一 题 号 1－8 得 分 评卷人 复查人 9－14 15 16 17 18 二 三 总分 一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．已知x、y、z都是实数，且x+y+z=1，则m=xy+yz+zx（ ） A．只有最大值 B．只有最小值
C．既有最大值又有最小值 D．既无最大值又无最小值
2．如图，在矩形ABCD中，对角线长2，且∠1=∠2=∠3=∠4，则四边形EFGH的周长为（ ） A．2
B．4
C．4
D．6
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3．设直线kx+（k+1）y=1（k≥1且为正整数）与两坐标轴围成的三角形的面积为S（，kk=1，2，…，2011）则S1+S2+…+S2011=（ ） A． B． C． D．
4．（x+a）（x+b）+（x+b）（x+c）+（x+c）（x+a）是完全平方式，则a，b，c的关系可以写成（ ） A．a＜b＜c B．（a﹣b）2+（b﹣c）2=0 C．c＜a＜b D．a=b≠c
5．实数a、b、m、n满足a＜b，﹣1＜n＜m，若，，则M与N的大小关系是（ ） A．M＞N B．M=N C．M＜N D．无法确定的
6．一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，被分割成了5个部分．①，②，③这三块的面积比依次为1：4：41，那么，④，⑤这两块的面积比是（ ）
A．3：4 B．9：14
C．4：5 D．9：16
7．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10%或20%，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r，则r的最小值为（ ） A． B． C． D．
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8．书架上有a本经济类书，7本数学书，b本小说，5本电脑游戏类书．现某人随意从架子上抽取一本书，若得知取到经济类或者数学书的机会为，则a，b的关系为（ ） A．a=b﹣2 B．a=b+12 C．a+b=10 D．a+b=12 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9．数学小组中男孩子数大于小组总人数的40%小于50%，则这个数学小组的成员至少有人．
10．若二次函数y=ax2+bx，存在不同实数x1，x2且x1﹣x2≠2使得f（x1﹣1）=f（x2﹣1），则f（x1+x2）=． 11．已知一次函数f（x）=ax+b经过点（10，13），它在x轴上的截距是一个质数，在y轴上的截距是一个正整数，则函数的个数有个．
12．如果函数f（x）满足两个恒等式：f（﹣x）+f（x）=0，f（x+2）+f（x）=0，又知当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）=．
13．如图，△ABC与△CDE均是等边三角形，若∠AEB=145°，则∠DBE的度数是．
14．方程x+（）=45的四个实数根中，最小的一个是．
三、解答题(共4题，分值依次为12分、12分、13分和13分，满分50分)
15．已知a、b为整数，若一元二次方程x2﹣axa﹣b+（2a﹣b﹣1）x+a2+a﹣b﹣4=0的根都是整数，求a、b的值．
16．已知A（x1、y1），B（x2，y2）是直线y=﹣x+2与双曲线（k≠0）的两个不同交点． （1）求k的取值范围；
（2）是否存在这样k的值，使得？若存在，求出这样的k值；若不存在，请说明理由． 17．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；
（2）如图2，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线与其延长线相交于E、F，则∠EAF=°；在△AEF中，如果有一个角是另一个角的3倍，试求∠ABO的度数．
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18．如图，△ABC是边长为1的等边三角形，P是AB边上的一个动点（P与B不重合），以线段CP为边作等边△CPD（D、A在BC的同侧），连接AD． （1）判断四边形ABCD的形状，并给予证明；
（2）设BP=x，△PAD的面积为y，求出y关于x的函数关系式，并求出△PAD面积的最大值与取得最大值时x的值．
参考答案
一．选择题（共8小题）
1． [分析]先用配方法化成m=[（x+y+z）2﹣（x2+y2+z2）]=[（x+y+z）2﹣1]的形式，即可得出最小值，再根据x+y≥2xy，y+z≥2yz，x+z≥2xz，三式相加可得最大值． 解：∵（x+y+z）=x+y+z+2xy+2yz+2xz，
