2018年06月11日青冈一中的高中数学组卷
一．解答题（共14小题）
1．等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm=63，求m．
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．
（1）若a3+b3=5，求{bn}的通项公式；
（2）若T3=21，求S3．
3．在数列中{an}中，a1=2，a4=9，{bn}是等比数列，且bn=an﹣1
（1）求{an}的通项公式；
（2）求{an}的前n项和．
4．在等差数列{an}（n∈N*）中，已知a1=2，a5=6．
（1）求{an}的公差d及通项an
第1页（共21页）
（2）记bn=2（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Sn
5．已知{an}是等比数列，a1=2，且a1，a3+1，a4成等差数列．
（I）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=log2an，求数列{bn}的前n项和Sn．
6．已知数列{an}中，a10=17，其前n项和Sn满足Sn=n2+cn+2．
（1）求实数c的值；
（2）求数列{an}的通项公式．
7．已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{bn}的前n项和Sn．
8．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，an＞0（n∈N*），S6+a6是S4+a4，S5+a5的等差中项．
（1）求数列{an}的通项公式；
第2页（共21页）
（2）设，数列的前n项和为Tn，求Tn．
9．已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=anlogan，Sn=b1+b2+b3+…+bn，对任意正整数n，Sn+（n+m）an+1
＜0恒成立，试求m的取值范围．
10．已知等比数列{an}与等差数列{bn}，a1=b1=1，a1≠a2，a1，a2，b3成等差数列，b1，a2，b4成等比数列．
（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设Sn，Tn分别是数列{an}，{bn}，的前n项和，若Sn+Tn＞100，求n的最小值．
11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a5+a6=24，S11=143，数列{bn}的前n项和为Tn，满足
．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式及数列的前n项和；
（Ⅱ）判断数列{bn}是否为等比数列？并说明理由．
第3页（共21页）
12．已知等差数列{an}的前三项为a﹣1，4，2a，记前n项和为Sn．
（Ⅰ）设Sk=2550，求a和k的值；
（Ⅱ）设bn=，求b3+b7+b11+…+b4n﹣1的值．
13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3+S4=S5．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列{bn}的前2n项和T2n．
14．已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an+2n+1．
（Ⅰ）证明数列{}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{}的前n项和．
第4页（共21页）
2018年06月11日青冈一中的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一．解答题（共14小题）
1．等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm=63，求m．
【解答】解：（1）∵等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3．
∴1×q4=4×（1×q2），
解得q=±2，
当q=2时，an=2n﹣1，
当q=﹣2时，an=（﹣2）n﹣1，
∴{an}的通项公式为，an=2n﹣1，或an=（﹣2）n﹣1．
第5页（共21页）
（2）记Sn为{an}的前n项和．
当a1=1，q=﹣2时，Sn===，
由Sm=63，得Sm==63，m∈N，无解；
当a1=1，q=2时，Sn===2n﹣1，
由Sm=63，得Sm=2m﹣1=63，m∈N，
解得m=6．
2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．
（1）若a3+b3=5，求{bn}的通项公式；
（2）若T3=21，求S3．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2，a3+b3=5，
可得﹣1+d+q=2，﹣1+2d+q2=5，
第6页（共21页）
解得d=1，q=2或d=3，q=0（舍去），
则{bn}的通项公式为bn=2n﹣1，n∈N*；
（2）b1=1，T3=21，
可得1+q+q2=21，
解得q=4或﹣5，
