人教版初中数学二次函数全集汇编附答案

一、选择题

1．已知在平面直角坐标系中，有两个二次函数ymx3x9及

ynx2x6图象，将二次函数ymx3x9的图象按下列哪一种平移方式

平移后，会使得此两个函数图象的对称轴重叠（ ） A．向左平移2个单位长度 移10个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】

将二次函数解析式展开，结合二次函数的性质找出两二次函数的对称轴，二者做差后即可得出平移方向及距离． 【详解】

解：∵y＝m（x＋3）（x＋9）＝mx2＋12mx＋27m，y＝n（x－2）（x－6）＝nx2－8nx＋12n，

∴二次函数y＝m（x＋3）（x＋9）的对称轴为直线x＝－6，二次函数y＝n（x－2）（x－6）的对称轴为直线x＝4， ∵4－（－6）＝10，

∴将二次函数y＝m（x＋3）（x＋9）的图形向右平移10个单位长度，两图象的对称轴重叠． 故选：D． 【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据二次函数的性质找出两个二次函数的对称轴是解题的关键．

B．向右平移2个单位长度

C．向左平

D．向右平移10个单位长度

2．如图是函数yx22x3(0x4)的图象，直线l//x轴且过点(0,m)，将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线1下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（ ）

A．m1 【答案】C 【解析】 【分析】

B．m0 C．0m1 D．m1或m0

找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则M的范围可知. 【详解】

解：如图1所示，当t等于0时， ∵y(x1)4， ∴顶点坐标为(1,4)， 当x0时，y3， ∴A(0,3)， 当x4时，y5， ∴C(4,5)， ∴当m0时，

2D(4,5)，

∴此时最大值为0，最小值为5； 如图2所示，当m1时， 此时最小值为4，最大值为1． 综上所述：0m1， 故选：C．

【点睛】

此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5的m的值为解题关键．

3．二次函数y＝ax2bxc（a≠0）图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2ab22＝0；③当m≠1时，ab＞am2bm；④abc＞0；⑤若ax1bx1＝ax2bx2，

且x1≠x2，则x1x2＝2．其中正确的有（ ）

A．①②③ B．②④ C．②⑤ D．②③⑤

【答案】D 【解析】 【分析】

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【详解】

解：抛物线的开口向下，则a＜0； 抛物线的对称轴为x=1，则-

b=1，b=-2a 2a∴b>0，2a+b=0 ② 抛物线交y轴于正半轴，则c＞0；

由图像知x=1时 y=a+b+c是抛物线顶点的纵坐标，是最大值，当m≠1 y=am2bm+c不是顶点纵坐标，不是最大值 ∴ab＞am2bm（故③正确）

：b＞0，b+2a=0；（故②正确） 又由①②③得：abc＜0 （故①错误） 由图知：当x=-1时，y＜0；即a-b+c＜0，b＞a+c；（故④错误）

22222⑤若ax1bx1＝ax2bx2得ax1bx1-(ax2bx2)=ax1bx1-ax22-bx2=a(x12-x22)+b(x1-

x2)=a(x1+x2)（x1-x2）+b(x1-x2)= （x1-x2）[a(x1+x2)+b]= 0 ∵x1≠x2 ∴a(x1+x2)+b=0 ∴x1+x2=故选D．

考点：二次函数图像与系数的关系.

b2a=2 （故⑤正确） aa

4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，当y＞0时，x的取值范围是（ ）

A．﹣1＜x＜1 【答案】D 【解析】 【分析】

B．﹣3＜x＜﹣1 C．x＜1 D．﹣3＜x＜1

根据已知条件求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，即可得到答案. 【详解】

解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），对称轴为直线x＝﹣1， ∴抛物线与x轴的另一交点坐标是（﹣3，0）， ∴当y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1． 所以答案为：D． 【点睛】

此题考查抛物线的性质，利用对称轴及图象与x轴的一个交点即可求出抛物线与x轴的另一个交点坐标.

