2010年浙江省温州市摇篮杯高一

2010年浙江省温州市摇篮杯高一

数学竞赛试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

1．设集合A{y|ya21|aN},B{y|yb210|bN}，则AB中元素的个数

为

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 大于3个 2．某次数学测试分为选择题与非选择题两部分，

右边的散点图中每个点(X,Y)表示一位学生在 这两部分的得分，其中X表示该生选择题得 分，Y表示该生非选择题得分，设ZXY表 示该生的总分，现有11位学生的得分数据，根 据散点图，下列判断正确的是 （ ） A．X的方差Y的中位数 C．X的众数D．Z的中位数=X的中位数+Y的中位数

x（ ）

3．已知x表示不超过x的最大整数，如3.13，若x0是方程x

B． 1x02

8的实数根，则

（ ）

A．0x01 C． 2x03

D． 3x04

4．已知函数f(x)Asin(x)(A0,0)的图象与直线ya(0aA)的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f(x)的单调递减区间是

A． 6k,6k3,kZ C． 6k,6k3,kZ

B． 6k3,6k,kZ D． 6k3,6k,kZ

（ ）

5．若映射f:1,2,3,....1,2,3,....，满足：f(1)f(2)f(3)....f(n)且

f(f(x))3x，那么f(1)的值为

A．1 B．2 C．3

6．已知四边形ABCD，AC是BD的垂直平分线，垂足

（ ）

D．4

第 1 页 共 13 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

为E，O为直线BD外一点．设向量OB5，OD3，

则(OAOC)(OBOD)的值是 （ ）

A． 8

B． 16

C． 8

D． 16

（ ）

x4ax217．a是一个常数，函数f(x)4的值域不可能是 2．．．xx1A． 1

B． (a2),1

3D． 2a,(a2)

1

C． 1,(a2)

13138．若(0,4)，m(cos)log2sin,n(cos)log2cos,p(sin)log2cos，则m,n,p的

（ ）

大小关系为

A．mpn B． mpn C． mpn D． mnp

cos1cos2cos3cos89...9．求：= sin46sin47sin48sin134

A．

（ ）

892 22B． 892 C． 902

D．

902 210．若函数f(x)xaxb有两个不同的零点x1,x2，3x1x24,那么在

f(3),f(4)两个函数值中

A．只有一个小于C．都小于

（ ）

1 4B．至少有一个小于D．可能都大于

1 41 41 4二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分．

11．已知集合Ax|1x1，Bx|xa0，若AB,则实数a的取值范围

是 ．

2x12．设f(x)log2xx01，则f(f()) ．

2x013．如图执行右面的程序框图，那么输出的S值为 ．

第 2 页 共 13 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

14．在标有数字1,2,3...,10,11,12的12张大小相同的卡片中，

依次取出不同的三张卡片它们的数字和恰好是3的倍数 的概率是 ．

15．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量OA(1,2)，

OB(2,1)，若OPxOAyOB且1xy2，

则点P所有可能的位置所构成的区域面积是 ．

16．某学生对函数f(x)2xcosx的性质进行研究，得出如下的结论：

①函数f(x)在,0上单调递增，在0,上单调递减； ②点,0是函数yf(x)图像的一个对称中心； 2③函数yf(x) 图像关于直线x对称；

④存在常数M0，使f(x)Mx对一切实数x均成立．其中正确的结论是 ． 17．已知数据x1,x2,x3,...,x10的平均数为6，标准差为2，则数据x1,x2,...,x5的平均数的 取值范围是 ．

三、解答题：本大题共3小题，共51分． 18．（本题满分15分）

9已知向量a(sinx,1),b(sinx,cosx)，设函数f(x)ab，x0,

8 （1）求f(x)的单调区间；

（2）若f(x)0在区间0,上有两个不同的根,，求cos()的值．

第 3 页 共 13 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

19．（本题满分16分）已知正实数x,y，设axy，b （1）当y1时，求

x27xyy2．

b的取值范围； ac2 （2）若以a,b为三角形的两边，第三条边长为c构成三角形，求的取值范围．

xy 20．（本题满分20分）

设f(x)是定义在实数R上的函数，g(x)是定义在正整数N上的函数，同时满足下列条件：

（1）任意x,yR，有f(xy)f(x)f(y)，当x0时，f(x)1且f(1)5； （2）g(1)f(0),g(2)f(2)； （3）fg(n2)*f(n3)g(n1)f(n2)g(n)，nN

