弧度制与任意角的三角函数知识点与例题

弧度制与任意角的三角函数知识梳理与典例剖析

※ 知识梳理

1.任意角的概念 设角的顶点在坐标原点，始边与x轴重合，终边在坐标平面内. 终边绕顶点旋转即可产生______________.

2.象限角的概念 若角的终边在第k个象限，则称是第k象限角. 象限角及其集合表示 象限角 第一象限角的集合 第二象限角的集合 第三象限角的集合 第四象限角的集合 象限角的集合表示 {x|k360o<弧长公式：l||R （----扇形中心角的弧度数，R----扇形所在圆的半径） 扇形面积公式：S扇形 在角度制下： 弧长公式：l180o)57.3o57o18/；1o_____ rad(弧度).

11lR||R2. 22nR （n----扇形中心角的角度数，R----扇形所在圆的半径） 180nR2.

360 扇形面积公式：S扇形6.任意角的三角函数的定义 在角的终边上任取点P(x,y)，设它与原点O的距离|OP|r

(r>0)，则sin_____，cos_____，tan_____.

7.三角函数在各象限的符号

sin：上正下负横轴零 cos：左负右正纵轴零 tan：交叉正负横轴零 8.三角函数的定义域 三角函数 定义域 R R ysinx ycosx ytanx

{x|xk2(kZ) 页 共 4 页 不积小流 无以成江海 不积跬步 无以致千里 第 1

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9.终边相同的角的同一三角函数的值相等

sin(2k)_____，cos(2k)_____，tan(2k)_____. 10.三角函数线

如图有向线段MP，OM，AT分别表示：正弦线，余弦线，正切线. y P O T ※ 典例剖析

一、角的概念问题

1. 终边相同的角的表示

例1 若角是第三象限的角，则角的终边在第______象限. 答案：二.

o解析：因为是第三象限的角，故k360270<<k360180,kZ，则k360

M A x x=1 oooo270o<o练习：与610角终边相同的角可表示为_____________. 【答案：k360250(kZ）】

oo2. 象限角的表示

是第几象限的角？（2）角2终边的位置. 2思路：先根据已知条件得出角的范围，再通过讨论k值来确定象限角.

ooooo解析：（1）因为是第二象限的角，故k36090<45o<222故为第一或第三象限角. 2ooooooo（2）由k36090<*点评：已知所在象限，求 (nN)所在象限的问题，一般都要分几种情况进行讨论.

n例2 已知角是第二象限角，问（1）角结论： 练习：

二、弧度制与弧长公式 1.角度制与弧度制的互化

例3 （1）设750，用弧度制表示，并指出它所在的象限； （2）设o 第一象限 第一、三象限 第二象限 第一、三象限 第三象限 第二、四象限 第四象限 第二、四象限  23，用角度制表示，并在720o～0o内找出与它有相同终边的所有角. 5导思：（1）角度与弧度应如何进行互化？（2）确定角为第几象限角的依据是什么？（3）怎样找终边相同的角？依据是什么？

解析：（1）1807502522，故在第一象限. 66 页 共 4 页 不积小流 无以成江海 不积跬步 无以致千里 第 2

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（2）(3o，由720 )o108o，与它终边相同的角可表示为k360o180o(kZ）

533≤k360o180o<0o，得2≤k<，故k2或k1，即在720o～0o范围内与有

1010oo35180相同终边的所有角是612和252.

点评：角度与弧度进行互化，关键是对转化公式的理解和应用；判断一个角所在的象限，关键是在[0,2]内找到与该角终边相同的角.

练习：（1）设570，用弧度制表示，并指出它所在的象限；

o7，用角度制表示，并在720o～0o内找出与它有相同终边的所有角. 3195解析：（1），故在第二象限. (570)22180667180o7 （2）()()420o，故在720o～0o范围内与有相同终边的角是60o.

33 （2）设2.求弧长与扇形面积

例4 已知一扇形中心角为，所在圆半径为R.

（1）若3，R10cm，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；

（2）若扇形的周长为一定值C(C>0)，当为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值. 导思：（1）扇形的弧长公式是什么？（2）怎样由扇形面积来求弓形的面积？（3）如何用扇形的周长C表示扇形面积？（4）怎样求最大值？能用二次函数来求吗？能用基本不等式来求吗？

解析：（1）设弧长为l，弓形面积为S弓，则l101101故S弓S扇S(cm)，10

3232102sin350(33)(cm2). 2 （2）解法一：由扇形周长C2Rl，得lC2R，故S扇=11RlR(C2R)R2 221C2C2C2CCRC(R).当R时，S扇有最大值且最大值为.此时lC2R，故24161642lC42.故当2时，该扇形有最大面积. R2CC11C22，故S扇=R() 2a222 解法二：由扇形周长C2Rl2RR，得RC2C21C21C22≤，当且仅当4，即a2时，扇形面积最大为. 24162442416点评：在应用扇形弧长和面积公式时，如果圆心角用角度表示，则应先化为弧度；注意不要把弓

形面积与扇形面积相混淆.

练习：设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________.

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解：S1l4(82r)r4，即r24r40，解得r2，故l4，从而2. 2r2三、三角函数的定义与三角函数的符号

1.利用三角函数值的符号确定角的终边所在的象限

例5 确定下列三角函数值的符号 （1）cos250； （2）sin(o4)； （3）tan(672o)； （4）tano11. 3导思：直接根据三角函数值的符号法则来确定. 解析：（1）因为250是第三象限角，故cos250<0； （2）因为o是第四象限角，故sin()<0；. 44oooooo （3）tan(672)tan(236048)tan48，而48是第一象限角，故tan(672)>0；

（4）tan1155511，而是第四象限角，故tantan(2)tan<0.

33333oo练习：1.点P(sin(20),tan280)位于第________象限；

2.sin1，cos1，tan1的大小关系是_________________(用“<”号连接).

2.利用三角函数的定义求值

例6 已知角终边上一点P与x轴的距离和与y轴的距离之比为3:4(且均不为零)，求

2sincos的值.

导思：直接根据三角函数的定义进行求解，应注意距离之比是绝对值之比.

342； 55342若角的终边过点P(4,3)，则2sincos2；

55534若角的终边过点P(4,3)，则2sincos22；

55342若角的终边过点P(4,3)，则2sincos2.

555解析：若角的终边过点P(4,3)，则2sincos2点评：若点P(x,y)是角的终边上异于原点的一点，求角的三角函数值只需用定义即可. 练习：设角的终边过点P(5a,12a) (a0)，求sin、cos和tan的值. 解析：因为x5a，y8a，故r则sin(15a)2(8a)217|a|(a0).当a>0时，r17a，

8158815，cos，tan；当a<0时，r17a，则sin，cos，17171517178tan.

15点评：任意角的三角函数的定义是通过角的终边上的点的坐标确立的，与点的位置无关，只与角的终边的位置有关.本题中点P的位置有两种可能，故的三角函数值有两组.

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