基于矢量积法的六自由度工业机器人雅可比矩阵求解及奇异位形的分析

(华南理工大学机械与汽车工程学院,广州510640

Analysis on solution of 6D of robot jacobian matrix and singularity configuration based on vector product method

ZHANG Peng-cheng ,ZHANG Tie

(College of Mechanical and Automotive Engineering ,South China University of Technology ,Guangzhou 510640,China 文章编号:1001-3997(201108-0152-03

【摘要】论述六自由度工业机器人奇异位置奇异和姿态奇异的问题。由于雅克比矩阵反映操作

臂笛卡尔空间速度与关节空间速度之间的映射关系,因此,利用矢量积法求得雅克比矩阵,并将其分块,得雅克比行列式为零时对应的关于关节角表达式,利用关节角表达式得其臂部内部奇异和腕部内部奇异,由关节角的极限范围得边界奇异。最后仿真得出奇异位姿所对应的关节转角及其关系式,为示教、

轨迹规划及其动力学分析提供了可靠的依据。关键词:六自由度工业机器人;矢量积法;雅克比矩阵;奇异位形

【Abstract 】The location singularity and posture singularity problems of the 6-DOF industrial robot are discussed.Since jacobin matrix reflects the mapping relationship between cartesian space velocity and joint space velocity ,the vector product method is applied in obtaining Jacobian matrix ,which is then parti -

tioned and the expression about joint angles can be obtained when the value of the determinant of Jacobian is zero.By applying 7singularity inside the robot arm and wrist is obtained and the boundary singularity is

obtained from the joint angle range.Finally the joint angle and relative relationship of the singularity of lo -cation and posture can be solved through simulation ,which provides a reliable basis for the robot teaching ,

trajectory planning as well as dynamics analysis.

Key words :6-DOF industrial robot ;Vector product ;Jacobian matrix ;Singularity configuration

中图分类号:TH16,TP242.2 文献标识码:A

*来稿日期:2010-10-05*基金项目:粤港澳关键领域重点项目(20090101-1 1引言

奇异位形的研究方法有多种,典型的有代数法、Grassmann 线几何法、运动学法。机构的奇异位形可用一个或某些矩阵(典型的如雅可比矩阵是否满秩来判断,采用的代数法就是计算这些矩阵行列式为零时的条件,行列式所对应的非线性方程的解为奇异位形。在进行速度分析时,为其定义雅克比矩阵,即从关节速度向笛卡尔空间速度的映射,行数等于操作臂在笛卡儿空间的自由度,列数等于关节数量。研究对象为六自由度机器人,其雅可比矩阵为(6×6维。当雅可比矩阵是不可逆时,机构局部退化,自由度减少,由此出现奇异点。对于雅可比矩阵的求解,Whithey 基于运动坐标系的概念于1972年提出计算雅克比矩阵的矢量积方法。在雅可比矩阵不可逆的情况下,通过Matlab 仿真求出六个关节奇异位形时对应的转角,为示教和轨迹规划提供可靠的依据,对操作臂的设计者和用户都是十分重要的。

2六自由度机器人坐标系的建立

六自由度工业机器人由一系列的转动关节连接的连杆构 成。给每个连杆赋予一个坐标系采用D-H 方法,如图1所示。然 后建立连杆参数表,如表1所示。 Z Y X Z 0 Z 1Y 1X 0 d 2 Y 0 X 1θ1a 1X 3 θ2 Z 2 X 2 a 2 a 3 θ3 Z 3d 3 d 4

θ4Z 4X 5X 4 Z 5θ5 θ6

Z 6图1D-H 坐标

表16-R 机器人连杆参数表 关节i

αi -1a i -1d i θi 1000θ1290°1000θ2302500θ3490°130250θ45-90°00θ56 90° θ6

求得每个连杆的变换矩阵。记:s 1…s 6、c 1…c 6、s 23、c 23分别表示 Machinery Design &Manufacture 机械设计与制造 第8期2011年8月 152

sin (θ1…sin (θ6、cos (θ1…cos (θ6、sin (θ2+θ3、cos (θ2+θ3。 3利用矢量积方法求解雅可比矩阵

雅可比矩阵将关节速度与末端笛卡尔速度联系起来,即 v 66 w

=J (q q 觶,式中:v 、w —线速度和角速度;q 觶—关节速度矢量。由于速度可以看成单位时间内的微分运动,因此雅可比也可以看成

关节空间的微分运动向操作空间微分运动之间的转换矩阵,即: d 66

δ=J (q d q 式中:d ,δ—末端的微分移动和转动;d q —关节微分运动矢量。 在第六轴坐标系中,第六轴末端角速度为w 6=Z 6q 6,线速度 为矢量积v 6=Z 6×6 P 0 622

q 6。由以上雅可比矩阵J 6=Z 6×6 P 06Z 6 66 ,同

理,雅克比矩阵第i 列为J i = Z i ×i P 0 6Z i 66= Z i ×0 i R i

P n 22Z i 6 6

。式中:i P 0 6—

末端坐标系的原点相对于坐标系{i }的位置在基坐标{0}中的表示,即i P 0 6=0 i R i

P n ,式中:Z i —第{i }坐标系Z 轴的单位向量。则雅克比矩阵的形式为: J (q =Z 1×1P 06Z 2×2P 06……Z 6×6P 06 %%%%Z 1Z 2……Z 6 66 = Z i ×0i R i P n 22Z i 6 6=J 11