*试求：（1）证明：任意x,yR， xy，都有

f(x)f(y)0；

xy （2）是否存在正整数n，使得g(n)是25的倍数，若存在，求出所有自然数n；

若不存在说明理由． （阶乘定义：n!123...n）

第 4 页 共 13 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．

1．B 解：a21b210,(ab)(ab)9913319，

得：a5,b4;a3,b0 共2组，选B

2．B 解：根据图像可知X中位数为40，Y的中位数大概在34左右，选B 3．C 解：由x0是方程xx8的实数根，易得x00

令函数g(x)xx，则函数在0,上是增函数（不是严格增函数） 当x0时，则0x1 ， g(x)1 ， 当x1时，则1x2 ， 1g(x)2， 当x2时, 则2x3 ， 4g(x)9 , 当x3时, 则3x4 ， 27g(x)64 , 选C 4．B 解：相邻交点的中点的横坐标分别为3，6，则周期T6，3

f(x)Asin(x)，又f(2)f(4)0，当x3时，f(x)取最大值，

33) Asin()A即 f(3)，2k,kZ，f(x)Asin(x232f(x)的单调递减区间为[6k3,6k],kZ

5．B 解：由f(f(1))3，可知1f(1)3

选B

若f(1)1，则f(f(1))f(1)1，与f(f(1))3矛盾，不可能； 若f(1)2，则f(f(1))f(2)3

若f(1)3，则f(2)4,f(3)5与3f(f(1))f(3)5矛盾，不可能。选B

6．B 解：(OAOC)(OBOD)

第 5 页 共 13 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

(OEEAOEEC)(OBOD) 2OE(OBOD)(EAEC)DB (OBOD)(OBOD)16 选B

x4ax21(a1)x2x21107．D 解：f(x)4， 24242xx1xx1xx13当a1时，f(x)1；当a1时，(a2)f(x)1 当a1时，1f(x)131(a2); 选D 38．A 解：log2mlog2coslog2sin，log2nlog2coslog2cos

log2plog2sinlog2cos

又由(0,4)，得0sincos1，log2sinlog2cos0

log2mlog2plog2n ,mpn 选A

coscoscos((45)45)229．A 解：tan(45) sin(45)cos(45)cos(45)22=cos1cos2cos3cos89... sin46sin47sin48sin1342289289(tan(44)tan(43)...tan44)=， 选A 222另解：（利用诱导公式配对求和）

sincoscoscos(900)cossin2 sin(45)sin(45)sin(135)sin(45)sin(45)cos1cos2cos3cos89...

sin46sin47sin48sin134cos1cos89cos44cos46cos4589()...()2 sin46sin134sin89sin91sin90210．B 解：（用特殊值来排除）令x1101121，x2，则f(3)f(4)； 33941072111令x1，x2，则f(3)，f(4)．选B

329434第 6 页 共 13 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

另解：设f(x)(xx1)(xx2)，则

f(3)(3x1)(3x2)0，f(4)(4x1)(4x2)0

f(3)f(4)(3x1)(3x2)(4x1)(4x2)(x13)(4x1)(x23)(4x2)

x134x12x234x2211)()，所以，至少有一个小于．选B

2216411．a1

(12．2 13．

2046 20472i11解i， (21)(2i11)2i12i11输出S114．

12046 1121204719 55解：按被3除的余数进行分类，A03,6,9,12，A1,4,7,10，A22,5,8,11 1依次取出不同的三个数，使它们的和恰好是3的倍数的概率

P15．

43234443219

121110555 2解：作OG2OA，OE2OB OF2OA2OB

M,N为OF,EF中点，则P在MNF内，

面积为16．④

解：f(x)2xcosx为奇函数，

则函数f(x)在 ,0，0,上单调性相同，所以①错；

5 2f(0)0,f()2，所以②错； f(0)0,f(2)4，所以③错；

f(x)2xcosx2xcosx2x，令M2，所以④对． 选④

第 7 页 共 13 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

17．62a62

解：由(x16)2(x26)2...(x106)220，

222得：x1x2...x1012(x1x2...x10)36020 222即 x1x2...x10380

设x1,x2,...,x5的平均数为a，x6,x7,...,x10的平均数为b，则b12a 结合方差定义 (x1a)2(x2a)2...(x5a)20

222展开得：x1x2...x52a(x1x2...x5)5a20

222222即 x1，x2...x52a5a5a0x12x2...x55a2， 222同理x6x7...x105b25(12a)2

222得：x1x2...x105a25(12a)2 ，即 3805a5(12a)

22a212a340 得62a62 另解：（运用柯西不等式）

设x1,x2,...,x5的平均数为a，x6,x7,...,x10的平均数为b，则b12a

(x1x2...x5)25a2， 由 xx...x5212225(x6x7...x10)2xx...x5b25(12a)2

52627210222得：x1x2...x105a25(12a)2 ，即 3805a5(12a)

22a212a340 得62a62 18．（本题满分15分）

9已知向量a(sinx,1),b(sinx,cosx)， 设函数f(x)ab x0,

8 （1）求f(x)的单调区间；

（2）若f(x)0在区间0,上有两个不同的根,，求cos()的值．

解：（1）f(x)sinxcosx29911cos2xcosxcos2xcosx 888第 8 页 共 13 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