∴m=[（x+y+z）﹣（x+y+z）]=[（x+y+z）﹣1]≥﹣， 即m有最小值，
而x2+y2≥2xy，y2+z2≥2yz，x2+z2≥2xz， 三式相加得：2（x2+y2+z2）≥2（xy+yz+xz）， ∴m≤x2+y2+z2=1，即m有最大值1． 应选C．
2．[分析]由∠1=∠2=∠3=∠4可得出∠GHE=∠GFE，∠HGF=∠HEF，从而可得出∠GHE+∠HGF=180°，∠GHE+∠HEF=180°，这样即可得出HG∥EF，GF∥HE，HGFE是平行四边形，连接AC、BD，则有：=，=，从而可得+=+=1，即GF+HG=AC=2，根据平行四边形的性质可得出四边形EFGH的周长． 解：∵∠1=∠2=∠3=∠4，
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∴∠GHE=∠GFE，∠HGF=∠HEF，
在四边形GHEF中，∠GHE+∠HGF=180°，∠GHE+∠HEF=180°， 故可得HG∥EF，GF∥HE，HGFE是平行四边形，
∴△AHG≌△CFE，△DGF≌△BEH，△BEH∽△CEF，△DGF∽△CEF， ∴==， ∴EF∥BD， 同理HG∥BD， ∴=，=， ∴+=+=1， 又∵+=+，AC=BD， 即GF+HG=AC=2，
∴四边形EFGH的周长=2（GF+HG）=4． 应选B．
3．[分析]求出当x=0时，y=，当y=0时，x=，根据三角形面积公式求出Sk，求出S1=×（1﹣），S2=×（﹣），以此类推S2011=×（﹣），相加后得到×（1﹣），求出即可． 解：当x=0时，y=， 当y=0时，x=， ∴Sk=××，
∴S1=×1×=×（1﹣）， S2=××=×（﹣）， S3=（﹣）， …
S2011=×（﹣），
∴S1+S2+S3+…+S2011=×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）， =×（1﹣）=， 应选D．
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4．[分析]先把原式展开，合并，由于它是完全平方式，故有3x+2（a+b+c）x+（ab+bc+ac）=[x+（a+b+c）]，化简有ab+bc+ac=a+b+c，那么就有（a﹣b）+（b﹣c）+（c﹣a）=0，三个非负数的和等于0，则每一个非负数等于0，故可求a=b=c．应选答案B． 解：原式=3x2+2（a+b+c）x+（ab+bc+ac），
∵（x+a）（x+b）+（x+b）（x+c）+（x+c）（x+a）是完全平方式， ∴3x2+2（a+b+c）x+（ab+bc+ac）=[x+（a+b+c）]2， ∴ab+bc+ac=（a+b+c）=（a+b+c+2ab+2ac+2bc）， ∴ab+bc+ac=a2+b2+c2，
∴2（ab+bc+ac）=2（a+b+c）， 即（a﹣b）+（b﹣c）+（c﹣a）=0， ∴a﹣b=0，b﹣c=0，c﹣a=0， ∴a=b=c． 应选B．
5． [分析]首先将M，N变形，即可得M﹣N=（b﹣a），继而求得答案． 解：∵=a+b，=a+b， ∴M﹣N=（﹣）a+（﹣）b =a+b =（b﹣a）， ∵a＜b，﹣1＜n＜m，
∴m﹣n＞0，1+m＞0，1+n＞0，b﹣a＞0， ∴M﹣N＞0，∴M＞N． 应选A．
6．[分析]根据①和②的面积比，可以求出KB和HK的比值，根据②面积和③面积求出HK和BD的比值．即可求出④，⑤的面积，计算面积的比值即可．
解：①和②的面积比为1：4，故边长比即KB：KH=1：2，设BK=x，则HK=2x，
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根据①和③的面积等于1：41，故EH==7x， 故⑤的面积为7x×（7x﹣3x）=28x， ④的面积为×（7x﹣x）×（7x﹣x）=18x， 故④和⑤的面积比为18：28=9：14． 应选B．
7．[分析]根据题意可得n天后每种商品的价格可表示为a（1﹣10%）k（1﹣20%）n﹣k=a，由此可得出5种商品的价格，从而可得出r的最小值．
解：设5种商品降价前的价格为a，过了n天．n天后每种商品的价格一定可以表示为 a（1﹣10%）k（1﹣20%）n﹣k=a，其中k为自然数，且0≤k≤n． 要使r的值最小，五种商品的价格应该分别为：①a，②a， ③a，④a，⑤a，其中i为不超过n的自然数． 所以r的最小值为=． 应选B．
8．[分析]由取到经济类或者数学书的机会为，可知经济类和数学书的本数占全部的，列出代数式即可求出ab的关系．
解：由已知可得a+7=，解得a+2=b，即a=b﹣2．应选A． 二．填空题（共6小题）
