《数理统计》考试题及参考答案

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一、填空题(每小题3分，共1５分)

１，设总体X和Y相互独立,且都服从正态分布N(0,3),而(X1,X2来自X和Y的样本，则U2,X9)和(Y1,Y2,Y9)是分别

X1Y21X9Y29服从的分布是＿__＿___ ．解：t(9).

２,设ˆ1与ˆ2都是总体未知参数的估计,且ˆ1比ˆ2有效,则ˆ1与ˆ2的期望与方差满足______＿ .

ˆ)E(ˆ), D(ˆ)D(ˆ). 解:E(1212３，“两个总体相等性检验”的方法有_______ 与__＿_ ___.解:秩和检验、游程总数检验.

4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_＿_＿___ . 解:正态性、方差齐性、独立性.

ˆ=_＿_＿___ .解:β=ˆ(XX)1XY． ５,多元线性回归模型YXβ中,β的最小二乘估计是β二、单项选择题(每小题3分，共１5分）1,设(X1,X2,＿＿D___ .

（Ａ)nX,Xn)(n2)为来自总体N(0,1)的一个样本,X为样本均值,S2为样本方差,则_＿

N(0,1); (B）nS22(n); F(1,n1).

(n1)X(C)

St(n)； (D）

(n1)X12Xi2n2i２,若总体XN(,2)，其中2已知，当置信度1保持不变时,如果样本容量n增大,则的置信

区间____B＿__ .

(A)长度变大； （B)长度变小; （C）长度不变; （D)前述都有可能.

3,在假设检验中,分别用,表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量n一定时,下列说法中正确的是_＿__C＿＿＿ .

（A）减小时也减小; (Ｂ)增大时也增大； （C),其中一个减小,另一个会增大; (D)（A)和(B）同时成立.

4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设ST为总离差平方和，Se为误差平方和,SA为效应平方和，则总有___A_＿_ .

（A)STSeSA； (Ｂ)

SA22(r1);

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(C）

SA/(r1)Se/(nr)F(r1,nr); （D）SA与Se相互独立.

S回，则＿＿_B____ . ST５，在一元回归分析中，判定系数定义为R2（Ａ)R2接近0时回归效果显著； (B)R2接近1时回归效果显著; （C)R2接近时回归效果显著； （D）前述都不对． 三、(本题10分)设总体XN(1,2)、YN(2,2),(X1,X2,22,Xn1)和(Y1,Y2,,Yn2)分别是

来自X和Y的样本，且两个样本相互独立，X、Y和SX、SY分别是它们的样本均值和样本方差，证明

(XY)(12)1Snn121证明:易知

22(n11)SX(n21)SYt(n1n22)，其中S.

n1n222XYN(12,2n12n2), U(XY)(12)11n1n2N(0,1).

由定理可知

2(n11)SX22(n11),

22(n21)SY22(n21)．

由独立性和分布的可加性可得

2(n11)SX2(n21)SYV222(n1n22)．

由U与V得独立性和t分布的定义可得

(XY)(12)U11V/(n1n22)Snn12t(n1n22)．

x1e, x0四、(本题10分)已知总体X的概率密度函数为f(x),其中未知参数0,

0, 其它(X1,X2,,Xn)为取自总体的一个样本，求的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计量.

解:(1)v1EXxf(x)dx01nxedx，用v1XiX代替，所以

ni11x

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1ˆnXi1niX．

n1ˆ)E(X)(2）E(E(Xi)E(X),所以该估计量是无偏估计． ni1五、(本题10分）设总体X的概率密度函数为f(x;)(1)x,0x1,其中未知参数1，

(X1,X2,解：

Xn)是来自总体X的一个样本,试求参数的极大似然估计．

nn (1)(xi) , 0xi1i1L()

 0 , 其它ndlnL()nlnxi0，得 当0xi1时,lnL()nln(1)lnxi，令

d1i1i1nˆ1nlnxi1n.

iex,x>0;六、（本题10分)设总体X的密度函数为f(x;) 未知参数

x0,0,0,(X1,X2,Xn)为总体的一个样本，证明X是

1的一个UＭVUＥ. 证明：由指数分布的总体满足正则条件可得

211I()E2lnf(x;)E22,

1的的无偏估计方差的Ｃ-Ｒ下界为 121[()]21． 21nI()nn22另一方面

E(X)1, Var(X)即X得方差达到Ｃ-R下界,故X是

1， n21的ＵMＶUE. 七、（本题10分)合格苹果的重量标准差应小于0.005公斤.在一批苹果中随机取9个苹果称重， 得其样本标准差为S0.007公斤, 试问:(1)在显著性水平0.05下, 可否认为该批苹果重量标准差达到要求？ （2)如果调整显著性水平0.025,结果会怎样?

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2222参考数据: 0.025(9)19.023， 0.05(9)16.919, 0.025(8)17.535, 0.05(8)15.507．

解:（1)H0:0.005,2n1S2~28,则应有: 2222P20.05(8)15.507, 80.005,0.0580.007215.6815.507,所以拒绝假设H0,即认为苹果重量标准差指标未达到要具体计算得:0.00522求．

(2）新设 H0:0.005, 由220.02580.007217.535,15.6817.535, 则接受假设，20.0052即可以认为苹果重量标准差指标达到要求.

2八、（本题1０分)已知两个总体X与Y独立,X~(1,1),Y~(2,2)，1, 2, 1, 2未知，

222(X1,X2,,Xn1)和(Y1,Y2,2212,Yn)分别是来自X和Y的样本,求2的置信度为1的置信区间.

22解：设SX, SY分别表示总体X，Y的样本方差,由抽样分布定理可知

2(n11)SX12由F分布的定义可得

(n11)，

22(n21)SY222(n21)，

2(n11)SXF212Y(n11)(n21)(n21)S2222SX222SY1F(n11,n21)．

对于置信度1，查F分布表找F/2(n11,n21)和F1/2(n11,n21)使得 PF/2(n11,n21)FF,n21)1, 1/2(n11即

2222SX/SY12SX/SYP21， F1/2(n11,n21)2F/2(n11,n21)2222SX/SYSX/SY12, 所求2的置信度为1的置信区间为 ．

2F(n1,n1)F(n1,n1)2/2121/21九、(本题10分）试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤.

解：建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测.