0J 21J 2266

每个关节坐标系Z 轴在基坐标中的坐标表示通过以下每个坐标系相对于基坐标系的矩阵变换得知:

01

R =c 1-s 10s 1 c 100

0%%%%%%%D o w w

w w w w w n 1 02

R =c 1c 2-c 1s 2s 1s 1c 2-s 1s 2-c 1 %%s 2 c 2

%%%%%%%%D o

w w w w w w w w n 1

3R =

c 1c 23-c 1s 23s 1s 1c 23-s 1s 23-c 1 %%s 23 c 23

%%%%%%%%D o w w w w w w w w n 04

R =c 1c 23c 4+s 1s 4-c 1c 23s 4+s 1c 4c 1s 23s 1c 23c 4-c 1s 4-s 1c 23s 4-c 1c 4s 1s 23

%%%%%%s 23c 4 -s 23s 4 c 23

0%%%%%%%%D o w w w w w w w w n 05 R 、0 6R =

n x o x a x p x n y o y a y p y n z o z a z p z %0000%%%%%%%%%%%D o w w w w w w w w w w w n

1

由于篇幅限制,05R 、0 6R 不再赘述。

(1各坐标系的Z 轴在基坐标中的表示为: Z 1=000%%%%%%%D o w w w w w w w n 1

Z 2=s 1-c 1

%0%%%%%%%D o w w w w w w w n 1

Z 3=s 1-c 1

%0%%%%%%%D o w w w w w w w n Z 4=c 1s 23s 1s 23 %c 23

%%%%%%%%D o w w w w w w w w n

Z 5=-c 1c 23s 4+s 1c 4-s 1c 23s 4-c 1c 4 %%%%%%-s 23s 4 0%%%%%%%%D o

w w w w w w w w n Z 6=

c 1c 23c 4+s 1s 422s 5+c 1s 23c 5s 1c 23c 4-c 1s 422s 5+s 1s 23c 5 %%%%%%%%s 23c 4s 5-c 23c 5 0%%%%%%%%%D o w w w w w w w w w n (2 下面由5 6T 、4 6T 、3 6T 、2

6T 求第六杆末端坐标系的原点相对于坐标系{i }的位置: 4P 6=5 P 6=0

0%%%%%%%D o w w w w w w w n 3 P 6=a 3 -d 4

%0%%%%%%%D o

w w w w w w w n 2

P 6=a 3c 3+s 3d 4+a 2 %%%s 3a 3-c 3d 4

%%%%%%%%%0%%%%%%%D o w w w w w w w n 1 P 6=

a 3c 23+d 4s 23+c 2a 2+a 1s 23a 3-c 23d 4+s 2a 2 6 6

P 6=c 1c 23a 3+c 1s 23d 4+c 1c 2a 2+a 122s 1c 23a 3+s 1s 23d 4+s 1c 2a 2+a 122%%%%%%%s 23a 3-c 23d 4+s 2a 2

%%%%%%%%%D o w w w w w w

w w w n (3

由式(1(2(3(4,利用公式J i =Z i ×i P 0 6Z i 66=Z i ×0 i R i P n 22Z i 6 6

得雅可比矩阵的各列: J 6=Z 6×06R 6 P 6 22Z 6 66=00

0c 1c 23c 4+s 1s 422s 5+c 1s 23c 5 s 1c 23c 4-c 1s 422s 5+s 1s 23c 5 %%%%%%%%%%s 32c 4s 5-c 23c 5 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%D

o w w w w w w w w w w w w w w w w w w w n J 5= Z 5×0 5R 5 P 6 22Z 5 6

6%%%%%%%%%0 00

-c 1c 23s 4+s 1c 4

-s 1c 23s 4-c 1c 4%%%%%%-s 23s 4 0%%%%%%%%%%%%%%%%%%%D o w w w w w w w w w w w w w w w w w w w n J 4=Z 4×04R 4 P 6 22Z 4 66 = 00

0c 1s 23 s 1s 23 c 23

0%%%%%%%%%%%%%%%%%%%D

o w w w w w w w w w w w w w w w w w w w n J 3=Z 3×0 3R 3 P 6 22Z 366=

-c 1s 23a 3-c 23d 42

2%%%%%%%%%%%%%%%%%-s 1s 23a 3-c 23d 42 2s 1a 3s 1c 23+s 1d 4s 2322+c 1a 1c 1c 23+d 4c 1s