5．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，DCBC，DC4cm，BC6cm，

AD3cm ，动点P，Q同时从点B出发，点P以2cm/s的速度沿折线BAADDC运动到点C，点Q以1cm/s的速度沿BC运动到点C，设P，Q同时出发ts时，BPQ的面积为y cm，则y与t的函数图象大致是( )

2

A． B．

C． D．

【答案】B 【解析】 【分析】

分三种情况求出y与t的函数关系式. 当0≤t≤2.5时：P点由B到A；当2.5≤t≤4时，即P点在AD上时；当4≤t≤6时，即P点从D到C时.即可得出正确选项． 【详解】

解：作AE⊥BC于E，根据已知可得，

AB2=42+（6-3）2， 解得，AB=5cm． 下面分三种情况讨论:

当0≤t≤2.5时：P点由B到A，y144t2tt2,y是t的二次函数.最大面积= 5 cm2; 255当2.5≤t≤4时，即P点在AD上时，y=

1t42t, y是t的一次函数且最大值21448cm2; 21t122tt26t,y是t的二次函数 2y当4≤t≤6时，即P点从D到C时， 故符合y与t的函数图象是B． 故选：B． 【点睛】

此题考查了函数在几何图形中的运用.解答本题的关键在于分类讨论求出函数解析式，然后进行判断.

6．如图,二次函数yax2bxc的图象如图所示,则一次函数yaxc和反比例函数

yb在同平面直角坐标系中的图象大致是（ ） x

A． B． C． D．

【答案】D 【解析】 【分析】

直接利用二次函数图象经过的象限得出a，b，c的值取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．

【详解】

∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下， ∴a＜0，

∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点， ∴c=0，

∵二次函数y=ax2+bx+c的图象对称轴在y轴左侧， ∴a，b同号， ∴b＜0，

∴一次函数y=ax+c，图象经过第二、四象限， 反比例函数y=故选D． 【点睛】

此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键．

b图象分布在第二、四象限， x

7．二次函数yax2bxc(a,b,c为常数，且a0)中的x与y的部分对应值如表：

x ··· ··· 1 1 0 1 3 3 ··· ··· y 3 5 下列结论错误的是( ) A．ac0 的一个根；

C．当x1时，y的值随x值的增大而减小； D．当1xB．3是关于x的方程axb1xc023时，

ax2b1xc0.

【答案】C 【解析】 【分析】

根据函数中的x与y的部分对应值表，可以求得a、b、c的值 然后在根据函数解析式及其图象即可对各个选项做出判断． 【详解】

解：根据二次函数的x与y的部分对应值可知： 当x1时，y1，即abc1， 当x0时，y3，即c3， 当x1时，y5，即abc5，

abc1联立以上方程：c3，

abc5a1解得：b3，

c3∴yx3x3；

A、ac1330，故本选项正确；

B、方程axb1xc0可化为x22x30，

22将x3代入得：322339630，

∴3是关于x的方程axb1xc0的一个根,故本选项正确；

2C、yx23x3化为顶点式得：y(x)∵a10，则抛物线的开口向下，

32221， 433时，y的值随x值的增大而减小；当x时，y的值随x值的增大而增大；22故本选项错误；

∴当xD、不等式axb1xc0可化为x22x30，令yx22x3，

2由二次函数的图象可得：当y0时，1x故选：C． 【点睛】

3，故本选项正确；

本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式的关系，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．

8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，给出以下结论：①abc＜0；②3a+c＝0；③ax2+bx≤a+b；④若M（﹣0.5，y1）、N（2.5，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2．其中正确的是（ ）

A．①③④ 【答案】C 【解析】

B．①②3④ C．①②③ D．②③④

【分析】

根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】

解：①由图象可知：a＜0，c＞0， 由对称轴可知：∴b＞0，

∴abc＜0，故①正确； ②由对称轴可知：∴b＝﹣2a，

∵抛物线过点（3，0）， ∴0＝9a+3b+c， ∴9a﹣6a+c＝0， ∴3a+c＝0，故②正确；

③当x＝1时，y取最大值，y的最大值为a+b+c， 当x取全体实数时，ax2+bx+c≤a+b+c， 即ax2+bx≤a+b，故③正确；

④（﹣0.5，y1）关于对称轴x＝1的对称点为（2.5，y1）： ∴y1＝y2，故④错误； 故选：C． 【点睛】

本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．

b＞0， 2ab＝1， 2a

9．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ） A．原数与对应新数的差不可能等于零

B．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大 C．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30 D．当原数取50时，原数与对应新数的差最大 【答案】D 【解析】 【分析】

