全向移动机器人的运动控制

全向移动机器人的运动控制

作者：Xiang Li, Andreas Zell

关键词：移动机器人和自主系统，系统辨识，执行器饱和，路径跟踪控制。

摘要：本文主要关注全向移动机器人的运动控制问题。一种基于逆运动学的新的控制方法提出了输入输出线性化模型。对执行器饱和及驱动器动力学在机器人性能体现方面有重要影响，该控制法考虑到了以上两个方面并保证闭环控制系统的稳定性。这种控制算法常用于真实世界的中型组足球机器人全方位的性能体现。

1.介绍

最近，全方位轮式机器人已在移动机器人应用方面受到关注，因为全方位机器人“有一个满流动的平面，这意味着他们在每一个瞬间都可以移动，并且在任何方向都没有任何调整”。不同于非完整的机器人，例如轮式机器人，在执行之前具有旋转任何所需的翻译速度，全方位机器人具有较高的机动性并被广泛应用在动态环境下的应用，例如在中型的一年一度的足球比赛。

大多数移动机器人的运动控制方法是基于机器人的动态模型或机器人的运动学模型。动态模型直接描述力量施加于车轮和机器人运动之间的关系，以外加电压的每个轮作为输入、以机器人运动的线速度和角加速度作为输出。但动态变化所造成的变化的机器人惯性矩和机械组件的扰动使控制器设计变得较为复杂。假设没有打滑车轮发生时，传感器高精度和地面足够平坦，由于结构的简单，因而运动模型将被广泛应用于机器人的设计行为中。作为输入运动学模型是机器人车轮速度，输出机器人的线速度和角速度，机器人的执行器

的动力都快足以忽略，这意味着所需的轮速度可以立即达到。然而，该驱动器的动态极限，甚至降低了机器人在真实的情况中的表现。

另一个重要方面是机器人控制的实践：执行器饱和。因机器人轮子的指挥电机速度是有饱和的界限的，执行器饱和能影响到机器人的性能，甚至使机器人运动变得不稳定。

本文提出了一个全方位的机器人的一种运动控制方法，这种控制方法是基于逆输入输出的线性的运动学模型。它需要不仅考虑到驱动器动力学的识别，但也需要考虑到执行器饱和控制器的设计，并保证闭环控制系统系统稳定性。

本文其余的部分：在2节介绍了运动学模型的一个全方位的中型足球机器人；在3节介绍了路径跟踪与定位跟踪问题基于逆运动学模型的输入输出线性化的解决方法，其中包括执行器饱和分析；4部分介绍了动态识别器及其在控制性能方面的影响；最后的实验结果和结论讨论部分分别在5和6。

2.机器人运动学模型

移动机器人其实是一个全方位机器人，其原理显示在图1。它有三个彼此120度对称安装的瑞典的车轮。每个车轮的驱动用直流电机和具有相同距离的中心到机器人的质心R。

图一：运动图学基础上的全方位机器人 除了固定的坐标系统xw,yw，一个移动机器人的固定框架被定义在xm,ym，该框架平行于地面，其起源定位于R。是指机器人的定位，该方向的轴Xm就在这个坐标系中。和分别是机器人观察视野的平移速度vR与机器人坐标系统。该运动学模型在机器人的坐标系统的体现为： 331v313L331313L02.q,313L① mmmmvxR,yR,xyRR观察到机器人坐标系统是机器人的速度向量，和是机器人的平移速T....q,q,q123q，qii1,2,3是车轮的线速度，它度；是机器人的旋转速度，是车轮速度矢量T

等于车轮半径乘以通过车轮的角速度。 cossinRm,sincos⑵ 介绍了从机器人坐标系统到固定坐标系统的变换矩阵该运动学模型关于固定坐标系可推导出： 222coscossin333..222xsinsincosq3331113L3L3L⑶ mm.xxR,yR,mm是机器人关于固定坐标系统的速度向量；xR和yR是机器人的平移速度；T是机器人转动速度；是指车轮定位在机器人坐标系统上且等于30度。 .重要的是要注意到变换矩阵是模型1是满秩矩阵，这意味着机器人的平移和旋转是被分解了的，并保证单独控制这两个方向上的运动。 针对高电平控制法没有考虑到车轮速度，运动学模型xGv⑷ 被用在控制方法中，这Rm0G里的变换矩阵等于01，因为G是满秩矩阵，这两个分解运动的特征也是被保持的。 .3.逆输入输出的线性化控制

