【2013备考】各地名校试题解析分类汇编(一)理科数学：10排列、统计与概率

1.【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】某教师一天上3个班级的课，每班一节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课（第5和第6节不算连上），那么这位教师一天的课的所有排法有（ ） A．474种 【答案】A

【解析】首先求得不受限制时，从9节课中任意安排3节，有A9504种排法，其中上午连排3节的有

333A318种，下午连排3节的有2A312种，则这位教师一天的课表的所有排法有504-18-12=474种，故

3B．77种 C．462种 D．79种

选A．

2.【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】(x)展开式中常数项为 【答案】4

【解析】展开式的通项为Tk1C4(x)为T4(1)C44。

3.【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试理】将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，

每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为 。 【答案】30

【解析】四名学生两名分到一组有C4种，3个元素进行全排列有A3种，甲乙两人分到一个班有A3种，所以有C4A3A336630.

4.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】某学习小组共12人，其中有五名是“三好学生”，现从该

514C+C75C7的是小组中任选5人参加竞赛，用表示这5人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于（ ）

5C1231x4k34k1k124k()k(1)kC4x，由124k0，得k3，所以常数项x33233233

A.P1

B.P1

C.P1

D.P2

【答案】B

4C1C55C7P(0)575145P1C12CCC75C7，选B. 12【解析】,,所以P(0)P(1)55C12C125.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】在(1x)5(1x)6的展开式中，含x3的项的系数是 【答案】-30

- 1 -

【解析】(1x)5的展开式的通项为C5(1)x，(1x)6的展开式的通项为C6(1)x，所以x3项为

3C5(1)3x3C63(1)3x330x3，所以x3的系数为30.

kkkkkk6.【云南省昆明一中2013届高三新课程第一次摸底测试理】在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立

指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病倒数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是

①平均数x3；②标准差S2；③平均数x3且标准差S2； ④平均数x3且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于1。 A．①②

B．③④

C．③④⑤

D．④⑤

【答案】D

【解析】①②③错，④对，若极差等于0或1，在x3的条件下显然符号指标，若极差等于2，则有下列可能，（1）0,1,2，（2）1,2,3，（3）2,3,4，（4）3，4，5，（5）4，5，6. 在x3的条件下，只有（1）（2）（3）成立，符合标准。⑤正确，若众数等于1且极差小于等于4，则最大数不超过5，符合指标，故选D. 7.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】在区间[－6，6]，内任取一个元素xO ，若抛物线y=x在x=xo处的切线的倾角为，则【答案】23,的概率为 。 4411 121111π3π【解析】当α∈，时，斜率k≥1或k≤1，又 y2x，所以x0≥或x0≤，所以P=.

2122448.【云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理】（本小题满分12分）

某校从6名学生会干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加市中学生运动会志愿者。 （Ⅰ）所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望。 （Ⅱ）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率

321C4C4C231【答案】解：（I）ξ得可能取值为 0,1,2；由题意P(ξ=0)=3, P(ξ=1)=, P(ξ3C65C6512C4C21=2)= „„„„3分 3C65∴ξ的分布列、期望分别为： ξ

0 1 - 2 -

2 Eξ=0×

p 1 53 51 5131+1×+2 ×=1 „„„„6分 555（II）设在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的事件为C

2 男生甲被选中的种数为C510,男生甲被选中，女生乙也被选中的 1 种数为C44

1C442 ∴P(C)=2 „„„„11分

C5105 在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为

2 „„12分 59.【云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷（三）理科】（本小题满分12分）

某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在A区投篮2次或选择在B区投篮3次，

在A区每进一球得2分，不进球得0分；在B区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出．已知某参赛选手在A区和B区每次投篮进球的概率分别是

91和． 103 （Ⅰ）如果以投篮得分的期望值高作为选择的标准，问该选手应该选择哪个区投篮？请说明理由； （Ⅱ）求该选手在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率．

999故E(X)2， 【答案】解：（Ⅰ）设该选手在A区投篮的进球数为X，则X~B2，，101059则该选手在A区投篮得分的期望为23.6.„„„„„„„„„„„„„„„（3分）

511故E(Y)31， 设该选手在B区投篮的进球数为Y，则Y~B3，，33则该选手在B区投篮得分的期望为313.

