正弦、余弦定理的应用

2022-08-01 来源：意榕旅游网

2005－2006学年度下学期

高中学生学科素质训练高一数学同步测试（10）——正弦、余弦定理的应用

说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，共150分；答题时间120分钟.

第I卷（共50分）

一、选择题（每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，仅有一个选项是正确的） 1．在△ABC中，a4sin10,b2sin50,C70，则S△ABC=

A．

（）

1 8B．

1 4C．

1 2D．1

2．△ABC中，∠A，∠B的对边分别为a,b，且∠A=60°，a6,b4，那么满足条件

的△ABC （） A．有一个解 B．有两个解 C．无解 D．不能确定 3．在三角形ABC中, 如果sinAcosB, 那么这个三角形是（） A．直角三角形 C．钝角三角形 4．在△ABC中，“A30”是“sinAA．充分不必要条件 C．充要条件

B．锐角三角形

D．直角三角形或钝角三角形

1”的（） 2B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

5．在△ABC中，已知B=30°,b=503,c=150，那么这个三角形是（）

A．等边三角形 C．等腰三角形

B．直角三角形

D．等腰三角形或直角三角形

6．在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，则此三角形为（） A．直角三角形 B．等腰三角形

C．等边三角形

- 1 -

D．等腰直角三角形

7．设A是△ABC中的最小角，且cosA

A．a≥3

B．a＞－1

a1，则实数a的取值范围是 a1（）

C．－1＜a≤3 D．a＞0

8．在△ABC中，a,b,c,分别是三内角A、B、C所对的边，若B=2A，则b:a的取值范围是（）

A．(2,2)

B．(1,2) 31B．[,]

44C．(1,1) D．(0,1)

C的取值范围是（）

oscosA9．在△ABC中，若三个内角A，B，C成等差数列且A2411C．(,)

2431D．(,)

4410．给出下列4个命题：

①若sin2A=sin2B，则△ABC是等腰三角形； ②若sinA=cosB，则△ABC是直角三角形； ③若cosAcosBcosC<0，则△ABC是钝角三角形；

④若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)=1，则△ABC是等边三角形.

C．①④

D．②③

（）

其中正确的命题是

A．①③

B．③④

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题（每小题4分，共16分。把正确答案填写在题中的横线上，或按题目要求作答。） 11．在△ABC中, 若A = 60, B = 75, c = 6 , 则a = . 12．在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为 . 13．在△ABC中，BC=3，AB=2，且

sinC2(61)，A= . sinB514．在△ABC中，已知AB=l，∠C=50°，当∠B= 时，BC的长取得最大值. 三、计算题（共84分.要求写出必要的文字说明、主要方程式和重要演算步骤。） 15．在△ABC中，已知sinB·sinC＝cos2

- 2 -

16．在△ABC中，tanA23，tanB，且最长边为2． 57（1）求角C的大小；

（2）求最短边的长．

17．已知ABC的三边a、b、c成等比数列，且cotAcotC（1）求cosB；（2）求ABC的面积．

47，ac3． 7

18．已知后勤保障队位于沙漠考察队北偏东30处，两队相距80km. 上午6点，后勤队驾越

野车以15km / h 的速度向沙漠考察队方向行进，但此时，沙漠考察队却以3km / h的速度徒步向正东方向开始考察. 两支队伍均配备用于联络的步话机，步话机的联络半径是10km, 且两队都打开步话机并随时呼叫对方．（1）求两队出发t小时后它们之间的距离f (t )；

（2）在两队行进过程中，是否可以通过步话机建立联络？请说明理由．

- 3 -

19．在△ABC中，已知tanB13,cosC,AC36，求△ABC的面积．

20．在ABC中，A、B、C所对的边长分别为a、b、c，设a、b、c满足条件

b2c2bca2和

c13，求A和tanB的值． b2- 4 -

参考答案

一、选择题：CCDBD AABCB

提示：9．（解法1）∵2B=A+C，∴B=cosAcosCcos．设A=－d，C=+d（d > 0）．则333113∴0sind．∴cosAcosC,，即选C．（解法2）考虑特殊的情况，①取

