数学
本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分。
时量120分钟，满分100分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图是一个几何体的三视图，则该几何体为A.圆柱C.圆台A.0 C.2
B.圆锥D.球B.1 D.3
2.已知元素a ∈{0,1,2,3}，且a {0,1,2}，则a的值为
3.在区间[0,5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为A.
1535
B.
2545
C.D.
4.某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是A.2 C.4
5.在△ABC中，若ABA.直角三角形C.锐角三角形6.sin120的值为
B.3 D.5
AC0，则△ABC的形状是
B.等腰三角形D.钝角三角形
2A.
2
B.－1 C.
32
2D.－
2
7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是A.平行C.异面但不垂直
B.相交D. 异面且垂直
8.不等式(x＋1)(x－2)≤0的解集为A.{x|－1≤x≤2} C. {x|x≥2或x≤－1}
B. {x|－1＜x＜2} D. {x|x＞2或x＜－1}
9.点P(m,1)不在不等式x＋y－2＜0表示的平面区域内，则实数m的取值范围是A.m＜1
B.m≤1
C.m≥1
D.m＞1
10.某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，下列函数的图像最能符合上述情况的是
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分。11.样本数据－2，0，6，3，6的众数是＿＿＿＿＿＿。
12.在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知a＝1，b＝2，sinA＝＝＿＿＿＿＿＿。
13.已知a是函数f(x)＝2－log2x的零点，则实数a的值为＿＿＿＿＿＿。14.已知函数y＝sinx(＞0)在一个周期内的图像如图所示，则
的值为＿＿＿＿＿＿。
13
，则sinB
15.如图1，在矩形ABCD中，AB＝2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF把这个矩形折成一个直二面角A－EF－C(如图2)，则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为＿＿＿＿＿＿。
三、解答题：本大题共5小题，满分40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
x,x
16.(本小题满分6分)已知函数f(x)
[0,2],(2,4].
4,xx
(1)画出函数f(x)的大致图像；
(2)写出函数f(x)的最大值和单调递减区间。
17.(本小题满分8分)
某班有学生50人，其中男同学30人，用分层抽样的方法从该班抽取5人去参加某社区服务活动。(1)求从该班男、女同学中各抽取的人数；
(2)从抽取的5名同学中任选2名谈此活动的感受，求选出的2名同学中恰有1名男同学的概率。
18.(本小题满分8分)
已知等比数列{an}的公比q＝2，且a2，a3＋1，(1)求a1及an；
(2)设bn＝an＋n，求数列{bn}的前5项和S5。
a4成等差数列。19.（本小题满分8分）已知向量a＝(1,sin)，b＝(2,1)。(1)当＝
6
时，求向量2a＋b的坐标；
(2)若a∥b，且∈(0，
2
)，，求sin(＋
4
)的值。
20.(本小题满分10分)
已知圆C：x2＋y2＋2x－3＝0。(1)求圆的圆心C的坐标和半径长；
(2)直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，求证：1x1
为定值；
(3)斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE的面积最大。
1x2
湖南省普通高中学业水平考试数学试卷
参考答案及评分标准
一、选择题(每小题4分，满分40分) CDBBACDACA
二、填空题(每小题4分，满分20分) 11.6；12.
23
；13.4；14.2；15.45(或
4
)
三、解答题(满分40分)
16. 解：(1)函数f(x)的大致图象如图所示(2分)；(2)由函数f(x)的图象得出，f(x)的最大值为2(4分)，其单调递减区间为[2,4](6分) 17. 解: (1)
3050
5
3(人)，
2050
5
2(人)，所以从男同学中抽取3人，女同学中抽取2人(4分)；
(2)过程略。
18.解：(1)由已知得a2＝2a1，a3＋1＝4a1＋1，a4＝8a1，又2(a3＋1)＝a2＋a4，所以2(4a1＋1)＝2a1＋8a1，解得a1＝1(2分)，故an＝a1qn-1＝2n-1(4分)；(2)因为bn＝2＋n，所以S5＝b1＋b2＋b3＋b4＋b5＝19.解：(1)因为
n-1
1(2
5
1)
21
(15)5＝46(8分)
2
(2,1)
(4,2)(4分)
，所以a＝(1,1)，于是向量2a＋b＝2(1,1)622
(2)因为a∥b，所以sin
12
(5分)，又因为
(0,
2
)，所以cos
3
(6分)，2
所以sin(
4
)sincos
4
cossin
24
4
6
(8分)。
22
20. 解：(1)配方得(x＋1)＋y＝4，则圆心C的坐标为(－1，0)(2分)，圆的半径长为2(4分)；
(2)设直线l的方程为y＝kx，联立方程组
xy
2
ykx
2
2x30
消去y得(1＋k2)x2＋2x－3＝0(5分)，则有：x1所以
1x1
1x2
x1
x2
23
为定值(7分)。
x2
21
k
2
,x1x2
31
k
2
(6分)
x1x2
(3)解法一
设直线m的方程为y＝kx＋b，则圆心C到直线m的距离d
|b1|，
2
所以|DE|2R
2
d
2
24d(8分)，
2
S
1
CDE
2
|DE|d
4
2
4d
2
d≤
(4d)2
2
d
2
2，
当且仅当d从而
d，即d2时，△CDE的面积最大(9分)
|b1|2
2，解之得b＝3或b＝－1，
故所求直线方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0(10分) 解法二所以S
由(1)知|CD|＝|CE|＝R＝2，
1
CDE
2
|CD||CE|sinDCE2sin
DCE≤2，
当且仅当CD⊥CE时，△CDE的面积最大，此时|DE|22(8分)
设直线m的方程为y＝x＋b，则圆心C到直线m的距离d
|b1|2
(9分)
由|DE|2R2
d
2
24
d
2
22，得d2，
由
|b1|2
2，得b＝3或b＝－1，
故所求直线方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0(10分)。
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