基本不等式应用练习题

一、选择题

1.若满足约束条件 ，则的最小值是 ( A ).

A. B. C. D.

解析：约束条件对应的可行域为内部(包括边界)，其中，，，∴.

[变式思考]设不等式组 表示的平面区域为，若指数函数的图象上存在区域上的点，则的取值范围是 ( A ).

A.(1，3] B.[2，3] C.(1，2] D.[ 3，]

解析：题中不等式组表示的平面区域是如图所示的向上的“开阔性”区域(包括边界)，由题意可知，指数函数的图象经过该区域. 可求得点的坐标为(2，9).当指数函数的图象经过点时，，根据指数函数的性质及“指数爆炸”的特性可知，当，其图象必经过该区域，故选A.

2.若，且，则下列不等式中，恒成立的是 ( D ).

A. B. C. D. 解析：选项A在时不成立，选项B、C在时不成立. 3.下列结论正确的是 ( B ).

A.当且时，； B.当时，；

C.当时，的最小值为2； D.当时，的最小值为2

解析：A选择项中可能为负，不适合基本不等式；C，D选择项中适合基本不等式，但取最小值等号取不到.只有B正确.

4.设，若是与的等比中项，则的最小值为 ( C ).

D. 解析：∵，∴，则，当且仅当即时取“＝”号，故选择C.

[变式思考]若正数满足，则的最小值是 ( C ).

A. B.

解析：∵，，∴，∴ ，当且仅当时取“＝”号.

5.已知，，成等差数列，成等比数列，则的最小值是 ( D )

A. B. C. D.

解析：∵，，成等差数列，成等比数列，∴，，则，当且仅当时取等号. 二、填空题

6.设，则的最小值为 9 .

解析：，当且仅当时取“＝”号.

7. 若对任意，，则实数的取值范围是 .

解析：因为，所以(当且仅当时取等号)，则，即的最大值为，故. [变式思考]已知，，则的最小值是 3 ．

解析：由得，代入得，，当且仅当 时取“＝”号． 8.在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于两点，则线段长的最小值是 4 .

解析：因为函数是奇函数，所以两点关于原点对称，可设，，则，当且仅当，即时取等号.

三、解答题

9.围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，如图所示. 已知旧墙的维

修费用为元/，新墙的造价为元/，设利用的旧墙的长度为(单位：)，修建此矩形场地围墙的总费用为(单位：元).

⑴将表示为的函数：

⑵试确定，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用. 考查目的：考查函数和不等式等基础知识，考查用基本不等式求最值和运用数学知识解决实际问题的能力.

答案：⑴；⑵时，元.

解析：⑴根据题意，旧墙的维修费用为元，建新墙的费用为元，所以. ⑵∵，∴，∴，当且仅当，即时，等号成立，此时取得最小值. 答：当时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是元. 10.已知直角中，周长为，面积为，求证：.

解析：设直角的两直角边长为，则斜边长为，面积，∴周长，∴，∴ ，即.

[变式思考]已知，，是等边的顶点，点分别在边上，且将的面积二等分，记的横坐标为，.

⑴写出的表达式；⑵求的最小值. 考查目的：考查余弦定理、函数的解析式、基本不等式等基础知识，以及运算求解能力. 答案：⑴；⑵当时，.

解析：⑴∵，又∵，解得，∴. ⑵∵，∴，时取等号.

基本不等式应用练习题

一、选择题

1.若满足约束条件 ，则的最小值是 ( ).

A. B. C. D.

[变式思考]设不等式组 表示的平面区域为，若指数函数的图象上存在区域上的点，则的取

值范围是 ( ). A.(1，3] B.[2，3] C.(1，2] D.[ 3，] 2.若，且，则下列不等式中，恒成立的是 ( ).

A. B. C. D. 3.下列结论正确的是 ( ).

A.当且时，； B.当时，；

C.当时，的最小值为2； D.当时，的最小值为2 4.设，若是与的等比中项，则的最小值为 ( ).

D. [变式思考]若正数满足，则的最小值是 ( ).

A. B.

5.已知，，成等差数列，成等比数列，则的最小值是 ( )

A. B. C. D.

二、填空题

6.设，则的最小值为 .

7. 若对任意，，则实数的取值范围是 . [变式思考]已知，，则的最小值是 ． 8.在平面直角坐标系中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于两点，则线段长的最小值是 .

三、解答题

9.围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，如图所示. 已知旧墙的维修费用为元/，新墙的造价为元/，设利用的旧墙的长度为(单位：)，修建此矩形场地围墙的总费用为(单位：元).

⑴将表示为的函数：

⑵试确定，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.

10.已知直角中，周长为，面积为，求证：.

[变式思考]已知，，是等边的顶点，点分别在边上，且将的面积二等分，记的横坐标为，.

⑴写出的表达式；⑵求的最小值.