242ππ131πdcosd=cos2dsin2d=sin2d，又02π1π1，得cosAcosC=；②取A=B=C=，得cosAcosC=．综合题意（①、

2343②均为特例），故选C．

二、填空题：11．36； 12．等腰三角形； 13．120°； 14．40°．三、计算题：

15．解：∵sinB·sinC＝cos2

A1cosA, ∴sinB·sinC＝

22∴2sinB·sinC＝1＋cos［180°－（B＋C）］

将cos（B＋C）＝cosBcosC－sinBsinC代入上式得 cosBcosC＋sinBsinC＝1, ∴cos（B－C）＝1

又0＜B，C＜π，∴－π＜B－C＜π∴B－C＝0 ∴B＝C，故此三角形是等腰三角形. 16．解：（1）∵tanA23tanAtanB1．，tanB， ∴tan(AB)571tanAtanB(AB)]tan(AB)1，又ABC180， ∴tanCtan[∴C135.

（2）由（1）知C为最大角，从而由已知得c2，

tanBtanA0， ∴BA，故△ABC的最短边为a。

∵tanA22291529，∴cosA，∴sinAtanAcosA， 2529291tanA又sinC2csinA429，∴由正弦定理得最短边a。

2sinC29- 5 -

17．解：（1）由cotAcotC47sin(AC)47

7sinAsinC7sinAsinCsin2B，sin(AC)sinB

7sinB47sinB „

7sin2B42 由a、b、c成等比数列，知bac，且b不是最大边

73 cosB1sin2B144222 （2）由余弦定理 bac2accosB得

2aca2c22ac1737B(ac)2ac， ac2 SABCacsin．

422418．设沙漠考察队出发位置为A，t小时位于点Q，后勤队t小时位于P点.

则条件：知∠PAQ= 60， AP = 80 – 15t , AQ = 3t , ∴ |PQ|2 = (80 – 15t)2 + (3t)2 – 2 (80 – 15t)(3t)cos60 = 279t2 – 2640t + 6400 . ∴f (t ) = (2) ∵f (t ) =



279t22640t6400. (t  0 )

279t22640t6400= 279(t4800 >

313100=10. 3144024800 )9331 ∴两队联络不上.

另解：

由 279t2 – 2640t + 6400  100 得279t2 – 2640t + 6300  0，

即 93t2 – 880t + 2100 0 ∴△ = 8802 – 4932100 = –6800. 无解，故两队在行进中不能联络上. 答略. 19．解法1：设AB、BC、CA的长分别为c、a、b，

由tanB3,得B60,sinB31,cosB. 22 - 6 -

又sinC1cos2C22,应用正弦定理得：cbsinC36228. 3sinB32sinAsin(BC)sinBcosCcosBsinC故所求面积SABC3112332. 2323631bcsinA6283. 2解法2：同解法1可得c=8. 又由余弦定理可得

b2a2c22accosB,即54a2642a8所得a146,a241,a28a100.26.B60,0C90,30A120.

abbb361由得,asinAsin30323,sinAsinBsinBsinB322而a2463,舍去,故a46.故所求面积SABC1acsinB6283. 2b2c2a2120．解法一：由余弦定理cosA，

2bc2

因此，A60 在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B.

由已知条件，应用正弦定理：

1csinCsin(120B)sin120cosBcos120sinB313cotB, 2bsinBsinBsinB22解得cotB2,从而tanB1. 2222222bca1解法二：由余弦定理cosA ，因此，A60，由bcbca，

2bc2acc1115得()21()21333.

bbb424所以

a15. ① b2

由正弦定理sinBbsinA231.

a1525由①式知ab,故∠B<∠A，因此∠B为锐角，于是cosB1sin2B2，

15 - 7 -

从而tanBsinB1. cosB2 - 8 -

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