[最新考纲] 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
1．仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方叫仰角,目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．
图① 图②
2．方向角
相对于某正方向的水平角,如南偏东30°,北偏西45°等． 3．方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图②)． 4．坡度(又称坡比)
坡面的垂直高度与水平长度之比．
一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为α＋β＝180°.( )
π(2)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为0，.( )
2
(3)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系．( )
π(4)方位角大小的范围是[0,2π),方向角大小的范围一般是0，.( )
2
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、教材改编
1．如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C,测出
AC的距离为50 m,∠ACB＝45°,∠CAB＝105°后,就可以计算出A,B两点的距离为
________m.
502 [由正弦定理得
＝,
sin∠ACBsin BABAC250×
2ACsin∠ACB又∵B＝30°,∴AB＝＝＝502(m)．]
sin B1
2
2.如图,在山脚A测得山顶P的仰角为30°,沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B,在
B处测得山顶P的仰角为60°,则山高h＝________米．
2
a [由题图可得∠PAQ＝α＝30°, 2
∠BAQ＝β＝15°,△PAB中,∠PAB＝α－β＝15°, 又∠PBC＝γ＝60°,
∴∠BPA＝(90°－α)－(90°－γ)＝γ－α＝30°, ∴
＝,∴PB＝
sin 30°sin 15°
aPB6－2
a, 2
∴PQ＝PC＋CQ＝PB·sin γ＋asin β ＝
6－22
a×sin 60°＋asin 15°＝a.] 22
3.如图所示,D,C,B三点在地面的同一条直线上,DC＝a,从C,D两点测得A点的仰角分别为60°,30°,则A点离地面的高度AB＝________.
3
a [由已知得∠DAC＝30°,△ADC为等腰三角形,AC＝a,所以在Rt△ACB中,AB＝2
AC·sin∠ACB＝
3a.] 2
考点1 解三角形中的实际问题
利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤
(1)分析——理解题意,分清已知与未知,画出示意图．
(2)建模——根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在相关的三角形中,建立一个解斜三角形的数学模型．
(3)求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形,求得数学模型的解． (4)检验——检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解．
(1)江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,由
炮台顶部测得俯角分别为45°和60°,而且两条船与炮台底部连线成30°角,则两条船相距________m.
(2)如图,高山上原有一条笔直的山路BC,现在又新架设了一条索道AC,小李在山脚 B处看索道AC,发现张角∠ABC＝120°；从B处攀登400米到达D处,回头看索道AC,发现张角∠
ADC＝150°；从D处再攀登800米可到达C处,则索道AC的长为________米．
(1)103 (2)40013 [(1)如图,OM＝AOtan 45°＝30(m),
ON＝AOtan 30°＝
＝103(m),
3
×30 3
在△MON中,由余弦定理得,
MN＝900＋300－2×30×103×
3 2
＝300＝103(m)．
(2)在△ABD中,BD＝400米,∠ABD＝120°. 因为∠ADC＝150°, 所以∠ADB＝30°.
所以∠DAB＝180°－120°－30°＝30°.
由正弦定理,可得＝,
sin∠DABsin∠ABD400AD所以＝,
sin 30°sin 120°得AD＝4003(米)．
在△ADC中,DC＝800米,∠ADC＝150°,由余弦定理得AC＝AD＋CD－2·AD·CD·cos∠ADC＝(4003)＋800－2×4003×800×cos 150°＝400×13,
解得AC＝40013(米)． 故索道AC的长为40013米．]
(1)实际测量中的常见问题 求AB 图形 需要测量的元素 ∠ACB＝α, 解法 解直角三角形 2
2
22
2
2
BDAD底部可达 求竖直高度 底部不可达 BC＝a ∠ACB＝α,∠ADB＝β, AB＝atan α 解两个直角三角形 CD＝a ∠ACB＝α, AB＝atan αtan β tan β－tan α用余弦定理 求水平距离 山两侧 AC＝b, BC＝a ∠ACB＝α, AB＝ a2＋b2－2abcos α 用正弦定理 河两岸 ∠ABC＝β, CB＝a AB＝asin α sinα＋β在△ADC中, ∠ADC＝α, 求水平距离 河对岸 ∠BDC＝β, ∠BCD＝δ, AC＝asin α； sinα＋γ在△BDC中, ∠ACD＝γ, BC＝asin β； sinβ＋δCD＝a 在△ABC中,应用 余弦定理求AB (2)三角应用题求解的关键是正确作图(平面图、立体图),并且条件对应好(仰角、俯角、方向角等)．
1.一船以每小时15 km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在北偏东
60°的方向上,行驶4 h后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15°的方向上,这时船与灯塔的距离为________km.
