北师大版数学九年级上册4.3相似三角形导学案附答案解析

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1、对相似三角形的理解和认识 2、相似三角形的定义

3、相似三角形与全等三角形的区别和联系. 【重点难点】 (1) 相似三角形的定义

(2) 相似三角形与全等三角形的区别和联系.

知识概览图

相似三角形相似三角形的定义形相似三角形与全等三角

新课导引

前面我们学习了全等三角形，即两个三角形的三角对应相等、三边对应相等，那么根据上节课所学习的相似多边形的概念，你能类比推理出相似三角形的概念吗?

【点拨】根据前面学习的有关全等三角形及相似多边形的概念，可以类比推出相似三角形的概念：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．

教材精华

知识点 相似三角形的定义

三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形． △ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF． 知识拓展 相似三角形的定义告诉我们：相似三角形的对应边的比叫做相似比．(1)如果两个三角形的三角对应相等、三边对应成比例，那么这两个三角形相似．

(2)如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等、对应边成比例． 相似三角形与全等三角形．

全等三角形是特殊的相似三角形，它们的相似比是1，但相似三角形不一定是全等三角形．二者的区别与联系如下表所示：

名 称 全等三角形 相似三角形 类 别 定义 能够完全重合的两个三角对应角相等、对应边成比例的两个三角

形 形 图形特

征

形状、大小完全一样

形状一样、大小未必一样

表示方法 性质

△ABC≌△ABC，读作△△ABC∽△ABC，读作△ABC相似于ABC全等于△ABC △ABC 对应角相等，对应边相等 对应角相等，对应边成比例 若ABC≌△ABC，则

若△ABC∽△ABC，则

AB=AC= ABACBC相k(k为任何正实数)，相似比 ABACABACBCBCBC=1

似比有顺序性

对应

(1)对应顶点的字母写在对应位置上

角、

(2)对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角

对应边

(3)最大(小)的边(角)与最大(小)的边(角)是对应边(角)

的识别

(1)找对应元素的方法一样

区别与 (2)全等三角形是相似比为l的相似三角形，但相似三角形不一定全联系 等，二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比

例

课堂检测

基本概念题

1、下列命题正确的是 ( )

A．所有的直角三角形都相似 B．所有的等腰三角形都相似 C．所有的等腰直角三角形都相似 D．以上结论都不正确

基础知识应用题

2、如图4-42所示，已知△ADE∽△ABC，AD＝3，AE＝2，DE＝1.6，AC＝6，求BC，BD的长．

综合应用题

3、如图4-44所示，AC，BD相交于点O，且AB∥CD，OA＝43，OB＝4，OD＝2，OC＝23，AB＝6，CD＝3，则△AOB与△COD是否相似?为什么?

探索创新题

4、说明任意两个等腰直角三角形都相似．

体验中考

1、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3和4及x，那么x的值， ( )

A．只有1个 B．可以有2个 C．有2个以上，但有限 D．有无数个

学后反思

附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测

1、答案：C

【解题策略】 解此题的关键是根据相似三角形的定义解题．

2、解：因为△ADE∽△ABC，

所以

AEDEAEAD，． ACBCACABACDE61.6=4.8， AE2 所以BC= AB=

ACAD63=9． AE2 所以BD＝AB-AD＝9-3＝6．

【解题策略】 灵活运用相似三角形的性质解决问题．

3、解：由AB∥CD可得∠A＝∠C，∠B＝∠D， 且∠AOB＝∠COD(对顶角相等)， 因为 所以

OA43OB4AB62,2,2， OC23OD2CD3OAOBAB， OCODCD 所以△AOB与△COD的对应角相等、对应边成比例， 所以△AOB∽△COD．

【解题策略】 本题主要考查相似三角形的定义及平行线性质的综合运用

4、分析 要判定两个三角形是否相似，现在我们只能依靠定义来说明． 解：如图4-45所示，任意作等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形ABC， ∠C＝∠C＝90°，设AC＝BC＝m，AC＝BC＝n．

因为∠A＝∠A＝45°，∠B＝∠B＝45°，∠C＝∠C= 90°， 所以三个角对应相等．

由勾股定理得AB＝AC2BC2＝2m2＝2m， AB=AC2BC2=2n2=2n， 所以

AB2mmBCmACm， ，，ABBCnACn2nn 即三条边对应成比例．

所以△ABC与△ABC相似，即任意两个等腰直角三角形都相似．

体验中考

1、分析 可以是直角边，也可以是斜边，因此答案可以有2个．故选B．