设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解． 【详解】

解：设原数为m，则新数为设新数与原数的差为y

12m ， 1001212mmm， 100100易得，当m＝0时，y＝0，则A错误

则ym∵10 100b1m﹣﹣50 时，y有最大值．则B错误，D正确． 2a当12﹣100当y＝21时，12mm＝21 100解得m1＝30，m2＝70，则C错误． 故答案选：D． 【点睛】

本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号．

10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：（1）4a+2b+c＜0；（2）方程ax2+bx+c＝0两根都大于零；（3）y随x的增大而增大；（4）一次函数y＝x+bc的图象一定不过第二象限．其中正确的个数是（ ）

A．1个 【答案】C 【解析】 【分析】

B．2个 C．3个 D．4个

由图可知，x=2时函数值小于0，故（1）正确，函数与x轴的交点为x=1.x=3，都大于0，故（2）正确 ，由图像知（3）错误，由图象开口向上，a＞0，与y轴交于正半轴，c＞0，对称轴x=﹣【详解】

①由x＝2时，y＝4a+2b+c，由图象知：y＝4a+2b+c＜0，故正确； ②方程ax2+bx+c＝0两根分别为1，3，都大于0，故正确； ③当x＜2时，由图象知：y随x的增大而减小，故错误； ④由图象开口向上，a＞0，与y轴交于正半轴，c＞0，x=﹣

＝1＞0，∴b＜0，

＝1，故b＜0，bc＜0，即可判断一次函数y＝x+bc的图象.

∴bc＜0，∴一次函数y＝x+bc的图象一定过第一、三、四象限，故正确； 故正确的共有3个，

故选：C． 【点睛】

此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知各系数所代表的含义.

11．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】C 【解析】

试题解析：A、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，对称轴x=﹣

b＜0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误． 2aB、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＜0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象应开口向下，故不合题意，图形错误．

C、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向下，对称轴x=﹣

b位于y轴的右侧，故符合题意， 2aD、对于直线y=bx+a来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2+bx来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误． 故选C．

考点：二次函数的图象；一次函数的图象．

12．四位同学在研究函数yx2bxc（b,c是常数）时，甲发现当x1时，函数有最小值；乙发现1是方程x2bxc0的一个根；丙发现函数的最小值为3；丁发现当

x2时，y4，已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ）

A．甲 【答案】B 【解析】 【分析】

B．乙

C．丙

D．丁

利用假设法逐一分析，分别求出二次函数的解析式，再判断与假设是否矛盾即可得出结论． 【详解】

解：A．假设甲同学的结论错误，则乙、丙、丁的结论都正确 由乙、丁同学的结论可得

01bc 442bc1b3解得：

2c312125∴二次函数的解析式为：yxxx

3363622∴当x=意；

125时，y的最小值为，与丙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题636B．假设乙同学的结论错误，则甲、丙、丁的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为yx13 当x=2时，解得y=4，当x=-1时，y=7≠0 ∴此时符合假设条件，故本选项符合题意；

C． 假设丙同学的结论错误，则甲、乙、丁的结论都正确 由甲乙的结论可得

2b1 201bc解得：b2

c32∴yx2x3

当x=2时，解得：y=-3，与丁的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意； D． 假设丁同学的结论错误，则甲、乙、丙的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为yx13