三角函数的变换角所在的变换矩阵G确定了非线性的运动学模型4。由于矩阵G是满

秩，这种非线性模型可以精确线性化的引入一个简单的补偿CG。该线性化系统就变成

1了xu与一个新的输入向量

.uu1,u2,u3T。

图2：在组成C下的线性化系统

这种线性化系统显示在图2中是完全分离的，允许控制的机器人通过一个单独的方式平移和旋转。当一个控制器K的设计是基于这个简单的线性系统时，该控制器相对于原系统就变成了CK。整个控制回路，其中包括非线性系统，补偿和控制器，这一关系显示如图3。

图3：闭环控制系统

x代表机器人的状态向量xR,yR,且xd代表的是理想状态向量；xR与yR是机器人在固

T定坐标系统中的位置。

基于输入输出线性化系统，关于机器人的平移和旋转控制的路径跟踪和定位跟踪问题在下面的小节进行了分析。执行器饱和的影响也保持着平移和旋转运动之间的分解关系。

3.1路径跟踪控制 作为一个高层次控制问题，路径跟踪被应用于本例中的处理机器人平移控制。路径跟踪问题如图4所示。P代表所给定的路径，点Q是正交设计R在路径P上的交点，路径坐标系统xt,Q,xn分别是沿着路径P移动和坐标轴xt和xn对应的切线和法线方向上的点和它们的交点。P是路径切线方向在点Q的水平夹角。 图4 路径跟踪问题的图解 基于以上的叙述，路径跟踪问题用来寻找适当的机器人的速度的，这样偏移距离xn与角的误差RP趋向于零。 vR和角速度的控制值.为了解决这个问题，一个Lyapunov 候选函数V2112KdxnKR22⑸ 可以被考虑到，其中Kd与K是正常量。

.V在该瞬间的求导结果为VKdxnxnKRR.⑹ ..R被控制着沿着一个指数曲线并Mojaev提出了一个简单的基于偏移距离xn的控制律，收敛于轴xt。该指数曲线可表示为xnxn0expkxt,（7） xn0是初始偏差和正的常数k确定的收敛速度的偏差。关于xt区别于（7），我们可以得到该指数曲线的切线方程为 Rarctandxnarctankxn.dxt（8） 因此，对于一个非零常数所需的速度vd，机器人的坐标系统xtQxn的平移速度分别为 xnvdsinR.，（9）； xtvdcosR.（10） .将⑻代入⑹，我们可以得到VKdxnxnkKarctankxn..xn1kxn20 因为xnxnxnvdsinarctankxn0.且xnarctankxn0.。该解决方案V可保证在xn0及.R0情况下整体稳定的平衡力，这意味着这种控制律可解决路径跟踪问题。 转换到总坐标系的机器人速度，我们可以得到线性化系统的控制值

u1vdcos,（12）

u2vdsin,（13）

其中RP。

控制器的输入12和13是点R和给定的路径之间的偏差距离，通过该距离通常可以直接得到在机器人上的传感器。此外，该偏差平稳地收敛于零且速度受控于参数k，这便是可以根据性能选择的要求。3.2定位跟踪

不同于一个轮式机器人，在不同的角度上全方位机器人的定位方向是不同的，其关系可表示为。这意味着全方位机器人当它作路径跟踪时能跟踪任何角度。基于线性化模型，该定位跟踪的任务是寻找一个合适的u3，其值等于机器人的旋转速度，这样便可得tlimdtt0,⒁，