9．[分析]设这个数学小组的成员共有b人，男孩为a人，根据题意列出不等式组即可求解． 解：设这个数学小组的成员共有b人，男孩为a人，a，b均为自然数， 且，
即：2b＜5a且2a＜b，于是： 2b≤5a﹣1且2a＜b﹣1， 则有：，
所以4b+2≤5b﹣5， 解得：b≥7，
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∴b的最小值为7． 故答案为：7．
10．[分析]根据二次函数的定义，把（x1﹣1），（x2﹣1），（x1+x2）看成一项，然后根据f（x1﹣1）=f（x2﹣1）求出（x1+x2）的值，代入二次函数即可得出答案． 解：由f（x1﹣1）=f（x2﹣1），
得a（x1﹣1）2+b（x1﹣1）=a（x2﹣1）2+b（x2﹣1）， 即（x1﹣x2）[a（x1+x2﹣2）]+b=0， ∵x1≠x2⇒x1﹣x2≠0， ∴， 故
．
11．[分析]设与x轴交点为（p，0），与y轴交点为（0，q），把点（10，13）代入y=ax+b，得10a+b=13；把（p，0），（0，q）也代入y=ax+b，得b=q，a=﹣．所以13p=﹣10q+pq，则q=，p是质数，q是正整数，再利用整除的性质讨论即可．
解：设于x轴交点为（p，0），与y轴交点为（0，q）， 把点（10，13）代入y=ax+b，得10a+b=13；
把（p，0），（0，q）也代入y=ax+b，得b=q，a=﹣． 所以13p=﹣10q+pq，
则q=，p是质数，q是正整数，
当p﹣10=1时，p=11，q=143，符合题意；
当p﹣10=13时，p=23，q=23，符合题意；当p﹣10=p时，无解． 所以满足条件的所有一次函数的个数为2个． 故答案为2．
12．[分析]根据f（﹣x）+f（x）=0，f（x+2）+f（x）=0可将f（7.5）=变形为﹣f（0.5），再由当0≤x≤1时，f（x）=x可得出答案．
解：∵f（x+2）=﹣f（x），以与f（﹣x）=﹣f（x），
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∴f（7.5）=﹣f（5.5）=f（3.5）=﹣f（1.5）=f（﹣0.5）=﹣f（0.5）=﹣． 故答案为：﹣．
13．[分析]首先根据边角边定理证明△ACE≌△BCD，再根据三角形全等的性质可得到∠AEC=∠BDC=60°+∠3，最后根据三角形的内角和定理，角间的关系可得∠AEB的度数． 解：如右图
∵等边△ABC和等边△DCE∴∠ACB=∠DCE=∠ABC=∠ECD=60° 在△ACE与△BCD中
∵∠ACB=∠ECD⇒∠ACB﹣∠ECB=∠ECD﹣∠ECB⇒AC=BC∠1=∠2 EC=DC⇒△ACE≌△BCD ∴∠AEC=∠BDC=60°+∠3
∴∠AEB=360°﹣∠AEC﹣∠CED﹣∠BED 则360°﹣∠AEC﹣∠CED﹣∠BED=145°， 360°﹣（60°+∠3）﹣60°﹣∠BED=145°， 360°﹣120°﹣（∠3+∠BED）=145°， 360°﹣120°﹣（180°﹣∠EBD）=145°， 解得，∠EDB=85°．
14． [分析]先求出原方程的四个实数根，再取其最小的一个值即可．由于方程的左边是平方和的形式，可以添项后配成完全平方式，再将看作一个整体，运用十字相乘法求出它的值，进而得出未知数x的值．注意解此方程需要检验．
解：添项，得x2﹣2•x•++2•x•=45， （x﹣）+4•=45， 所以（）2+4•﹣45=0， （+9）（﹣5）=0， +9=0或﹣5=0．
当+9=0时，得x2+9x+18=0，所以x1=﹣3，x2=﹣6； ﹣5=0时，得x2﹣5x﹣10=0，所以x3=，x4=． 经检验，x1=﹣3，x2=﹣6，x3=，x4=都是原方程的根． ∵﹣6＜﹣3＜＜，
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∴四个实数根中，最小的一个是﹣6． 故答案为﹣6．
三．解答题（共4小题） 15．[分析]因为方程x﹣ax
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a﹣b
+（2a﹣b﹣1）x+a+a﹣b﹣4=0为一元二次方程，且两根和a，b均为整数，
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根据根与系数的关系和一元二次方程的定义分情况讨论分别求解a，b值，即可得出答案． 解：根据题目分三种情况讨论： ①当a﹣b=2即b=a﹣2时，
原方程可化为：（1﹣a）x2+（a+1）x+（a2﹣2）=0， 设方程两根为：x1，x2，则：x1+x2=，x1x2=， ∵x1，x2为整数， ∴x1+x2=，x1x2=均为整数， 可得：或者；