302 [如图,由题意知,∠BAC＝30°,∠ACB＝105°,
∴B＝45°,AC＝60,
由正弦定理得＝,
sin 30°sin 45°∴BC＝302(km)．]
2.如图所示,位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,则cos θ的值为________．
BCAC
21
[在△ABC中,AB＝40,AC＝20,∠BAC＝120°, 14
由余弦定理得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800,
得BC＝207. 由正弦定理,得
＝,
sin∠ACBsin∠BAC21. 7
ABBC即sin∠ACB＝·sin∠BAC＝
ABBC由∠BAC＝120°,知∠ACB为锐角, 27
则cos∠ACB＝.
7
由θ＝∠ACB＋30°,得cos θ＝cos(∠ACB＋30°) ＝cos∠ACBcos 30°－sin∠ACBsin 30°＝考点2 平面几何中的解三角形问题
与平面图形有关的解三角形问题的关键及思路
21.] 14
求解平面图形中的计算问题,关键是梳理条件和所求问题的类型,然后将数据化归到三角形中,利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系．
具体解题思路如下：
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形,然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解；
(2)寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,求出结果．
3π
如图,在平面四边形ABCD中,∠ABC＝,AB⊥AD,AB＝1.
4
(1)若AC＝5,求△ABC的面积； π
(2)若∠ADC＝,CD＝4,求sin∠CAD.
6
[解] (1)在△ABC中,由余弦定理得,AC＝AB＋BC－2AB·BC·cos∠ABC, 即5＝1＋BC＋2BC,解得BC＝2,
1121
所以△ABC的面积S△ABC＝AB·BC·sin∠ABC＝×1×2×＝.
2222
2
2
2
2
ACCDAC4
(2)设∠CAD＝θ,在△ACD中,由正弦定理得＝,即＝, sin∠ADCsin∠CADπsin θsin
6
π3πππ在△ABC中,∠BAC＝－θ,∠BCA＝π－－－θ＝θ－, 2442由正弦定理得＝, sin∠ABCsin∠BCA即
1
＝, 3ππsinsinθ－44
ACABAC ②
3ππsin4sinθ－44①②两式相除,得＝,
πsin θsin
6即4
22
sin θ－cos θ＝2sin θ,整理得sin θ＝2cos θ.
22
2
2
又因为sinθ＋cosθ＝1,
2525
所以sin θ＝,即sin∠CAD＝.
55
做题过程中,要用到平面几何中的一些知识点,如相似三角形的边角关系、平
行四边形的一些性质,要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合,才能顺利解决问题．
π
(2019·湖南衡阳第三次联考)如图,在平面四边形ABCD中,0＜∠DAB＜,AD2
＝2,AB＝3,△ABD的面积为
33
,AB⊥BC. 2
(1)求sin∠ABD的值； 2π
(2)若∠BCD＝,求BC的长．
3
1133
[解] (1)因为△ABD的面积S＝AD×ABsin∠DAB＝×2×3sin∠DAB＝,
222所以sin∠DAB＝
3
. 2
π
又0＜∠DAB＜, 2π
所以∠DAB＝, 3
π1
所以cos∠DAB＝cos ＝. 32由余弦定理得
BD＝AD2＋AB2－2AD·ABcos∠DAB＝7,
由正弦定理得sin∠ABD＝
ADsin∠DAB21
＝. BD7
π
(2)因为AB⊥BC,所以∠ABC＝,
2
27π2
sin∠DBC＝sin－∠ABD＝cos∠ABD＝1－sin∠ABD＝. 72在△BCD中,由正弦定理
2
2
BDBDsin∠DBC43
＝可得CD＝＝.
