数学研讨 专题六 数列 第十七讲 递推数列与数列求和

第十七讲 递推数列与数列求和

2019年

1.（2019江苏20）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.

*（1）已知等比数列{an}(nN)满足：a2a4a5,a34a24a40，求证：数列{an}为“M

－数列”；

*（2）已知数列{bn}(nN)满足：b11,122，其中Sn为数列{bn}的前n项和． Snbnbn1①求数列{bn}的通项公式；

*②设m为正整数，若存在“M－数列”{cn}(nN)，对任意正整数k，当k≤m时，都有

ck剟bkck1成立，求m的最大值．

2.（2019浙江10）设a，b∈R，数列{an}中an=a，an+1=an2+b，nN ,则 A．当b=时，a10＞10 C．当b=-2时，a10＞10

12

B．当b=时，a10＞10

14

D．当b=-4时，a10＞10

3.（2019浙江20）设等差数列{an}的前n项和为Sn，a34，a4S3，数列{bn}满

足：对每个nN,Snbn,Sn1bn,Sn2bn成等比数列.

（1）求数列{an},{bn}的通项公式；

（2）记cnan,nN, 证明：c1c2+2bncn2n,nN.

2010-2018年

一、选择题

1．（2013大纲）已知数列an满足3an1an0,a24，则an的前10项和等于 3A．6(13101) B．(1310) C．3(1310) D．3(1310)

9n2．（2012新课标）数列an满足an1(1)an2n1，则an的前60项和为

A．3690 B．3660 C．1845 D．1830

3．（2011安徽）若数列an的通项公式是an(1)(3n2),则a1a2a10= A．15 B．12 C．－12 D．－15 二、填空题

4．（2015新课标1）数列an中a12,an12an,Sn为an的前n项和，若Sn126，

则n ．

5．（2015安徽）已知数列{an}中，a11，anan1和等于______．

6．（2015江苏）数列{an}满足a11，且an1ann1（nN*），则数列{项的和为 ．

7．（2014新课标2）数列an满足an11(n≥2)，则数列{an}的前9项21}前10an1，a2=2，则a1=_________． 1an8．（2013新课标1）若数列{an}的前n项和为Sn＝

21an，则数列{an}的通项公式是33an=______．

9．（2013湖南）设Sn为数列an的前n项和，Sn(1)nan（1）a3_____；

（2）S1S2S100___________．

n10．（2012新课标）数列{an}满足an1(1)an2n1，则{an}的前60项和为

1,nN,则 n2．

11．（2012福建）数列an的通项公式anncosn1，前n项和为Sn，则S2012=___． 212．（2011浙江）若数列n(n4)()中的最大项是第k项，则k=____________． 三、解答题

13．（2018天津）设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(nN*)；{bn}是等比数列，公

2n3比大于0，其前n项和为Tn(nN*)．已知b11，b3b22，b4a3a5，

b5a42a6．

(1)求Sn和Tn；

(2)若Sn(T1T2Tn)an4bn，求正整数n的值．

14．设（2017新课标Ⅲ）数列{an}满足a13a2(2n1)an2n．

(1)求{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和． 2n11， 315．（2016全国I卷）已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b11，b2anbn1bn1nbn．

（I）求{an}的通项公式； （II）求{bn}的前n项和．

16．（2016年全国II卷）等差数列{an}中，a3a44,a5a76．

(Ⅰ)求{an}的通项公式；

(Ⅱ)设bn[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如

[0.9]=0，[2.6]=2．

*17．（2015浙江）已知数列{an}和{bn}满足，a12，b11，an12an(nN)，

11b1b2b323（Ⅰ）求an与bn；

1bnbn11(nN*)． n（Ⅱ）记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn．

18．（2015湖南）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a11,a22，

*且an23SnSn13,(nN)．

（Ⅰ）证明：an23an；

（Ⅱ）求Sn．

19．（2014广东）设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且Sn满足

2Snn2n3Sn3n2n0,nN．

（Ⅰ）求a1的值；

（Ⅱ）求数列an的通项公式； （Ⅲ）证明：对一切正整数n，有

1111.

a1a11a2a21anan1320．（2013湖南）设Sn为数列{an}的前项和，已知a10，2ana1S1Sn，nN

(Ⅰ)求a1，a2，并求数列an的通项公式； (Ⅱ)求数列｛nan｝的前n项和．

21．（2011广东）设b0，数列an满足a1b，an（1）求数列an的通项公式；

nban1(n2)．

an12n2bn1（2）证明：对于一切正整数n，ann11.

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