2322%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%s 1

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%-c 1%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%0

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%D o w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w n J 2=Z 2×0 2R 2 P 6

22Z 2 6 6 =

-c 1s 23a 3+c 23d 4+s 2a 22

2%%%%%%%%%%%%%%%%%-s 1s 23a 3+c 23d 4+s 2a 222s 1s 1a 3c 23+d 4s 23+c 2a 222+c 1c 1a 3c 23+d 4s 23+c 2a 22

2%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%s 1%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%-c

1%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%0%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%D

o w w w w w w w w w w w w w w w w w w w w n J 1= Z 1×0 1R 1 P 6 22Z 16 6 =

%%%-s 1c 23a 3+s 23d 4+a 12

2c 1c 23a 3+s 23d 4+c 2a 2+a 12 2%%%%%%%%%%%%%%%%%00 00

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%D o w w w w w w w w w w w w w w w w w w w n 1 (4

4奇异位形的分析

4.1六自由度工业机器人奇异位形的分类

广义上讲,奇异位形分为边界奇异位形和内部奇异位形。针对六自由度工业机器人,奇异类型分为位置奇异(前臂奇异和姿

第8期张鹏程等:基于矢量积法的六自由度工业机器人雅可比矩阵求解及奇异位形的分析

153

态奇异(腕部奇异。其中位置奇异分为边界奇异和内部奇异,姿态奇异分为结构边界奇异和腕部奇异。将雅克比矩阵写成如下形式J =

J 110 J 21 J 22

22,知当J 11J 22 =0时,J =0。

4.2奇异位形对应的关节角的求解

由矢量积法得出的雅克比矩阵,利用函数SVD 对雅克比矩阵进行奇异值分解,即[U ,S ,V ]=svd (J ,式中:U 和V —二个相互正交矩阵;S —对角矩阵,并用Matlab 进行仿真。由于六自由度机械手关节1、关节4、关节6最小奇异值不变,即不存在内部奇异。因此位置奇异研究焦点在关节2、关节3、关节5的相对位置,姿态奇异研究焦点在关节4、关节5、关节6相对位置。

由于结构限制,各转角都存在一定范围,产生边界奇异。即,θ1=(±180°、θ2=(±90°、θ3=(±90°、θ4=(±350°、θ5=(±130°、θ6=(±355°为各关节边界奇异点。

由分块矩阵得J 11J 22=a 2d 4c 3c 2a 2+d 4s 2322=0,当a 3=0时,θ3=90°,类似于PUMA560的情况。此六自由度机器人a 3≠0,如图2、图3所示。为清楚表达在仿真过程令θ3=(±180°,因此图中另外两个奇异点均在θ3的实际转角范围以外,在实际转角范围内时当θ3=arctan d 4/a 322=1.5426,即J 11J 22=0时,关节2、关节3的轴线和关节4、

5、6轴线交点在一条直线上。此时类似于三关节平面机械手,当操作臂完全伸展时,如图3所示。关节速度达到无穷大,此时存在奇异点。

最小奇异值-4 -3

-2 -1 012 3 4 关节3/rad

图2关节角3所对应的雅克比矩阵最小奇异值 robot001 x z y

图3关节角3位于奇异时的机器人的位姿

由c 2a 2+d 4s 23=0得θ2的奇异点,关节2的奇异点与关节3的奇异点有关系,仿真如图4所示。即θ2与θ3关系构成一曲面。

当θ5=0时,最小奇异值出现零的情况,如图5所示。此时关节轴4和关节轴6成一条直线,

这两个关节轴的动作都会使末端执行器产生相同的运动,因此操作臂好像失去了一个自由度,属

于工作空间内部的奇异位形。 200150100500-50-100

Z 3 2 1 0-1-2 -3-2 theta3 theta20 2

图4关节2与关节3满足奇异关系的曲面仿真

最小奇异值 -2.5-2-1.5 1 1.5 2 2.5 关节5/rad

图5关节角5所对应的最小奇异值

5结论

对于六自由度机器人奇异位置的分析奇异类型分为位置奇异(前臂奇异和姿态奇异(腕部奇异。其中位置奇异分为边界奇异和内部奇异,姿态奇异分为结构边界奇异和腕部奇异。首先采用矢量积法求其雅克比矩阵。其次,计算雅可比矩阵为零的对应关节转角,由于雅可比矩阵太繁琐,因此采用分组解法,并利用SVD 函数将其分解仿真得最小奇异值,即求出行列式为零时对应的关节角,即为位置和姿态奇异中的内部奇异。由结构限制的转角范围得出位置和姿态奇异中的边界奇异,得六自由度机械手的奇异位形,为机器人轨迹规划和示教提供了重要依据。

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