sin∠DBCsin∠DCBsin∠DCB3
2
CD由余弦定理DC＋BC－2DC·BCcos∠DCB＝BD, 可得3BC＋43BC－5＝0, 解得BC＝
353
或BC＝－(舍去)． 33
2
故BC的长为
3. 3
考点3 与三角形有关的最值(范围)问题
解三角形问题中,求解某个量(式子)的最值(范围)的基本思路为：
要建立所求量(式子)与已知角或边的关系,然后把角或边作为自变量,所求量(式子)的值作为函数值,转化为函数关系,将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制,以及三角形自身范围限制,要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善,避免结果的范围过大．
(2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为
A＋Ca,b,c.已知asin＝bsin A.
2
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形,且c＝1,求△ABC面积的取值范围． [解] (1)由题设及正弦定理得sin Asinsin Bsin A.
因为sin A≠0,所以sin
A＋C2
＝
A＋C2
＝sin B.
由A＋B＋C＝180°,可得sin因为cos≠0,
2
A＋C＝cos,故cos＝2sincos. 22222
BBBBBB1
故sin＝,因此B＝60°.
22
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝由正弦定理得a＝
3a. 4
csin Asin120°－C31
＝＝＋. sin Csin C2tan C2
由于△ABC为锐角三角形,故0° 282 因此,△ABC面积的取值范围是 33 ，. 28 求解三角形中的最值、范围问题的2个注意点 (1)涉及求范围的问题,一定要搞清已知变量的范围,利用已知的范围进行求解,已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化． (2)注意题目中的隐含条件,如本例中锐角三角形的条件,又如A＋B＋C＝π,0＜A＜π,b－c＜a＜b＋c,三角形中大边对大角等． [教师备选例题] 设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a＝btan A,且B为钝角． π (1)证明：B－A＝； 2 (2)求sin A＋sin C的取值范围． [解] (1)证明：由a＝btan A及正弦定理, 得 sin Aasin A＝＝, cos Absin B所以sin B＝cos A,即sinB＝sin 因为B为钝角,所以A为锐角, ππ所以＋A∈，π, 22ππ则B＝＋A,即B－A＝. 22 π＋A. 2 πππ(2)由(1)知,C＝π－(A＋B)＝π－2A＋＝－2A＞0,所以A∈0，. 224 π于是sin A＋sin C＝sin A＋sin－2A 2 ＝sin A＋cos 2A＝－2sinA＋sin A＋1 129＝－2sin A－＋. 48 π2 因为0＜A＜,所以0＜sin A＜, 42因此 12992＜－2sin A－＋≤. 4882 2 由此可知sin A＋sin C的取值范围是 29 ，. 28 1.在钝角△ABC中 ,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B为钝角,若acos A＝ bsin A,则sin A＋sin C的最大值为 ( ) A.2 C.1 9 B. 87D. 8 B [∵acos A＝bsin A,由正弦定理可得,sin Acos A＝sin Bsin A,∵sin A≠0,∴cos Aπ ＝sin B,又B为钝角,∴B＝A＋,sin A＋sin C＝sin A＋sin(A＋B)＝sin A＋cos 2A＝sin 2 A＋1－2sin2A＝－2sin A－2＋, 4 1 98 9 ∴sin A＋sin C的最大值为.] 82．在△ABC中,b＝3,B＝60°, (1)求△ABC周长l的范围； (2)求△ABC面积最大值． [解] (1)l＝3＋a＋c, b2＝3＝a2＋c2－2accos 60°＝a2＋c2－ac, ∴(a＋c)－3ac＝3, ∵(a＋c)－3＝3ac≤3×∴a＋c≤23, 当仅仅当a＝c时,取“＝”, 又∵a＋c＞3,∴23＜l≤33. (2)∵b＝3＝a＋c－ac≥2ac－ac, ∴ac≤3, 当且仅当a＝c时,取“＝”, 2 2 2 22 a＋c2, 2 S△ABC＝acsin B≤×3×sin 60°＝ 33 ∴△ABC面积最大值为. 4 121233 , 4 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容