所以该选手应该选择A区投篮.„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（6分）

（Ⅱ）设“该选手在A区投篮得分高于在B区投篮得分”为事件C，“该选手在A区投篮得4分且在B区投篮得3分或0分”为事件D，“该选手在A区投篮得2分且在B区投篮得0分”为事件E，则事件CDE，且事件D与事件E互斥. „„„„（7分） P(D)81483， „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（9分） 1009275P(E)1884， „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（11分） 1002775- 3 -

P(C)P(DE)3449， 57575故该选手在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率为

49. „„„„„„„„（12分） 7510.【云南省玉溪一中2013届高三第三次月考 理】（本小题满分12分）一个口袋中有2个白球和n个红球（n2，且nN*），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖。

（1）试用含n的代数式表示一次摸球中奖的概率P； （2）若n3，求三次摸球恰有一次中奖的概率；

（3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为f(p)，当n为何值时，f(p)取最大值。

【答案】解：（1）一次摸球从n2个球中任选两个，有Cn22种选法，其中两球颜色相同有Cn2C22种选法；

22CnC2n2n22一次摸球中奖的概率P............ 4分 2Cnn3n22（2）若n3，则一次摸球中奖的概率是P12率是P3(1)C3P(1P)2，三次摸球是独立重复实验，三次摸球中恰有一次中奖的概554 ................ 8分 125（3）设一次摸球中奖的概率是p，则三次摸球中恰有一次中奖的概率是

1f(p)C3p(1p)23p36p23p，0p1，

f'(p)9p212p33p13p1

11f(p)在0,是增函数，在,1是减函数，

33当p1时，f(p)取最大值 ................10分 3n2n21（n2,nN)， p2

n3n23n2，故n2时，三次摸球中恰有一次中奖的概率最大。.............. 12分

11.【云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理】（本题12分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；

（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；

（3）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ.

12

【答案】解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这

33

- 4 -

i1i24－i4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i＝0,1,2,3,4)，则P(Ai)＝C4.

33

821222

（1）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率P(A2)＝C4＝.

3327

（2）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3∪A4， 由于A3与A4互斥，故

344

P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C34＋C4＝.

3339

1211

1

所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.

9（3）ξ的所有可能取值为0,2,4. 由于A1与A3互斥，A0与A4互斥，故

P(ξ＝0)＝P(A2)＝， P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝， P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝. 所以ξ的分布列是 ξ 0 8 272 40 814 17 8117814081

827

P 84017148

随机变量ξ的数学期望Eξ＝0×＋2×＋4×＝

27818181

12.【天津市天津一中2013届高三上学期一月考 理】甲,乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立,已知前2局中,甲,乙各胜1局.

(1)求甲获得这次比赛胜利的概率;

(2)设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数,求ξ的分布列及数学期望.

【答案】解:(1)若甲胜,那么以后的情况有两种.一是后两局甲全胜,一是后三局甲胜两局.甲全胜的概率是0.6*0.6=0.36.后三局甲胜两局有二种情况,则概率是2*0.6*0.6*0.4=0.288. 所以甲获胜的概率是0.36+0.288=0.648.

(2)设进行的局数为ξ,则ξ的可取值为2,3, p(ξ= 2)= 0.6*0.6+0.4*0.4=0.52,

p(ξ= 3)= 2*0.6*0.6*0.4+2*0.4*0.4*0.6=0.48. Eξ=2*0.52+3*0.48=2.48

13.【天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科】(本小题满分13分)口袋中有大小、质地均相同的9个

- 5 -

球，4个红球，5个黑球，现在从中任取4个球。 (1)求取出的球颜色相同的概率；

(2)若取出的红球数设为，求随机变量的分布列和数学期望。 【答案】

14.【山东省济南外国语学校2013届高三上学期期中考试 理科】（本小题满分12分） 以下茎叶图记录了 甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。

（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数；

（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望.

【答案】解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，

所以平均数为x8891035;……………………………………….4分

44（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=同理可得P(Y18)21. 1681111;P(Y19);P(Y20);P(Y21). 4448所以随机变量Y的分布列为：

Y

17 18 19 - 6 -

20 21 P 1 81 41 41 41 8EY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）=17×

11111+18×+19×+20×+21×=19…………………………………….12分 84448 - 7 -