当x=-1时，解得y=7≠0，与乙的结论矛盾，故假设不成立，故本选项不符合题意． 故选B． 【点睛】

此题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式，利用假设法求出b、c的值是解决此题的关键．

2

13．若二次函数yax22axc的图象经过点（﹣1，0），则方程ax22axc0的解为（ ）

A．x13，x21 B．x11，x23 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】

∵二次函数yax2axc的图象经过点（﹣1，0），∴方程ax22axc0一定有

2一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数yax2axc的图象

2C．x11，x23 D．x13，x21

与x轴的另一个交点为：（3，0），∴方程ax22axc0的解为：x11，x23． 故选C．

考点：抛物线与x轴的交点．

14．已知二次函数y＝ax2+bx+c(a＞0)经过点M(﹣1，2)和点N(1，﹣2)，则下列说法错误的是( ) A．a+c＝0

B．无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点，且函数图象截x轴所得的线段长度必大于2 C．当函数在x＜

1时，y随x的增大而减小 102 aD．当﹣1＜m＜n＜0时，m+n＜【答案】C 【解析】 【分析】

根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可． 【详解】

解：∵函数经过点M(﹣1，2)和点N(1，﹣2)， ∴a﹣b+c＝2，a+b+c＝﹣2， ∴a+c＝0，b＝﹣2， ∴A正确； ∵c＝﹣a，b＝﹣2， ∴y＝ax2﹣2x﹣a， ∴△＝4+4a2＞0，

∴无论a为何值，函数图象与x轴必有两个交点， ∵x1+x2＝

2，x1x2＝﹣1， a∴|x1﹣x2|＝21∴B正确；

1＞2， 2a二次函数y＝ax2+bx+c(a＞0)的对称轴x＝﹣当a＞0时，不能判定x＜∴C错误；

∵﹣1＜m＜n＜0，a＞0， ∴m+n＜0，∴m+n＜

b1＝， 2aa1时，y随x的增大而减小； 102＞0， a2； a∴D正确， 故选：C． 【点睛】

本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．

15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过原点O，与x轴另一交点为A，顶点为B，若△AOB为等边三角形，则b的值为（ ）

A．﹣3 【答案】B 【解析】 【分析】

B．﹣23 C．﹣33 D．﹣43

bb2bb2根据已知求出B（﹣），由△AOB为等边三角形，得到＝tan60°×（﹣），,2a4a2a4a即可求解； 【详解】

解：抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过原点O， ∴c＝0，

bb2B（﹣）， ,2a4a∵△AOB为等边三角形，

bb2∴＝tan60°×（﹣），

2a4a∴b＝﹣23； 故选B． 【点睛】

本题考查二次函数图象及性质，等边三角形性质；能够将抛物线上点的关系转化为等边三角形的边关系是解题的关键．

16．抛物线y=–x2+bx+c上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表所示： x y … … –2 0 –1 4 0 6 1 6 2 4 … … 从上表可知，下列说法错误的是

A．抛物线与x轴的一个交点坐标为(–2，0) B．抛物线与y轴的交点坐标为(0，6) C．抛物线的对称轴是直线x=0 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】

解：当x=-2时，y=0， ∴抛物线过（-2，0），

∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（-2，0），故A正确； 当x=0时，y=6，

∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，6），故B正确； 当x=0和x=1时，y=6， ∴对称轴为x=当x＜

D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的

1，故C错误； 21时，y随x的增大而增大， 2∴抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故D正确； 故选C．

17．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③（ ）

12＜a＜；④b＞c．其中含所有正确结论的选项是

33

A．①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】

B．①③④ C．②③④ D．①②④

根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据对称性得到函数图象经过（3，0），则得②的判断；根据图象经过（-1，0）可得到a、b、c之间的关系，从而对④作判断；从图象与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-1）之间可以判断c的大小得出③的正误． 【详解】

