高等数学习题库

高等数学（1）复习题

一、选择题

1x21的定义域是（ ）

1．函数

yA. (-1,1) B．[-1,1]

C．(,1][1,) D．(,1)(1,)

2、函数

y3x1lg(x2)的定义域是（ ）

A.(3,2)(1,) B.(2,1)(1,)

C. (3,1)(1,) D.(2,)

3、函数

f(x)1ln(x2)的定义域是（ ）

A.(2,) B.(3,) C.(2,3)(3,) D.(,2)(2,)

4、下列各式中，运算正确的是（ ）

5. 设

.

1x,x12f(x)1x2,1x10,x1

，则f(2)= ( )

53A.2 B.3 C.0 D.2 6．若

xx0limf (x)存在, 则f (x)在点x0是（ ）

A. 一定有定义 B．一定没有定义

C．可以有定义, 也可以没有定义 D．以上都不对

7．下列说法正确的是（ ）。

A. 无穷小量是负无穷大量 B．无穷小是非常小的数

C．无穷大量就是 D．负无穷大是无穷大量

8.下列说法正确的是( )

A.若函数f(x)在点x0处无定义，则f(x)在点x0处无极限。

B.无穷小是一个很小很小的数。

.

limf(x)f(x0)xf(x)xx00C.函数在点处连续，则有：

D.在(a,b)内连续的函数f(x)在该区间内一定有最大值和最小值。

9.函数

f(x)x21x1，当x1时的极是（ ） A.2 B. 2 C.  x110．极限limx1x21=（ ）

A．0 B. 1 C．2 D．

11．函数

x)x2f(1x1，当x1时的极限（ ）A．2 B． 2

C．  D．极限不存在

12．极限limx1x1x21=（ ）

A．0 B. 1 C．2 D．

13．limx31x1x1（ ）

.

D.极限不存在

A.1 B.2 C.3 D.4

x2x1lim2x12xx214. 极限 ( )

1A. 2 B. 1 C.0 D.

15．下列各式中正确的是（ ）

xA．limx0sinx0 B．limxxsinx1

xC．limx1sinx0 D．limxx0sinx1

16．设limsinaxx0x7 时，则a的值是（ ）

1A. 7 B.1 C.5 D.7

17、当x→0时,下列各等价无穷小错误的是( )

A．arctanx～x B．sinx2 ～ x2 1C. lg(1+x) ～ x D．1-cosx ～2x2

.

18、函数

f(x)xsinxx，当x时的极限（ ）

A．0 B． 

C． -1 D．1 19、当x0时，ln(1x)与x比较是（ ）

A.高阶无穷小量 B.低阶无穷小量

C.等价无穷小量 D.同阶但不等价无穷小量

2y(x1)20、在x1处（ ）

A.连续 B.不连续 C.不可导 D.既不连续也不可导

2x3 x0f(x)23xa x0在x = 0处连续,则a的值是( ) 21、函数

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

22、函数y=ln（2 - x - x2）的连续区间为（ ）

A．（-1，2） B．（-2，1）

C．（- ∞，1）∪（- ∞，1） D．（- ∞，-2）∪（1，+∞）

.

23．下列说法错误的是（ ）

A．可导一定连续 B．不可导的点不一定没有切线

C．不可导的点一定不连续 D．不连续的点一定不可导

24． 函数f (x)在点 x0连续是函数在该点可导的（ ）

A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件

C．充分必要条件 D．既不是充分条件, 也不是必要条件

1x,x0,225．已知函数f (x)＝x1,x0 则在x=0处（ ）

A．间断 B．不可导 C．f(0) =－1 D．f(0) =1 26、y|x|在x0处（ ）

A.连续不可导 B.可导不连续

C.可导且连续 D.既不连续也不可导 27．设y =e，则y（ ）

xA．e B． xexx1 C．－xex1 D．-e

x.