11f(x)(cosx)2

28令tcosx， 当x0,1t1，且tcosx为减函数 时，23122又f(t)(t)11

在,1上时减函数，f(x)在0,上是增函数 823

当x1,时，1t，且tcosx为减函数

23122又f(t)(t)11在1,上时增函数，f(x)在,上是减函数 823综上，f(x)的单调区间为0,

2，, 33 （2）由f(x)0得，cosxcosx110，即cos2xcosx0 8812令tcosx，则cos,cos是方程tt0的两个根，从而

81coscos1,coscos

8sin2sin2(1cos2)(1cos2)1(cos2cos2)cos2cos2

coscoscos=1(coscos)2cos22217 64sinsin11717cossinsin，cos()cos

882另解：由f(x)0得，cosxcosx110，即cos2xcosx0 88不妨设cos2222,cos,则 44sin1cos210421042,sin, 44117 8cos()coscossinsin19．（本题满分16分）

第 9 页 共 13 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

已知正实数x,y，设axy，b （1）当y1时，求

x27xyy2．

b的取值范围； ac2 （2）若以a,b为三角形的两边，第三条边长为c构成三角形，求的取值范围．

xy解：（1）由题设知，xa1，且ax11

(a1)27(a1)1ba25a51129所以，5() 2aaaa24又ax111(0,1) a1a122结合二次函数的图像知15()99 44故

b3的取值范围为1, a2bx27x1x27x15x另解： 212ax1x2x1x2x1=15x21x， x2154,01xx2x5 41bb33，得的取值范围为1,

aa22c2 （2）设k，则ckxy xy22c(xy)x7xyy恒成立，、 22cx7xyy(xy)(xy)x27xyy2kxy即， 22x7xyy(xy)kxy第 10 页 共 13 页 金太阳新课标资源网

wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

kk令

xy2yxxy7yx， 恒成立

xyxy72yxyx1xt，由于yt在1,是增函数，

ty令f(t)t7t2，则

1t1t11f(t)t7t2945

tt又 t7t21t1t511t7t2tt1

c21k5,1k25，得的取值范围为1,25

xy20．（本题满分20分）

设f(x)是定义在实数R上的函数，g(x)是定义在正整数N上的函数，同时满足下列条件：

（1）任意x,yR，有f(xy)f(x)f(y)，当x0时，f(x)1且f(1)5； （2）g(1)f(0),g(2)f(2)； （3）fg(n2)*f(n3)g(n1)f(n2)g(n)，nN

*试求：（1）证明：任意x,yR， xy，都有

f(x)f(y)0；

xy（2）是否存在正整数n，使得g(n)是25的倍数，若存在，求出所有自然数n；若不存在说明理由．

解：（1）当xy0时，f(0)f(0)f(0)， f(0)0，f(0)1

 1若f(0)0，则得f(x)f(x0)f(x)f(0)0，不可能，舍去 f(0)第 11 页 共 13 页 金太阳新课标资源网

wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

当x0时，f(x)11，得，0f(x)1f(x)0,xR f(x)若xy，则，xy0，f(xy)1，f(x)f(xy)f(y)f(y)，

f(x)f(y)0,f(x)f(y)0

xy同理，若xy，

f(x)f(y)0任意x,yR，

xyxy，都有

f(x)f(y)0

xy （2）g(1)f(0)1,g(2)f(2)f(1)f(1)5

由（1）可得f(x)为单调减函数

fg(n2)f(n3)g(n1)f(n2)g(n)f(n3)g(n1)(n2)g(n)

g(n2)(n3)g(n1)(n2)g(n)

得g(n2)g(n1)(n2)(g(n1)g(n)),n1

g(n)g(n1)n(g(n1)g(n2)),n3 g(n1)g(n2)(n1)(g(n2)g(n3))

…

g(3)g(2)3(g(2)g(1))

n!g(2)g(1),n3 …① 2n!又由①式得：g(n)g(n1)g(2)g(1),n3

2(n1)!g(n1)g(n2)g(2)g(1)

2相乘得：g(n)g(n1)…

3!2!g(2)g(1)，g(2)g(1)g(2)g(1) 221相加得：g(n)g(1)g(2)g(1)(2!3!...n!)，n2

2g(3)g(2)第 12 页 共 13 页 金太阳新课标资源网

wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com

g(n)2(2!3!...n!)1,n2

g(1)1,g(2)5，g(3)17，g(4)65，g(5)305，g(6)1745，g(7)11825，g(8)92465，g(9)818225，

由于当n10时，n!能被25整除

综上，存在正整数n，当n7或n9,nN时，g(n)是25的倍数

第 13 页 共 13 页 wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网