海南省海南中学2019_2020学年高二数学上学期期中试题

海南省海南中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题

考试时间：120分钟 满分：150分

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.）

1. 已知命题：x0，xsinx的否定是( ) A. x0，xsinx B. x0，xsinx C. x00，x0sinx0 D. x00，x0sinx0

2. 已知向量a0,1,1,b1,1,0,若aba,则实数的值是( ) A.-1 B.0 C.1 D.-2

3. 已知平面，直线m，n满足m，n，则“m∥n”是“m∥”的( ) A．充分不必要条件 C．充分必要条件

B．必要不充分条件

 D．既不充分也不必要条件

x2y25x,且与椭4. 已知双曲线C：221(a0,b0)的一条渐近线方程为y2abx2y21有公共焦点，则C的方程为（ ） 圆

123x2y2x2y2x2y2x2y21 B．1 C．1 D．1 A．

8104554435. 到定点(2,0)的距离与到定直线x=8的距离之比为

2的动点的轨迹方( ) 2x2y2x2y21 B.1 A.

16121216C. x2y8x560 D. 3x2y8x680

6. 一个向量p在基底a,b,c下的坐标为1,2,3，则p在基底ab,ab,c下的坐标为( )

2222 1

3 B．，，3 C．，，3 D．，，3 A．，，7. 已知向量at1,1,t,bt1,t,1,则ab的最小值为( ) A.2 B.3 C.2 D.4 3122321212321322x2y28. 已知P是椭圆E：221(ab0)上异于点Aa,0，Ba,0的一点，Eab的离心率为3，则直线AP与BP的斜率之积为( ) 2A. 3113 B. C.  D. 44449. 已知OABC是四面体，G1是ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG3GG1，若OGxOAyOBzOC（x,y,zR），则(x,y,z)为( )

A.(

111333111222,,) B.(,,) C.(,,) D.(,,) 444444333333210. 点P是抛物线y4x上一动点，则点P到点A0,1的距离与P到直线x1的距离和的最小值是( )

A.5 B.3 C. 2 D. 2

11. 棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AA1的中点，N是CC1的中点，则B1到平面MNB的距离为( )

A.

266 B. C.6 D.26 33x2y222212. 过双曲线221（a0，b0）的右焦点Fc,0作圆xya的切

ab线，切点为M.直线FM交抛物线y4cx于点N，若OFON2OM（O为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）

A. 5 B. 2251 C. 5 D. 15 2第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)

2

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）

13. 若ABCDCE（λ，μ∈R），则直线AB与平面CDE的位置关系为___ 14. 抛物线y22pxp0上有一点M，它的横坐标是3,它到焦点的距离是5,则此抛物线的方程为

15. 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则二面角A-BC-D的余弦值是______________.

x2y21上任意一点，则当点P到直线4x5y400的距16. 已知点P是椭圆

259离达到最小值时，此时P点的坐标为____________．

三.解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

x2y21有共同焦点，且过点(0,2)的双曲线17. （本小题满分10分）求与椭圆

144169方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程.

18. （本小题满分12分）如图，在直三棱柱

C1MA1B1ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，AA12，M为A1B1的中点．N为BB1上一点．

(1)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值； (2)若CNBM，求三棱锥CABN的体积.

2NCBA19. (本小题满分12分)已知抛物线yx与直线ykx1相交于A,B两点，点O是坐标原点．

(1)求证：OAOB；

(2)当OAB的面积等于10时，求k的值．

3

20. （本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，

∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD，E、F分别为PA，BD的中点.

（1）证明：EF//平面PBC；

（2）若PD=AD，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值.

AEPDFBC21. （本小题满分12分）如图，已知长方形ABCD中，AB22，AD为DC的中点．将ADM沿AM折起，使得平面ADM平面ABCM．

（1）求证：平面AMD平面BMD； （2）若点E是线段DB上的一动点，问

2，MDE为何值时，二面角EAMD的余弦值DB为

5． 5DDMCEMBC

AB Ax2y2322. 已知点A(0,2)，椭圆E：221(ab0)的离心率为，F是椭圆E2ab的右焦点，直线AF的斜率为（1）求E的方程；

（2）设过点P(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆E交于不同的两点M、N，且MON为锐角，求k的取值范围.

海南中学2019-2020学年第一学期期中考试

高二数学参考答案

一、选择题 DDAB CBCC ADAB

23，O为坐标原点． 34

二、填空题

13. AB∥平面CDE或AB平面CDE 14. y8x 15. 三.解答题

239 16. 4, 35x2y21有共同焦点，且过点(0,2)的双曲线23. （本小题满分10分）求与椭圆

144169方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程.