当q=4时，b2=4，a2=2﹣4=﹣2，
d=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，S3=﹣1﹣2﹣3=﹣6；
当q=﹣5时，b2=﹣5，a2=2﹣（﹣5）=7，
d=7﹣（﹣1）=8，S3=﹣1+7+15=21．
3．在数列中{an}中，a1=2，a4=9，{bn}是等比数列，且bn=an﹣1
（1）求{an}的通项公式；
（2）求{an}的前n项和．
【解答】解：（1）在数列中{an}中，a1=2，a4=9，{bn}是等比数列，且bn=an﹣1，
第7页（共21页）
设公比为q，则b1=a1﹣1=1，b4=a4﹣1=8，
则q3==8，解得q=2，
则bn=b1qn﹣1=2n﹣1，
an=bn+1=1+2n﹣1；
（2）{an}的前n项和为（1+1+…+1）+（1+2+…+2n﹣1）
=n+=2n﹣1+n．
4．在等差数列{an}（n∈N*）中，已知a1=2，a5=6．
（1）求{an}的公差d及通项an
（2）记bn=2（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Sn
【解答】解：（1）a1=2，a5=6，
可得2+4d=6，解得d=1，
an=2+n﹣1=n+1；
（2）bn=2
=2n+1，
第8页（共21页）
可得数列{bn}为首项为4，公比为2的等比数列，
数列{bn}的前n项和Sn=
=2n+2﹣4．
5．已知{an}是等比数列，a1=2，且a1，a3+1，a4成等差数列．
（I）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=log2an，求数列{bn}的前n项和Sn．
【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，则，，
∵a1，a3+1，a4成等差数列，
∴a1+a4=2（a3+1），即2+2q3=2（2q2+1），
整理得q2（q﹣2）=0，
∵q≠0，∴q=2，
∴（n∈N*）．
（Ⅱ）∵
，
第9页（共21页）
∴．
∴（I）数列{an}的通项公式an=2n（n∈N*），
（Ⅱ）数列{bn}的前n项和．
6．已知数列{an}中，a10=17，其前n项和Sn满足Sn=n2+cn+2．
（1）求实数c的值；
（2）求数列{an}的通项公式．
【解答】解：（1）当n≥2时，
由
=n2+cn+2﹣（n2﹣2n+1+cn﹣c+2）=2n+c﹣1．
得a10=20+c﹣1=17，∴c=﹣2；
（2）把c=﹣2代入Sn=n2+cn+2，得．
∴a1=S1=1，
当n≥2时，an=2n﹣3．
第10页（共21页）
当n=1时上式不成立，
∴．
7．已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{bn}的前n项和Sn．
【解答】解：（1）由已知a1b2=b1+b2且，得a1=4，
∴{an}是首项为4，公差为3的等差数列，
通项公式为an=4+（n﹣1）×3=3n+1；
（2）由（1）知anbn+1=nbn+bn+1，
得：（3n+1）bn+1﹣bn+1=nbn，
∴，
因此{bn}是首项为、公比为的等比数列，
第11页（共21页）
则．
8．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，an＞0（n∈N*），S6+a6是S4+a4，S5+a5的等差中项．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为Tn，求Tn．
【解答】解：（1）∵S6+a6是S4+a4，S5+a5的等差中项．
∴2（S4+a4）=S4+a4+S5+a5
化简得4a6=a4
∵a1=2，{an}是等比数列，设公比为q，
则．
∵an＞0（n∈N*），∴q＞0
∴q=
第12页（共21页）
∴数列{an}的通项公式an==；
（2）由==2n﹣3．
∴数列{bn}的通项公式bn=2n﹣3．
那么：==
数列的前n项和为Tn=（﹣1﹣1）+（1﹣）+（）+……+（）
=﹣1﹣
=．
9．已知单调递增的等比数列{an}满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=anlogan，Sn=b1+b2+b3+…+bn，对任意正整数n，Sn+（n+m）an+1
＜0恒成立，试求m的取值范围．
【解答】解：（1）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q．
第13页（共21页）
依题意，
有2（a3+2）=a2+a4，
代入a2+a3+a4=28，
得a3=8．
∴a2+a4=20．
∴
解之得，或
又{an}单调递增，
∴q=2，a1=2，∴an=2n，
（2）bn=2n•log2n=﹣n•2n，
∴﹣Sn=1×2+2×22+3×23++n×2n①
﹣2Sn=1×22+2×23++（n﹣1）2n+n•2n+1②
第14页（共21页）
①﹣②得，Sn=2+22+23++2n﹣n•2n+1
=﹣n•2n+1
=2n+1﹣2﹣n•2n+1
由Sn+（n+m）an+1＜0，
即2n+1﹣2﹣n•2n+1+n•2n+1+m•2n+1＜0对任意正整数n恒成立，
∴m•2n+1＜2﹣2n+1．
对任意正整数n，
m＜﹣1恒成立．
∵﹣1＞﹣1，∴m≤﹣1．
