新课标Ⅱ数学（理工类）
2017．5
第一部分（选择题 共分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知集合，，则（ ）． A． A．
B． B．
C． C．
D． D．
2．若为实数，且，则（ ）．
3．根据下面给出的年至年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论不正确的是（ ）．
A．逐年比较，年减少二氧化硫排放量的效果最显著． B．年我国治理二氧化硫排放显现成效． C．年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势． D．年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关． 4．等比数列满足，，则（ ）． A．
5．设函数，则（ ）．
A． B． C． D．
6．一个正方体被一个平面截取一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截取部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）．
A． B． C． D． 7．过三点，，的圆交于轴于、两点，则（ ）． A．
B．
C．
D．
8．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入，分别为，，则输出的（ ）．
A． B． A．
B． B．
C．
D．
C． C．
D． D．
9．已知，是球的球面上两点， ，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为（ ）．10．如图，长方形的边，，是的中点，点沿着边，与运动，．将动点到，两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为（ ）．
A B C D
11．已知，为双曲线的左，右顶点，点在上，为等腰三角形，且顶角为，则的离心率为（ ）． A． A．
第二部分（非选择题 共110分）
B． B．
C． C．
D． D．
12．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得的的取值范围是（ ）．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．设向量，不平行，向量与平行，则实数=________． 14．，满足约束条件则的最大值为__________．
15．的展开式中的奇数次幂项的系数之和为，则__________． 16．设是数列的前项和，且，，则_________．
三、解答题：解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17.（本小题满分12分）
中，是上的点，平分，的面积是面积的倍。 （Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求和的长.
18．（本小题满分12分）
某公司为了解用户对其产品的满意度，从两地区分别随机调查了个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A地区：，，，，，，，，， ，，，，， ，，，，
B地区：，，，，，，，，， ，，，，，，，，，
（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
满意度评分 满意度等级 低于分 不满意 分到分 满意 不低于分 非常满意 记事件 “地区用户的满意度等级高于地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据 所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求的概率。
19．（本小题满分12分）
如图，长方体中，点分别在上，，过点的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
20．（本小题满分12分）
已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点A，线段的中点为． （Ⅰ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
（Ⅱ）若过点,延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．
21．（本小题满分12分）
设函数．
（Ⅰ）证明：在单调递减，在单调递增； （Ⅱ）若对于任意，，都有，求的取值范围．
22． （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，为等腰三角形内一点，圆与的底边交于点，两点，与底边上的高交于点，且与、分别相切于、两点
（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）若等于圆的半径，，求四边形的面积．
23．（本小题满分10分）
选修：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线:（为参数，），其中，在以为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中，设曲线:，曲线:． （Ⅰ）求与交点的直角坐标；
（Ⅱ）若与相交于点，与相交于点，求的最大值．
24．（本小题满分10分） 选修4-5不等式选讲 设均为正数，且,证明： （Ⅰ）若,则；
（Ⅱ）是的充要条件．
2017年普通高等学校招生全国统一考试
新课标Ⅱ（理工类）
2017．6
一、选择题（满分60分）
1 2 题号 A B 答案 二、填空题（满分20分）
13． 15．
3 D 4 B 5 C 6 D 7 C 8 B 9 C 10 B 11 D 12 A 14． 16．
三、解答题（满分80分） 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由正弦定理得
因为是面积的倍，
所以， 由于平分， 所以 (Ⅱ)设,则, 由（Ⅰ）知， 所以 由所以 在中， 即 在中， 即 解得，故.
18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）所求茎叶图为：
由图可知地区满意度评分的平均值比地区的高，地区满意度评分分布比较集中，并且分数偏高. （Ⅱ）设地区三个等级：非常满意，满意，不满意分别为事件：,
地区三个等级：非常满意，满意，不满意分别为事件：,且事件与相互独立. 由已知得， , , , , , ,
所以满足事件得概率. 19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）如图：在上取,在上取, 连结即可.
（Ⅱ）如图，以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，．
，
设平面的法向量为， 则
得，取，得，
又，
设直线与平面所成角为， 则为所求．
20．（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：设,则
两式相减得 , 即
事实上，等式左边即直线的斜率与直线的斜率之积，因此原命题得证，且定值为. （Ⅱ）解：根据题意， 存在符合题意的平行四边形,设,则,于是 .
此时根据(Ⅰ)的结论，有 ， 整理得， 即，
由关于的两个方程解得 ，
于是直线的斜率为． 21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ），
在上恒成立，所以在上单调递增， 而，所以时，时
所以在上单调递减，在上单调递增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 当时，，此时在上的最大值是 所以此时成立， 当时，， ， ，
所以在上单调递增， 而，所以时，即 所以时，即， 当时，， 所以 当时， 可得
综上的取值范围是．
22．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）
连接, ,因为圆与,相切， 所以，， 所以,所以， 所以， 因为， 所以，
因为为等腰三角形，所以，， 所以 所以 所以．
（Ⅱ）设圆半径为，所以，， 在中， 解得
在中，，所以， ,为圆的切线，所以， ， 所以
所以，为等边三角形， 连接，则． 因为， 所以
在直角中，，
所以， 在直角中，， 所以四边形的面积． 23．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）由可得直角坐标方程为， 由可得直角坐标方程为， 联立可得与交点的直角坐标为或 （Ⅱ）设的方程为， 则与到直线的距离分别为，． ， 化简可得． 令，变形得到． 当存在时，需满足条件， 解得
根据，可知当时，由最大值，代入解得
的最大值为．
24．（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）为正数， ，
， 又， ， 即， .
(Ⅱ)
是的充要条件.
2017年普通高等学校招生全国统一考试新课标Ⅱ
数学（理科）选填解析
一、 选择题 1．【答案】A 【解析】，故． 2．【答案】B 【解析】，故且，有． 3．【答案】D
【解析】年的排放量比上个年份下降的最多，所以A正确．年开始，二氧化硫的排放量开始减少，所以B，C正确．D应为负相关． 4．【答案】B 【解析】，即，，解得． 故． 5．【答案】C 【解析】，，故． 6．【答案】D
【解析】由三视图知答案为． 7．【答案】C
【解析】由两点间距离公式可得，三点（分别记作、、）之间的距离为，，），则是直角三角形，其外接圆的圆心是斜边的中点，到轴的距离是，圆的半径是，故． 8．【答案】B 【解析】容易看出这个程序的目的是求和的最大公约数，是． 9．【答案】C
【解析】设到平面的距离为，球的半径为，则．若使三棱锥体积最大，则需要取到最大值，有，故．球的表面积为． 10．【答案】B
【解析】取特殊值，，，，，分析其变化趋势，可排除和两个选项．而时，易得，不是线性函数，排除掉． 11．【答案】D 【解析】设双曲线的方程为，不妨设点在第一象限，则．由几何关系可以得到点的坐标为，代入双曲线方程可解得． 12．【答案】A
【解析】解法一：构造函数，则是偶函数，且．
因为当时，， 故当时，，所以在单调递减；
又为偶函数，所以在单调递增，且． 当时，，则；当时，，则，
综上所述，使得成立的的取值范围是，故选A．
解法二：构造特殊函数，由已知，可设． 所以使得成立的的取值范围是，故选A．
二、 填空题 13．【答案】
【解析】有向量平行的条件知，． 14．【答案】
【解析】可行域的三个顶点的坐标分别为，和，分别代入可得最大值为．
15．【答案】
【解析】设展开式中的奇数次幂项的系数之和为，偶数次幂项的系数之和为，令得，再令得，故． 16．【答案】 【解析】，故，又，故，．
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