其中dt是期望的定位。

输入变量u3与输出变量之间的系统是一个整体，普遍应用于PD控制器的设计并能圆满完成定位跟踪任务。

3.3执行器饱和

基于逆输入输出线性化，该全向机器人平移和旋转可以轻松通过一个单独的方式实现。该线性化就投入产出的关系而言，就要求内部零件有充足的能力去达到预期的输入。不过，机器人的电力马达是有界的，因而当指挥速度太大时执行器将会饱和。驱动饱和的存在可

以影响机器人的平移和旋转这两个分解运动的速度，这样系统性能和稳定性就会受到严重影响。因此，在控制器的设计中有必要处理执行器饱和问题。 对于全向机器人来说，每一轮的最大速度是的极限是qm.，即qiqm..。将上述控制值方程（12）（13），u3代入逆运动学模型（2）和（1）中，可得出车轮速度的计算值为： .q1vdcosLu3.qvcosLu3,2d.vsinLud3q3⒂ 为了在路径跟踪控制的基础上实现定位跟踪，所需的平移速度的最大值Vd被假定小于qm.。将qm代入（15），可以计算得出每个轮子速度的上界Ubi和下界Lbi，其计算可表示为以.下三个不等式， vdcosLu3qmvdcosLu3qmvdsinLu3qm,...⒃ 然后，u3动态边界值可计算得 lbmaxlb1,lb2,lb3ubmaxub1,ub2,ub3,⒄ 其中lb和ub分别是下界和上界。

考虑饱和函数 ub,x1ubx2x1,lbx1ublxl,b,1b⒅ 和它的增益特性如图5所示，我们可以得到一个动态增益饱和ka，当输入饱和时该值具有一个最大值且收敛于零。然后机器人定位的闭环控制系统可以表达为图6，其中一个控制器PD能用于控制机器人的定位收敛于理想值d， .k1ek2e,（19） kak1其中k1和k2分别是比例值和偏移量。它可获得闭环只有一个极点1kak1k2和一个零点1k2。因此，当k2是负值，k1是被选择的时，这样极点就变成为负值，从而无论ka如何降低闭环系统的稳定性都可以被保证。 图5：饱和函数和它的增益特性。

图6：机器人定位的闭环控制。

4.驱动器的动态

当我们假设低电平驱动器动力学速度快于比运动学的速度时，这个结果在最后一节是唯一可行的，或驱动器动力的延迟可以被忽略。因而有必要在控制器的设计中分析和考虑驱动器的动态影响。在下面的小节中，在观察输入输出的数据的基础上的执行器的动态识别，和其在机器人运动控制方案上的影响将被一一叙述。

4.1执行器动力识别

该系统识别问题的目的是估算一个在观察输入输出数据基础上的模型从而得出性能指标最小化。因为满秩变换矩阵在低电平动力模型（1）表示的输出x,y和是不相关的，对于一个普遍应用的参数模型，ARMAX是被选择的模型识别，其结构可表示如下

AzytBzutnkCzet,.mR.mR⒇

Az1a1z1...anazna,（21）

Bz1b1z1...bnbznb1,（22）

Cz1c1z1...cncznc,（23）

nk代表从输入ut到输出yt间的延迟，et是一个干扰变量。z是产生于转变操作

的结果，na,nb,nc分别是多项式Az,Bz,Cz的次数，为了选择这个模型的

q1utut1最优参数，我们使用预报误差法，其目的是去寻找最优的nk和多项式Az,Bz,Cz，这样预测误差E便是最小的，即

2Az,Bz,Cz,nkargminEoptt1N，（24）

Ey0tA1zBzutnkCzet，（25）

其中y0t代表输出变量的测量值。

Matlab系统识别工具箱被用来确定执行器动力学模型。图7、8和9显示就实际输入比较模型输出与测量输出之间的最佳参数。

.mR图7：x的识别模型

.mR图8：y的识别模型

图9：的识别模型

为配合机器人的连续模型，该识别模型用zero-order hold方法从一个离散变量转换到一个连续变量， .8.7948s58.47mxyR,s73.66s6.897c.mR（26） y.mRs28.45s2.4525s48.83s6.18526.837s25.97y.mRc（27） s1.667s45.3726.759s76.11c（28） 4.2执行器的影响 考虑执行器，其控制系统整体结构显示如图10， 图10：闭环控制系统包括执行器 .m.mVcXRc,yRc,c是机器人速度向量关于自身坐标系统的命令。由于执行器动力（2其中6）和（27）的两极具有负实部，因而这两个系统稳定。这意味着存在一个极短的时间t，.之后，真正的速度XmRc和Y.mRc.收敛于理想的XmRc和Y.mRc，此时输入u1,u2开始生效。因此，上述*路径跟踪法也能保证机器人跟踪预期路径，即使在时间t内的偏移距离xn与角误差R可能