128．导数等于2sin2x的函数是（ ）

1111A．2sin2x B．4cos2x C．2cos2x D．1－2cos2x

1sin2x29.若下列函数中（ ）的导数不等于2

11211cos2xsinxcos2x1cos2xA . 4 B. 2 C .2 D. 4

2y43x30、设，则f1等于（ ）

A.0 B.-6 C.-3 D.3

dyyxlnx31.设，则dx( )

x1xx1xA.x B.1x C.x D.1x

32.设yf(x)，则y=（ ）

A.f(x) B.f(x) C.f(x) D.f(x)

33.下列导数计算正确的是( )

.

11A.(esin2x)esin2x B.

lnxln2x2

C .

(arcsinx2)11(x2)2 D.(sin2x)sin2x

34.下列导数计算正确的是( )

A.(esinx)esinx

B.

(2xlog2xln212x)xln2

C.

(xx)11x

D.

(lnxln2)11x2

35、半径为R的金属圆片，加热后半径伸长了dR，则面积S的微分dS是（A．RdR B．2RdR

.

）

C．dR D．2dR

36．设f (x)可微，则d(e f (x) ) =（ ）

A．f(x)dx B．ef (x)dx C．f(x) ef (x)dx D．f(x) d(e f (x) )

37、边长为a的正方形铁片，加热后边长伸长了da，则面积S的微分dS是（ ）

A．ada B．2ada

C．a2da D．da

38、设函数在点x0可导，且f(x0)=2，则曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线的倾斜角

是（ ）

A．锐角 B． 0

C．90 D．钝角

39．设函数在点x0可导, 且f(x0) ＞0, 则曲线y = f (x)在点(x0, f (x0))处的切线的倾斜角是( )

A．0 B．90 C．锐角 D．钝角

0040．设函数在点x0可导, 且f(x0) =－3, 则曲线y = f (x)在点(x0, f (x0))处的切线的倾斜角是( )

.

A．0 B．150 C．锐角 D．钝角

0041、设函数在点x0可导，且f(x0)<0，则曲线yf(x)在点(x0,f(x0))处的切线的倾斜角

是（ ）

A．0 B．锐角

C．90 D．钝角

42．曲线y = lnx上某点的切线平行于直线y = 2x－3, 该点的坐标是 ( )

1111A．（2, ln2） B．（2，－ln2） C．（2，－ln2） D．（2，ln2）

43.设函数在点x0可导，且f(x0)2，则曲线yf(x)在点xx0处的切线的倾斜角是

( )．

A.0° B.90° C.120° D.钝角

44.设函数在点x0可导，且f(x0)3，则曲线yf(x)在点xx0处的切线的倾斜角是

( )．

A.0° B.90° C.锐角 D.钝角

45、函数f(x)ln(1x)x的单调减少区间是（ ）

.

A．(0,) B．(,0)

C．(0,1) D．(-1,0)

46、函数

f(x)xln(1x)

的单调减少区间是（ ）

A.(0,) B.(,0) C.(0,1) D.(-1,0)

2y2xlnx的单调递减区间为( ) 47.

111111(0,)(,)(0,)(,)(,0)(,)22 C.22A.2 B. D.2

3yxx2在点(1,0)处的切线方程为（ ） 48、曲线

A.y2(x1) B.y4(x1)

C.y4x1 D.y3(x1)

49．函数y = x2e-x及其图形在区间(1, 2)内是（ ）

A．单调增加且是凸的 B. 单调减少且是凸的

.

C．单调增加且是凹的 D．单调减少且是凹的

50、曲线yf(x)在区间[a,b]上单调减少且为凸的，则（ ） A．f(x)>0或f(x)0 B．f(x)>0或f(x)0 C．f(x)<0且f(x)0 D．f(x)<0且f(x)0

51、曲线yf(x)在区间[a,b]上单调增加且为凹的，则（ ） A．f(x)>0,f(x)0 B．f(x)<0,f(x)0 C．f(x)>0,f(x)0 D．f(x)<0,f(x)0

52、若在(a,b)内，函数f(x)的一阶导数f(x)＞0，二阶导数f(x)＜0，则函数f(x)在此区间内（ ）

A.单调减少，曲线是凹的 B.单调减少，曲线是凸的

C.单调增加，曲线是凹的 D.单调增加，曲线是凸的

53.若在(a,b)内，函数f(x)的一阶导数f(x)＜0，二阶导数f(x)＞0，则函数f(x)在此区间内（ ）

A.单调减少，曲线是凹的 B.单调减少，曲线是凸的

.