②当a﹣b=1即b=a﹣1时， 原方程可化为：x+a﹣3=0， 当：x1，x2，a，b为整数时，无解； ③当a﹣b=0即a=b时，
原方程可化为：x+（a﹣1）x+a﹣a﹣4=0， △=（a﹣1）2﹣4（a2﹣a﹣4）=﹣3a2+2a+17≥0， 解得﹣≤a≤+，
∵a、b为整数，根是整数，
∴a=﹣2，b=﹣2；a=1，b=1；a=2，b=2．
16． [分析]（1）直线y=﹣x+2与双曲线（k≠0）联立，用△＞0即可求出k的取值范围． （2）假设存在k，然后根据求出k，验证是否符合题意即可．
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解：（1）∵直线y=﹣x+2与双曲线（k≠0）的两个不同交点，﹣x+2=， 即：x﹣2x+k=0， ∴△=4﹣4k＞0， 解得：k＜1且k≠0； （2）假设存在k，使， ∴x1x2﹣2（x1+x2）+4==，
∵x1，x2是方程x﹣2x+k=0的两根， ∴x1+x2=2，x1x2=k， ∴k﹣4+4=， 解得：k=﹣1±， 又k＜1且k≠0， ∴k=﹣1﹣．
故存在k=﹣1﹣使得成立．
17．[分析]（1）根据直线MN与直线PQ垂直相交于O可知∠AOB=90°，再由AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线得出∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO，由三角形内角和定理即可得出结论；
（2）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF中，由一个角是另一个角的3倍分四种情况进行分类讨论．
解：（1）∠AEB的大小不变， ∵直线MN与直线PQ垂直相交于O， ∴∠AOB=90°， ∴∠OAB+∠OBA=90°，
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线， ∴∠BAE=∠OAB，∠ABE=∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE=（∠OAB+∠ABO）=×90°=45°， ∴∠AEB=135°；
（2）∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线，
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∴∠EAO=∠BAO，∠FAO=∠GAO，
∴∠EAF=（∠BAO+∠GAO）=×180°=90°． 故答案为：90；
∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E， ∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，
∴∠E=∠EOQ﹣∠EAO=（∠BOQ﹣∠BAO）=∠ABO， 即∠ABO=2∠E，
在△AEF中，∵有一个角是另一个角的3倍，故分四种情况讨论： ①∠EAF=3∠E，∠E=30°，则∠ABO=60°； ②∠EAF=3∠F，∠E=60°，∠ABO=120°（舍去）； ③∠F=3∠E，∠E=22.5°，∠ABO=45°；
④∠E=3∠F，∠E=67.5°，∠ABO=135°（舍去）． ∴∠ABO为60°或45°．
18．[分析]（1）①当点P不与点A重合时，②当点P与点A重合时，分别证明即可；
（2）由（1）知∠BAD=120°，AD=BP=x，过P作DA延长线的垂线PM，M为垂足，则∠PAM=60°，∠APM=30°，表示出△PAD面积然后根据配方法即可得出答案． 解：（1）四边形ABCD是梯形或菱形，证明如下： ①当点P不与点A重合时，
∵△ABC与△CPD都是等边三角形，∴∠ACB=∠DCP=60°，∴∠1=∠2， 又∵AC=BC，DC=PC，∴△ADC≌△BPC，∴∠DAC=∠B=∠BCA=60°，∴AD∥BC．
又∵∠1=∠2＜60°，∴∠DCB＜120°，即∠B+∠DCB＜180°，∴DC与AB不平行，∴四边形ABCD是梯形； ②当点P与点A重合时，PC与AC重合，此时AB=BC=CA=AD=DC，四边形ABCD是菱形， 综上所述，四边形ABCD是梯形或菱形；
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（2）由（1）知∠BAD=120°，AD=BP=x，过P作DA延长线的垂线PM，M为垂足， 则∠PAM=60°，∠APM=30°， 又BP=x，AB=1， ∴AP=1﹣x， ∴AM=，PM= ∴
（0＜x＜1）．
当时，y取最大值为，即当时△PAD面积取得最大面积为．
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