培优专题7_分式的运算(含答案)

【知识精读】

1. 分式的乘除法法则

acac； bdbdacadad 

bdbcbc

当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。 2. 分式的加减法

（1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。 求最简公分母是通分的关键，它的法则是： ①取各分母系数的最小公倍数；

②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取； ③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。 （2）同分母的分式加减法法则

abab ccc （3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。 3. 分式乘方的法则

anan ()n（n为正整数）

bb 4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。学习时应注意以下几个问题：

（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；

（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式；

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（3）运算中及时约分、化简； （4）注意运算律的正确使用； （5）结果应为最简分式或整式。

下面我们一起来学习分式的四则运算。 【分类解析】

x2x2x2x62 例1：计算2的结果是（ ）

xx6xx2x1 A.

x3 分析：原式

x1B.

x9

x21C. 2

x9

x21D. 2

x3(x2)(x1)(x3)(x2)

(x3)(x2)(x2)(x1)(x2)(x1)(x2)(x1)(x3)(x2)(x3)(x2)(x1)(x1) 

(x3)(x3)x212x9 故选C

说明：先将分子、分母分解因式，再约分。

例2：已知abc1，求

abc的值。

aba1bcb1acc1 分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用abc替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了。 解：原式aababc

aba1abcabaabcabcab- 2 -

aababcaba11abaa1abaab1 

aba11

例3：已知：2m5n0，求下式的值： (1nmnm)(1) mmnmmn 分析：本题先化简，然后代入求值。化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理。最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一个字母，带入化简后的式子求值。这是解决条件求值问题的一般方法。 解：(1nmnm)(1) mmnmmnm(mn)n(mn)mm(mn)n(mn)mm(mn)m(mn)nm(mn) 

m(mn)nmnmn 2m5n0m5n 25nn7372nn 故原式5223nn2

例4：已知a、b、c为实数，且的值是多少？

分析：已知条件是一个复杂的三元二次方程组，不容易求解，可取倒数，进行简化。 解：由已知条件得：

ab1bc1ca1abc，，，那么ab3bc4ca5abbcca1111113，4，5 abbcca- 3 -

111)12 abc111 即6

abcabbcca1116 又因为

abccbaabc1 所以

abbcca6 所以2(

x31x21x24) 例5：化简：( x2x2x1(x31)(x2)(x21)(x2)(x2)(x2) 解一：原式 (x2)(x2)x1 x43x32x24x1(x4x2)3(x31)(x21)x1x2(x1)(x1)3(x1)(x2x1)(x1)(x1)

x1(x1)(x3x23x23x3x1)x1x32x24x4(x1)(x2x1)(x2)(x2)(x1)(x1)(x2)(x2) 解二：原式

x2x1x2x1(x2x1)(x2)(x1)(x2) x3x2x2x22x2x23x2

x32x24x4 说明：解法一是一般方法，但遇到的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次多项式，而它的分解需要拆、添项，比较麻烦；解法二则运用了乘法分配律，避免了上述问题。因此，解题时注意审题，仔细观察善于抓住题目的特征，选择适当的方法。

nmm2n2 例1、计算： 1

m2nm24mn4n2- 4 -

mn(m2n)2 解：原式1 m2n(mn)(mn)m2nmnmnm2n 

mn3nmn1 说明：分式运算时，若分子或分母是多项式，应先因式分解。

M2xyy2xy 例2、已知：2，则M_________。 2xyxy2xy22xyy2xy 解：2 2xyxy

2xyy2x22xyy2x2y2xMx2y2x2y222

Mx

说明：分式加减运算后，等式左右两边的分母相同，则其分子也必然相同，即可求出M。

中考点拨： 例1：计算：[1111]() 22abab(ab)(ab)(ab)2(ab)2abab 解一：原式 22(ab)(ab)(ab)(ab)- 5 -

4ab(ab)(ab)2b(ab)2(ab)22a 

(ab)(ab)2a2ab2 解二：原式(111111)()() abababababab11abab

abab2a(ab)(ab)a2b2 说明：在分式的运算过程中，乘法公式和因式分解的使用会简化解题过程。此题两种方法的繁简程度一目了然。

2b32b)(1)的值等于（ ） 例2：若ab3ab，则(13abab322 A.

1 2

B. 0

C. 1

D.

2 3a3b32b3ab2b 解：原式 33abab

a3b3ab33abab(ab)(a2abb2)ab(ab)(a2abb2)abaabb3ababa2abb23abab2ab14ab222

故选A

【实战模拟】

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1. 已知：ab2，ab5，则 A. 2 522. 已知x

ab的值等于（ ） ba141924 B.  C.  D. 

555116x10，求x33的值。

x3. 计算：

1111

x23x2x25x6x27x12x29x20999911111999922221，B4. 若A，试比较A与B的大小。

999922221999933331

5. 已知：abc0，abc8，求证：

1110。 abc- 7 -

【试题答案】

aba2b2 1. 解：

baabab2，ab5 ab(ab)2ab14

222ab1414ba55 故选B

2. 解：x16x10

2 x216x1，x2116x，x216x1

1x61(x21)(x4x21)16x(x4x2x216x) 1x3

xx3x3x3316(x42x216x)16216(x2)xx2 21616x1616(16x12)16(3)xx16(x21)1616x16[3]16[3]xx 16259

4144 说明：此题反复运用了已知条件的变形，最终达到化简求值的目的。 3. 解：原式1111

(x1)(x2)(x2)(x3)(x3)(x4)(x4)(x5)11111111x1x2x2x3x3x4x4x511  x1x542x6x5 说明：本题逆用了分式加减法则对分式进行拆分，简化计算。

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4. 解：设a99991111a1a21，B3，则A2 a1a1a1a21a4a3a1a42a21 AB2 323a1a1(a1)(a1)a(a1)2 20

(a1)(a31) AB

5. 证明：abc0

(abc)20，即abc2ab2bc2ac0

22212(ab2c2) 2111bcacab1(a2b2c2) 又abcabc16 abbcac abc8

a、b、c均不为零

a2b2c20

1110abc

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