C.单调增加，曲线是凹的 D.单调增加，曲线是凸的

54.若曲线弧位于其上任一点切线的下方，则该曲线弧是( )

A.单调增加 B.单调减少

C.凹弧 D.凸弧

55．点 x = 0是函数y = x2 的（ ）

A. 驻点但非极值点 B．拐点

C．驻点且是拐点 D．驻点且是极值点

56、点x0是函数yx的（ ）

4A.驻点但不是极值点 B.拐点

C.驻点且是极值点 D.驻点且是拐点

57、点x0是函数yx的（ ）

3A．极值点但不是驻点 B．驻点但不是极值点

C．驻点且是极值点 D．极值点且是拐点

.

58、下列说法正确的是（ ）

A.驻点一定是极值点 B. 拐点一定是极值点

C.极值点一定是拐点 D. 极值点一定是驻点或导数不存在的点

59、若

fx00，则

x0是函数

fx的（ ）

A.极值点 B.最值点 C.驻点 D.非极值点

xf(x)xe60、函数的极值是（ ）

A． 0 B． 1

C． -1 D． 2

61.函数yf(x)在xx0处连续，且取得极值，则有( )

A.f(x0)0 B.f(x0)0

C.

f(x0)0或者f(x0)不存在

 D.f(x0)不存在

.

62. 函数yf(x)在点xx0处取得极大值，则必有（ ）

A. f(x0)0 B. f(x0)0

C. f(x0)0且f(x0)0 D . f(x0)0或f(x0)不存在

3y(x1)63、曲线的拐点是（ ）

A.(1,8) B.(1,0) C.(0,1) D.(2,1)

64.下列说法正确的是（ ）

A.驻点一定是极值点 B. 极值点一定是驻点或导数不存在的点

C.极值点一定是拐点 D. 拐点一定是极值点

dF(x)F(x)f(x),65、若则=（ ）

A.f(x) B.F(x) C.F(x)C D. f(x)C

66．设f(x)dx= cos2x + C，则f (x) =（ ）

A．sin2x B．－2sin2x C．sinx+ C D．－sin2x

xf(x)dx67．设= 2cos2 + C，则f (x) =（ ）

.

xxxxA．sin2 B．－sin2 C．sin2+ C D．－2sin2

68.若

f(x)dxsinxcosxc，则，f(x)（ ）

A.sinxcosx B.sinxcosx C.cosxsinx d69．dxx5e2xdx= ( )

A．x4e2x B．x5e2xdx C．x4e2xdxd70.dxxf(x)dx ( )

1A.2f(x)1 B.2f(x)dx C.xf(x) 71．

dxf(x2)dx=（ ）

1A．2f(x2)1 B．2f(x2)dx

.

sinxcosx

D．x5e2x

D.xf(x)dx

D.

12C．xf(x2)dx D．2xf(x)dx

72．

dx2f(x)dx=（ ）

A．2xf(x) B．2xf(x)dx

C．x2f(x)dx D．x2f(x)

73．

cos2xdx（ ）

1A．2sin2x + C B．2cos2x + C C．2sin2x + C 74．f1x1x2dx= ( )

A．

f(111x)+ C B．－f(x)+ C C．f(x)+ C 175．x2dx=（ ）

1A．xC1 B．xC

C．ln2xC D．

lnx2C .

