人口统计模型【数学建模】

城市人口统计模型

人口统计模型（1）：

4。 P(r)表示距市中心 r 公2r20里区域内的人口数，单位为每平方公里10万人.试求距市中心2km区域内的人口数；

某城市1990年的人口密度近似为P(r)人口统计模型（2）：

若人口密度近似为P(r)1.2e-0.2r（单位不变），试求距市中心2km区域内的人口数。

设P(t)表示t时刻某城市的人口数.假设人口变化动力学受下列两条规则的影响：

（1） t时刻净增人口以每年r(t)的比率增加；

（2） 在一段时期内，比如说从T1到T2，由于死亡或迁移，T1时刻的人口数P(T1)的

一部分在T2时刻仍然存在， 我们用h(T2T1)P(T1)来表示，0h(T2T1)1，

T2T1是这段时间的长度.试建立在任意时刻t人口规模的模型.如果r(t)5104105t，h(t)et/40，2000年时该城市的人口数为107，试预测

2010年时该城市的人口数.

根据两种模型的不同，分别取距离微元和时间微元，建立人口统计的积分模型，然后用定积分的换元法和分部积分法求解. 第一步： （I） 假设我们从城市中心画一条放射线，把这条线上从0到2之间分成 n 个

小区间，每个小区间的长度为r.每个小区间确定了一个环，如下图所示.

市中心 r j 0r0rj1 r2nr

1

让我们估算每个环内的人口数并把它们相加，就得到了总人口数.第j

个环的面积为：

πrj2πrj12π(rjr)2

22πrj2πr2rr(r)jj

2πrjrπ(Δr)2

在第 j 个环内，人口密度可看成数P(rj)，所以此环内的人口数近似为：

P(rj)2πrjr

第二步：

距市中心2km区域内的人口数近似为：

P(r)2πrr

jjj1n所以人口数:

NP(r)2πrdr

02

第三步

4 时， r2202242rN2π2rdr4πrdr 200r20r202424πln2.291 4πln(r220)|020距市中心2km区域内的人口数大约为229 100.

（1） 当 P(r)（2） 当 P(r)1.2e-0.2r 时， N2π1.2e020.2rrdr2.4πre0.2rdr

0220.2r2ere0.2r2.4πdr 2.4π00.200.2e 24πe0.412π

0.200.2r2 24πe0.4(60πe0.460π)11.602

距市中心2km区域内的人口数大约为1 160 200.

2

第四步：

（II） 数学建模：我们把[0,T]的时间区间分成n等分，每个小区间的长度为t.初始时刻的人数为P(0)，到时刻T将只剩下h(T)P(0).当t很小时，从时刻tj1到

tj，净增人口的比率近似为常数r(tj).这段时期净增的人口数近似为r(tj)t.时刻

tj1到tj内净增加的人口到时刻T只剩下h(Ttj)r(tj)t.所以在T时刻的总人口数近似为：

h(T)P(0)h(Tt1)r(t1)th(Tt2)r(t2)th(T)P(0)h(Tti)r(ti)t.

i1n

当n无限增大时，P(T)h(T)P(0)h(Tt)r(t)dt （1）

0T

第五步：

将r(t)5104105t,h(t)et/40及T10，P(0)107代入（1）式得

P(10)h(10)P(0)h(10t)r(t)dt

010 10e71/4e(10t)/40(5104105t)dt

01010105104et/40dt105tet/40dt 107e1/4e1/400 107e1/42106e1/4et/40 4106e1/4tet/4001010016107e1/4et/40100

2106(1e1/4)107(17e1/412)1.28107

1990年时该城市大约有人口1 280万.

人口统计模型（I）中两个人口密度P(r)4和P(r)1.2e-0.2r有一个共同2r20特点P'(r)0，即随着r的增大，P(r)减少，这是符合实际的.另外，需要指出的是，当人口密度P(r)选取不同的模式时，估算出的人口数可能会相差很大，因此，选择适当的人口密度模式对于准确地估算人口数至关重要.

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