增加。

在定位跟踪控制中，动力系统（28）增加了一个两极闭环系统，如图11，控制器参数决定在上述部分可能导致系统失去稳定性。

图11：机器人定位的闭环控制包括执行器的动态。

通过核心技术设置闭环系统的极点和零点的位置，我们得到在条件k10,k20.0515 满足下可以保证系统的稳定性，即使在执行器饱和的情况下。图12显示了一条在危急情况

k20.0515下开环系统的根轨迹，无论ka,k1是任何正值，所有系统的闭环极点均位于左半平

面。否则，当k20.0515时，根轨迹可以穿越虚轴，当ka0时闭环系统的极点可移动到右半平面。

图12：开环模型的根轨迹

5.实验

我们的机器人实验室有一半以上的RoboCup中型组机器人，以上讨论的控制算法将在这里被测试。全方位机器人的应用显示在图13。

图13：真正的全向机器人

一个分辨率为 780580的AVT Marlin F-046C彩色相机被装配了一个指向走向的双曲面镜，该双面曲镜安装在全向机器人的顶部，这样一个完整的环绕地图就被机器人捕获了。一个基于50赫兹输出信号的相机的自主定位算法描述如何得到机器人在某运行场地某时刻的位置。这个车轮能驱动三个60W的Maxon DC电机且车轮的最高速度是1.9m/s。三轮编码器用来测量车轮的实际速度，编码器通过三个PID控制器控制运转。

一个八字形路径可作为参考路径，其几何对称性和曲率的急剧变化给测试带来了挑战。一个被选择的八字形路径和一个规模变量s可表示为

xr1.8sin2s,yr1.2sins,（29）

机器人受控于沿着八字形路径以恒定速度vd1m/s，和我们的控制算法被选择的参数分别是k2.5,k14.15,k23。第一次实验所选路径的切线方向P是预期的机器人定位。图1

4，15，16和17告诉我们所提出控制方法控制机器人的中心R收敛于给定的路径和机器人定位跟踪一个可接受的理想的错误，此时执行机构的饱和度没有出现。为了检查在执行器饱和方面的影响，实验二选择了理想的机器人定位

2dP0.9cpvd,（30）

其中

cp是曲率路径在点P的曲率，其原因如图18，19，20和21告诉我们，机器人

的中心R收敛于给定的路径，即使当道路急转弯时车轮速度达到饱和状态。

图14：参考路径和机器人路径。

图15：距离误差。

图16：定位误差。

图17：真正的车轮速度。

图18：参考路径和机器人路径。

图19：距离误差。

图20：定位误差。

图21：真正的车轮速度。

6.结论

本文提出了一种全向机器人的新的运动控制方法。这种方法是基于逆输入输出线性化的机器人运动学模型，它完全分解了机器人平移和旋转。机器的平移受控于沿着参考路径行进，机器人的旋转受控于跟踪期望的定位。由于执行器的动态和饱和度极大地影响了机器人的性能，而避免这些影响的方法是控制器的设计时综合考虑这些方面的影响。根据Lyapunov稳定性理论，路径跟踪控制律的整体稳定性已经得到证实。根轨迹方法是用来分析和选择合适的控制器PD的参数，使得机器人的定位可以收敛到一个期望的方向甚至是当车轮速度饱和时。

在现实世界的实验中，机器人受控于沿着一个八字形曲线、以一个恒定的1m/s的平移

速度行进，并精确追踪改变定位。结果表明，所提出的控制方法在执行器的饱和与非饱和的情况下是有效的。

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