1．2cos2x + C

D．－f(1x)+ C D

2e76、x3sinxdx=（ ）

xx2e3cosxc2e3cosx A. B.

xC. 2e3cosx D. 1

二、填空题

22x1．函数y =+ arcsinx 的定义域为____________．

22、函数y=xx定义域为 。

3、函数y=lnx定义域为 。

4、函数yarcsinx的定义域为 。

1x221x的定义域为 。

5、函数

y1x2y1x2的奇偶性为 。 6、函数

7、函数yx(x1)(x1)的奇偶性为 。

x1 x0f(x)3x1 x0,则f(-2)= 。 8、设

.

2x1 x0g(x)2x5 x0,则f(2)= 。 9、设

2yarcsinx，则它的复合过程是 。 10、设复合函数

11．设 y = arcsinu，u=av，v =x，则复合函数y=____________．

2yarcsin（x＋1）12、设复合函数，则它的复合过程是 。

2y(arcsin3x)13、函数的复合过程是 ；

14、设yarcsinu，uv，vx1，则复合函数y 。

2xyarcsin215、可以将复合函数分解为 。

16、x3lim2x3x1lim2x0x5x4 ；17、x2 。

sinx18．极限xx的值为____________．

lim19．极限x0limxsin1x的值为____________．

sinxsinxlimx0xxx20、 ， 。

lim.

arctanxxx21、 。

limsinx2sinxlimlim222、x0x ， xx 。

123．设y =x－1，则当x_____时，y 是无穷大量；当x_____时，y 是无穷小量．

xf(x)224、设，当x 时为无穷小量。

xyyxe25、设，则＝ 。

26．设y = arctanx, 则y=____________, y=____________，y(0) ． 27、已知ycos(43x)，求y= ，y 。 28．已知函数y = xe, 则y =____________________．

x29．已知函数f (x)＝xsinx, 则f()＝__________________．

2xyxe，则y= 。 30、已知函数

xy－xe31、已知函数，则y= 。

32．曲线y = x2－x上过M（1，0）点的切线方程是__________________．

.

xye33、曲线在点(0,1)处的切线方程为 。

34、曲线y＝2e在点(0,2)处的切线方程为 。

xxye35、曲线在点(0,1)处的切线方程为 。

36． 若曲线y = ax3+2在点x=1 处的切线与直线y =2x+1垂直, 则a =__________．

37、函数在一点处连续和可导的关系 。

38．函数在点x0处可微的充要条件是___________________．

21x39．d（）=________________．

40．函数f (x)＝sinx－x在定义域内单调___________．

2y2xlnx的单调递增区间是 。 41、函数

42． f (x)＝x3－3x2+7的极大值为________，极小值为__________．

2f(x)ax8x2在点x2处取得极值，则a 。 43、若函数

2f(x)ln(1x)在[－1，2]上的最大值为 ，最小值为 。 44、函数

2f(x)ln(2x)在[－1，2]上的最大值为 ，最小值为 。 45、函数

.

23f(x)(x1)1在[2,1]上的最大值是 ，最小值是 。 46、函数

23f(x)(x1)1在[2,1]上的最大值是 ，最小值是 。 47、函数

d2dxxf(x)dxdx 48．= _________． 49．=___________________．

50．曲线f (x)＝xex的拐点的坐标为__________．

51、函数fx的全体原函数FxC称为fx的 。

2dxxdx52、( )=。 53、d( )=edx。

54、

x2dx=

1dxx；

55、dex ，d 56、sin2xdx ；xdx= 。

1dx57、x1= ；

158、d =sinxdx, d =1x2dx。

.

59、

d( )xdx

；

d( )cos3xdx

。

60、若f(x)dxe2xC，则f(x)= 。

xde ，d( )=dx。 61、

62、

f(x)dxf(x) 。

三、计算题

1. 求下列极限

3x22x1x22x7lim2limx2x3x1x32x2 （1） （2）

3x22x113lim2lim()3x2x3x1x11x1x （3） （4）

.

