a＝b=2时取等号；√𝑎𝑏√𝑎𝑏√𝑎𝑏故A成立；
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∵𝑎+𝑏≥2√𝑎𝑏＞0，∴∴∵
2𝑎𝑏𝑎+𝑏2𝑎𝑏𝑎+𝑏
2𝑎𝑏
𝑎+𝑏
≤
2𝑎𝑏2√𝑎𝑏当且仅当a＝b时取等号，
≥≤=
√𝑎𝑏不一定成立，故B不成立，
2𝑎𝑏2√𝑎𝑏=
√𝑎𝑏，当且仅当a＝b时取等号，
=a+b−𝑎+𝑏≥2√𝑎𝑏−√𝑎𝑏，当且仅当a＝b时取等号，
≥𝑎+𝑏，故C一定成立，
𝑎2𝑎𝑏
𝑎2+𝑏2𝑎+𝑏
(𝑎+𝑏)2−2𝑎𝑏
𝑎+𝑏
∴
𝑎2+𝑏2𝑎+𝑏
≥
√𝑎𝑏，∴1
1𝑎
𝑏
𝑎2+𝑏2√𝑎𝑏𝑏
∵（a+b）（+）＝2+𝑎+𝑏≥4，当且仅当a＝b时取等号，故D一定成立， 故选：ACD．
27．设a、b是正实数，以下不等式恒成立的为（ ） A．√𝑎𝑏＞2𝑎𝑏
𝑎+𝑏B．a＞|a﹣b|﹣b D．ab+
2
＞2 𝑎𝑏
C．a2+b2＞4ab﹣3b2 【解析】∵a、b是正实数，
∴a+b≥2√𝑎𝑏⇒1≥𝑎+𝑏⇒√𝑎𝑏≥𝑎+𝑏．当且仅当a＝b时取等号，∴A不恒成立； B：a+b＞|a﹣b|⇒a＞|a﹣b|﹣b恒成立；
a2+b2﹣4ab+3b2＝（a﹣2b）2≥0，当a＝2b时，取等号，例如：a＝2，b＝1时，左边＝5，右边＝4×1×2﹣3×22＝﹣4∴C不恒成立； D：ab+
22≥2√𝑎𝑏⋅=2√2＞2恒成立． 𝑎𝑏𝑎𝑏2√𝑎𝑏2𝑎𝑏
故选：BD．
28．已知实数x，y满足ax＞ay＞1（0＜a＜1），则下列关系式正确的为（ ） A．x2+1＞y2
B．|1﹣x|＞|y﹣1|
C．sinx＞siny
D．x3＞y3
【解析】∵实数x，y满足ax＞ay＞1（0＜a＜1）， ∴x＜y＜0，
∴x2+1＞y2，故A正确；
∴﹣x＞﹣y＞0，1﹣x＞1﹣y＞1，∴|1﹣x|＞|y﹣1|，故B正确； 不一定有sinx＞siny，故C不一定正确； ∴x3＜y3 ，∴D不正确， 故选：AB．
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29．下列命题中是假命题的有（ ） A．|x|2+|x|﹣2＝0有四个实数解
B．设a、b、c是实数，若二次方程ax2+bx+c＝0无实根，则ac≥0 C．若x2﹣3x+2≠0，则x≠2 D．若x∈R，则函数y=√𝑥2+4+1√𝑥2+4
的最小值为2
【解析】|x|2+|x|﹣2＝0则|x|＝1或|x|＝﹣2，故方程只有两个实数解，故A是假命题；
𝑏
设a、b、c是实数，若二次方程ax+bx+c＝0无实根，则b﹣4ac＜0，则ac＞4≥0，则
2
2
2
ac＞0，可以推出ac≥0，故B是真命题；
若x2﹣3x+2≠0，则x≠2且x≠1，可推出x≠2，故C是真命题； 若x∈R，则函数y=√𝑥2+4+1√𝑥2+4
的最小值为，此时x＝0，故D是假命题．
2
5
故选：AD．
30．下列命题中正确命题是（ ） A．函数f（x）=√2+𝑥2+
1√2+𝑥2有最小值2
B．“x2﹣4x﹣5＝0”的一个必要不充分条件是“x＝5”
C．命题p：∃x∈R，tanx＝1；命题q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0．则命题“p∧（￢q）”是假命题
D．函数f（x）＝x3﹣3x2+1在点（2，f（2））处的切线方程为y＝﹣3 【解析】令√2
+𝑥211𝑡2−1
=t≥√2，g（t）＝t+，g′（t）＝1−2=2＞0，因此函数g（t）
𝑡𝑡𝑡
13√2=＞2，
2√23√2，大于2，因此A不正确； 2
单调递增，∴g（t）≥𝑔(√2)=√2+∴函数f（x）=√2+𝑥2+
1√2+𝑥2有最小值“x2﹣4x﹣5＝0”的一个充分不必要条件是“x＝5”，因此B不正确；
命题p：∃x=，tanx＝1，因此是真命题；命题q：∀x∈R，x2﹣x+1=(𝑥−)2+＞0，是真命题．则命题“p∧（￢q）”是假命题，C正确；
函数f（x）＝x3﹣3x2+1，f′（x）＝3x2﹣6x，f′（2）＝0，f（2）＝﹣3，∴函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y＝﹣3，D正确． 故选：CD．
第21页（共22页）
𝜋
41234
31．下列说法正确的有（ ）
A．在△ABC中，若∠A＞∠B，则sinA＞sinB
B．等差数列{an}中，a1，a3，a4成等比数列，则公比为 2
2
3𝑎
𝑏
1
C．已知a＞0，b＞0，a+b＝1，则+的最小值为5+2√6 D．在△ABC中，已知
𝑎
𝑐𝑜𝑠𝐴
=
𝑏𝑐𝑜𝑠𝐵
=
𝑐𝑐𝑜𝑠𝐶
，则∠A＝60°
【解析】在△ABC中，若∠A＞∠B，则a＞b，即有2RsinA＞2RsinB，即sinA＞sinB，则A正确；
等差数列{an}中，a1，a3，a4成等比数列，则有a32＝a1a4，即有（a1+2d）2＝a1（a1+3d）， 解得a1＝﹣4d或d＝0，则公比为由于a＞0，b＞0，a+b＝1，则+
𝑎2
3𝑎3𝑎1
=1或，则B错误；
22
3
2𝑏
3𝑎
2𝑏3𝑎
1
=（a+b）（+）＝5+𝑎+𝑏≥5+2√𝑎⋅𝑏=5+2√6，
𝑏𝑎𝑏
当且仅当√2b=√3a，取得最小值，且为5+2√6，则C正确； 在△ABC中，
𝑎𝑐𝑜𝑠𝐴
=
𝑏𝑐𝑜𝑠𝐵
=
𝑐𝑐𝑜𝑠𝐶
即为𝑠𝑖𝑛𝐴
𝑐𝑜𝑠𝐴
=
𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐵
=
𝑠𝑖𝑛𝐶𝑐𝑜𝑠𝐶
，即tanA＝tanB＝tanC，
由于A，B，C为三角形的内角，则有A＝B＝C＝60°，则D正确． 故选：ACD．
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