解析：椭圆

x2144y21691的焦点是(0,-5),(0,5)，焦点在y轴上， 于是设双曲线方程是y2x2a2b21 (a>0,b>0)，

又双曲线过点(0,2)，

∴c=5,a=2，∴b2

=c2

-a2

=25-4=21，

∴双曲线的标准方程是

y2x24211，实轴长为4， 焦距为10，离心率eca52， 渐近线方程是y=±22121x．

5

24. （本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1

中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，点M为A1B1的中点．点N为BB1的点．

(1)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值； (2)若CNBM，求三棱锥C-ABN的体积.

解析：（1）以C为原点建系，CA,CB,CC1为x,y,z轴， 则C0,0,0,B0,1,0,A,0,2,B10,1,2. 11A1C1MB1NCBBA11,1,2,CB10,1,2

cosBA1,CB1BA1CB1BA1CB1330 106530. 10A故异面直线BA1与CB1所成角的余弦值是（2）设BNa，则N0,1,a，M11,,2 2211CN0,1,a,BM,,2

22因为CNBM，所以CNBM0，即故BN112a0，解得a. 241. 411111. VCABNVNABCSABCBN11332424

6

25. (本小题满分12分)已知抛物线yx与直线ykx1相交于A,B两点，点

2是坐标原点．

(1)求证：OAOB；

(2)当OAB的面积等于10时，求k的值．

解析：(1)证明：当k＝0时直线与抛物线仅一个交点，不合题意， ∴k≠0由y＝k(x＋1)得x＝y－1代入y2

k＝－x整理得：

y2＋1

ky－1＝0

设A(x，B(x1

1，y1)2，y2)则y1＋y2＝－k，y1y2＝－1.

∵A，B在y2

＝－x上，

∴A(－y2，y2

11)，B(－y2，y2)， ∴ky1y2OA·kOB＝

－y2·2

＝1

＝－1， 1－y2y1y2

∴OA⊥OB.

(2)设直线与x轴交于E，则E(－1,0)，∴|OE|＝1，

S11△OAB＝|OE|(|y1|＋|y2|)＝|y11

221－y2|＝

2

k2

＋4＝10，

解得k＝±1

6. 7

O

26. （本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形， ∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD，E、F分别为PA，BD的中点. （1）证明：EF//平面PBC；；

（2）若PD=AD，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值. 解析：（1）由EF//PC可证

（2）先证ADBD，再以D为原点建系DABP. 令PDAD1，则

AEDFCPP0,0,1,A1,0,0,B0,3,0,C1,3,0. PB0,3,1,CB1,0,0,PA1,0,1

设平面PBC的法向量为nx,y,z，则令y1，得n0,1,3.

设直线PA与平面PBC所成角为，则

BnPB3yz0nCBx0.

sincosPA,nPAnPAn36. 4226. 4故直线PA与平面PBC所成角的正弦值是

8

27. （本小题满分12分）如图，已知长方形ABCD中，AB22，AD为DC的中点．将ADM沿AM折起，使得平面ADM平面ABCM．

（1）求证：平面AMD平面BMD； （2）若点E是线段DB上的一动点，问

2，MDE为何值时，二面角EAMD的余弦值DB为

5． 5DDMCEAMBC

AB

解析：（1）证明：∵长方形ABCD中，AB22，AD∴AMBM2.

故AMBM8AB，所以AMBM.

2222，M为DC的中点，

∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，

zBM⊂平面ABCM

∴BM⊥平面ADM

∵BM⊂平面BDM，∴平面AMD平面BMD.

（2）建立如图所示的直角坐标系，则平面ADM的一个法向量

DEMyOCAxBn(0,1,0)，

设

DE01，则DEDB. DB又A1,0,0,M1,0,0,D0,0,1,B1,2,0，故AM(2,0,0)

MD1,0,1,DB1,2,1

MEMDDB(1,2,1),

设平面AME的一个法向量为m(x,y,z),

9

则mAM0，即0y(1)z0，取1,2mME02xm20,.

由题意知cosm,nmn1mn55，故125225， 即122，解得12． 故当DEDB的值为12时，二面角EAMD的余弦值为55

10

x2y2328. 已知点A(0,2)，椭圆E：221(ab0)的离心率为，F是椭圆E2ab的右焦点，直线AF的斜率为

（1）求E的方程；

（2）设过点P(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆E交于不同的两点M、N，且MON为锐角，求k的取值范围.

23，O为坐标原点． 3x2y21； 解析：（1）4（2）显然直线x0不满足题设条件，可设直线l:ykx2,Ax1,y2,Bx2,y2，

ykx2212联立x2，消去y，整理得：kx4kx30

24y14∴x1x24k1k42,x1x231k42

由4k4k23312kk34k30得：或 224由MON为锐角知OMONx1x2y1y20

k218k24又y1y2kx12kx22kx1x22kx1x24 111k2k2k244423k2k210，即k24 ∴2k2 ∵

11k2k2443由①、②得2k33k2 或2233,2. 故k的取值范围为2,22