①∵函数开口方向向上， ∴a＞0；

∵对称轴在y轴右侧 ∴ab异号，

∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0， 故①正确；

②∵图象与x轴交于点A（-1，0），对称轴为直线x=1， ∴图象与x轴的另一个交点为（3，0）， ∴当x=2时，y＜0， ∴4a+2b+c＜0， 故②错误；

③∵图象与y轴的交点B在（0，-2）和（0，-1）之间， ∴-2＜c＜-1

b1， 2a∴b=-2a，

∵-∵函数图象经过（-1，0）， ∴a-b+c=0， ∴c=-3a， ∴-2＜-3a＜-1，

∴

12＜a＜；故③正确 33④∵函数图象经过（-1，0）， ∴a-b+c=0， ∴b-c=a， ∵a＞0，

∴b-c＞0，即b＞c； 故④正确； 故选B． 【点睛】

主要考查图象与二次函数系数之间的关系．解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．

18．已知抛物线y=x2+2x上三点A（﹣5，y1），B（2.5，y2），C（12，y3），则y1，y2，y3满足的关系式为（ ）

A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2 【答案】C 【解析】 【分析】

首先求出抛物线y=x2+2x的对称轴，对称轴为直线x=-1；然后根据A、B、C的横坐标与对称轴的位置，接着利用抛物线的增减性质即可求解；由B离对称轴最近，A次之，C最远，则对应y的值大小可确定. 【详解】 ∵抛物线y=x2+2x， ∴x=-1，

而A（-5，y1），B（2.5，y2），C（12，y3）， ∴B离对称轴最近，A次之，C最远， ∴y2＜y1＜y3． 故选:C． 【点睛】

本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．

19．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于（-1，0），（3，0）两点，则下列说法：①abc＜0；②a-b+c=0；③2a+b=0；④2a+c＞0；⑤若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）为抛物线上三点，且-1＜x1＜x2＜1，x3＞3，则y2＜y1＜y3，其中正确的结论是（ ）

A．①⑤ B．②④ C．②③④ D．②③⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】

①abc＜0，由图象知c＜0，a、b异号，所以，①错误；②a-b+c=0，当x=-1时，y=a-b+c=0，正确；③2a+b=0，函数对称轴x=-

b=1，故正确；④2a+c＞0，由②、③知：2a3a+c=0，而-a＜0，∴2a+c＜0，故错误；⑤若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）为抛物线上三点，且-1＜x1＜x2＜1，x3＞3，则y2＜y1＜y3，把A、B、C坐标大致在图上标出，可知正确． 【详解】

解：①abc＜0，由图象知c＜0，a、b异号，所以，①错误； ②a-b+c=0，当x=-1时，y=a-b+c=0，正确； ③2a+b=0，函数对称轴x=-

b=1，故正确； 2a④2a+c＞0，由②、③知：3a+c=0，而-a＜0，∴2a+c＜0，故错误；

⑤若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）为抛物线上三点，且-1＜x1＜x2＜1，x3＞3，则y2＜y1＜y3，把A、B、C坐标大致在图上标出，可知正确； 故选D． 【点睛】

考查图象与二次函数系数之间的关系，要会求对称轴、x=±1等特殊点y的值．

20．在同一坐标系中，二次函数yax2bx与一次函数ybxa的图像可能是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】C 【解析】 【分析】

直线与抛物线联立解方程组，若有解，则图象有交点，若无解，则图象无交点； 根据二次函数的对称轴在y左侧，a，b同号，对称轴在y轴右侧a，b异号，以及当a大于0时开口向上，当a小于0时开口向下，来分析二次函数；同时在假定二次函数图象正确的前提下，根据一次函数的一次项系数为正，图象从左向右逐渐上升，一次项系数为负，图象从左向右逐渐下降；一次函数的常数项为正，交y轴于正半轴，常数项为负，交y轴于负半轴．如此分析下来，二次函数与一次函数无矛盾者为正确答案． 【详解】

yax2bx解：由方程组得ax2＝−a，

ybxa∵a≠0

∴x2＝−1，该方程无实数根，

故二次函数与一次函数图象无交点，排除B．

A：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b＞0，两者矛盾，故A错；

C：二次函数开口向上，说明a＞0，对称轴在y轴右侧，则b＜0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b＜0，两者相符，故C正确； D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错． 故选C． 【点睛】

本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与a的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置关系，并结合一次函数的相关性质进行

分析，本题中等难度偏上．