（5）

limx0xsinxsin5xlimx3 （6）x0sin3x

（7）

lim(12x)x01x （8）x0limsinxx2x

x12cotxlimx3lim(1tanx) （9） x0 （10）xxx x1f(x)2,limfxx x1求x1（11）已知。

2.求下列导数或微分

dydy1sinx6，求dx （2）已知y =(ln2x)cos3x，求dx

（1）已知y =

x23x22x（3）已知y =ecos(3－x)，求dy （4）求函数y =ln1x的微分

2yln(2x1) 求dy (5) y = ln[ln(5+3x)]，求dy (6) 已知

dy(7) 已知yln1x 求y (8) 已知yarcsinx，求dx

2dyx10(9) y = x2 sinx，求dx (10 ) 已知y10x, 求y

23xyxsin2xyx10y(11) 已知，求 (12) 已知, 求dy

.

22xyxe，求dy (14) 已知yarctanx，求dy (13)

3.求下列不定积分

(1)

x133dxx(x2)dx (2) 2xx

sinxdxcosxsinxdx(3) (4)1cosx

22x1xdxdx22(5) 1x (6) 1x

sin2xdx(7) 1cosx (8)

xexdx

(9)

xxedx (10)tanxdx

(11)xsinxdx (12)arctanxdx

三、应用题

,1. 求曲线yxsinx过点22的切线方程和法线方程.

xf(x)(x2)e2. 求函数在（0，2）点切线和法线方程。

.

2yxsinx，求点(0,2)处的切线方程和法线方程。 3.设有函数

xyex上寻找一点，使这点处的切线平行于x轴. 4.在曲线

5. 已知在曲线上任一点(x,y)切线的斜率为3x，并且曲线经过(0,0)点，求此曲线的方

2程。

6.已知曲线yf(x)在任一点处的切线斜率为x2，且该曲线过点(1,4)，求此曲线方程。

7. 求曲线y =x3-3x2+1的单调区间,凹凸区间及极值.

8.求曲线y =x3-3x－2的单调区间,凹凸区间，拐点及极值.

xf(x)(x1)e9.求函数的极值。

10. 求函数y=x-ln(1+x)的极值。

32yaxbx(1,2)11. 如果点是曲线的拐点，试求a,b的值.

12.要制造一个圆柱形有盖的油桶，若油桶的容积V是常数，问底面半径r和高h之比等于多少时，才能使用料最省？

13. 要制造一个圆柱形无盖的油桶，若油桶的容积V是常数，问底面半径r和高h之比等于多少时，才能使用料最省？

14.半径为15cm的球，半径伸长2mm，球的体积增加约多大？

.

15.某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20米长的墙壁，问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？

16.要建造一个容积为8000立方米的无盖长方体蓄水池，已知池底为正方形且单位造价为侧壁造价的两倍，问蓄水池的尺寸如何设计才能使总造价最低？

14. 【1】微分法

球的体积V＝4/3*pi*R^3

求微分dV=4*pi*R^2*dR=4*3.14*15^2*0.2=565.2(cm^3)

【2】原始办法：

△V=4/3*pi*(R+△R)^3-4/3*pi*R^3

=4/3*pi*[(R+△R)^3-R^3]

=4/3*pi*[R^3+3*R^2*△R+3*R*△R^2+*△R^3-R^3]

=4/3*pi*[3*R^2△R] 【注：舍去高阶变量】

=4*pi*R^2*△R

=4*3.14*15^2*0.2

.

=565.2(cm^3)

15. 设一边为X，一边为Y, X+2Y=20 求XY最大植 ,即（20-2Y）Y的最大植

当Y =5时有最大植 .所以长10米，宽5米可修最大面积的小屋

16.设底边长x，高是y，根据题意，已知x^2*y=8000

求2x^2+4xy的最小值。

可以把2x^2+4xy写成2x^2+2xy+2xy

2x^2+2xy+2xy≥3×（2x^2×2xy×2xy）的开三次方=3×（2^3×x^4*y^2）的开三次方=3×(8^3*10^6)的开三方=3×8×100=2400

而第一步中等号成立的条件是：2x^2=2xy

也就是x=y，再根据x^2*y=8000，因此，当造成边长为20米的立方体水池时，造价最低.

.