即m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．
10．已知等比数列{an}与等差数列{bn}，a1=b1=1，a1≠a2，a1，a2，b3成等差数列，b1，a2，b4成等比数列．
（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；
第15页（共21页）
（Ⅱ）设Sn，Tn分别是数列{an}，{bn}，的前n项和，若Sn+Tn＞100，求n的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，d≠0，
a1，a2，b3成等差数列，b1，a2，b4成等比数列，
可得a1+b3=2a2，a22=b1b4，
则解得（舍）或，
∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）易知．
由Sn+Tn＞100，得，
∵是单调递增数列，
且，
∴n的最小值为7．
11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a5+a6=24，S11=143，数列{bn}的前n项和为
第16页（共21页）
Tn，满足．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式及数列的前n项和；
（Ⅱ）判断数列{bn}是否为等比数列？并说明理由．
【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，由S11=11a6=143，∴a6=13．
又a5+a6=24，解得a5=11，d=2，因此{an}的通项公式是an=2n+1（n∈N*），
所以，
从而前n项的和为：
=
==．…（6分）
（Ⅱ）因为a1=3，，．当n=1时，b1=7；
第17页（共21页）
当n≥2时，；
所以bn+1=4bn（n≥2．若{bn}是等比数列，则有b2=4b1，
而b1=7，b2=12，所以与b2=4b1矛盾，故数列{bn}不是等比数列． …（12分）
12．已知等差数列{an}的前三项为a﹣1，4，2a，记前n项和为Sn．
（Ⅰ）设Sk=2550，求a和k的值；
（Ⅱ）设bn=，求b3+b7+b11+…+b4n﹣1的值．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得a1=a﹣1，a2=4，a3=2a，又a1+a3=2a2，
∴（a﹣1）+2a=8，即a=3．（2分）
∴a1=2，公差d=a2﹣a1=2．
由Sk=ka1+，得（4分）
2k+×2=2550
即k2+k﹣2550=0．解得k=50或k=﹣51（舍去）．
∴a=3，k=50．（6分）
第18页（共21页）
（Ⅱ）由Sn=na1+，得
Sn=2n+×2=n2+n（8分）
∴bn==n+1（9分）
∴{bn}是等差数列．
则b3+b7+b11+…+b4n﹣1=（3+1）+（7+1）+（11+1）+…+（4n﹣1+1）
=（3+7+11+…+4n﹣1）+n
=
=+n（11分）
∴b3+b7+b11+…+b4n﹣1=2n2+2n（12分）
13．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3+S4=S5．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列{bn}的前2n项和T2n．
第19页（共21页）
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
由S3+S4=S5可得：a1+a2+a3=a5，
即3a2=a5，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
∴3（1+d）=1+4d，解得d=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
∴an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，
数列{an}的通项公式an=2n﹣1；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：．
∴T2n=1﹣3+5﹣7+…+•（4n﹣3）﹣（4n﹣1），
=（﹣2）×n，
=﹣2n，
数列{bn}的前2n项和T2n=﹣2n．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
14．已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an+2n+1．
（Ⅰ）证明数列{}是等差数列；
第20页（共21页）
（Ⅱ）求数列{}的前n项和．
【解答】解：（1）∵a1=2，an+1=2an+2n+1，
∴﹣=﹣=+1﹣=1，
∵=1，
∴数列{}是首项为1，公差为1的等差数列，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得=n，
∴=2n，
∴数列{}是首项为2，公比为2的等比数列，
故数列{}的前n项和Sn==2n+1﹣2
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