2000年普通高等学校招生全国统一考试(江西、天津卷)(文史类)数学

数学（文史类）

选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。在每小题给出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、

（1）设集合A=x|xZ且10x1，B=x|xZ且|x|5，则A∪B中的元素个数是（A）11（B）11（C）16（D）15（2）设a、b、c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则

①abccab0；③bcacab不与c垂直中，是真命题的有（A）①②（B）②③

②abab

④3a2b3a2b9a4b（C）③④

（D）②④

2

2

（3）一个长方体共一项点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体

对角线的长是（A）23（B）32

（C）6

（D）6

（4）已知sinsin，那么下列命题成立的是

（A）若、是第一象限角，则coscos（B）若、是第二象限角，则tgtg（C）若、是第三象限角，则coscos（D）若、是第四象限角，则tgtg（5）函数yxcosx的部分图象是

（6）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额。此项税

第1页共11页景云制作款按下表分段累进计算：

全月应纳税所得额税率不超过500元的部分5%超过500元至2000元的部分10%超过2000元至5000元的部分15%

……

某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（A）800~900元（B）900~1200元（C）1200~1500元（D）1500~2800元（7）若ab1，P=lgalgb，Q=

（A）RPQ（C）QPR

1ablgalgb，R=lg，则22（B）PQR（D）PRQ

（8）已知两条直线l1:yx，l2:axy0，其中a为实数。当这两条直线的夹

角在0 , 内变动时，a的取值范围是

12（A）0 , 1（B）

3

, 33

（C）

3

, 1∪1 , 33

（D）1 , 3（9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比

是

12141214（A）（B）（C）（D）

242（10）过原点的直线与圆x2y24x30相切，若切点在第三象限，则该直

线的方程是（A）y3x

（B）y3x

（C）

3x3

3x3

（D）

（11）过抛物线yax2a0的焦点F作一条直线交抛物线于P、Q两点，若线

段PF与FQ的长分别是p、q，则（A）2a

（B）

12a

11

等于pq

（C）4a（D）

4a

（12）二项式233x

（A）6项

50

的展开式中系数为有理数的项共有（B）7项

（C）8项

（D）9项

二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

第2页共11页景云制作（13）从含有500个个体的总体中一次性地抽取25个个体，假定其中每个个体被抽到的概率相等，那么总体中的每个个体被抽取的概率等于________。

x2y2

（14）椭圆1的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当F1PF2为钝角

94

时，点P横坐标的取值范围是________。

22

（15）设an是首项为1的正项数列，且n1an1nannan1an0（n=1，2，

3，…），则它的通项公式是an=________。

（16）如图，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面

BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上

的射影可能是_______。（要求：把可能的图的号都填上）

序

三、解答题：本大题共6小题；共74分，解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤。（17）（本小题满分10分）

甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个。甲、乙二人依次各抽一题。

（I）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？

（II）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？（18甲）（本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1，底面ΔABC中，CA=CB=1，BCA=90，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、

A1A的中点。

（I）求BN的长；

（II）求cosBA1，CB1的值；

第3页共11页景云制作（III）求证A1BC1M。（18乙）（本小题满分12分）

如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CB=

C1CDBCD。

（I）证明：C1C⊥BD；（II）当

CD的值为多少时，能使A1C平面CC1C1BD？请给出证明。

（19）（本小题满分12分）

设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列

Sn的前n项和，求Tn。n（20）（本小题满分12分）

设函数fxx21ax，其中a0。（I）解不等式fx1；

（II）证明：当a1时，函数fx在区间0,上是单调函数。

（21）（本小题满分12分）

用总长14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。（22）（本小题满分14分）

如图，已知梯形ABCD中AB2CD，点E分有向线段AC所成的比为

8

，双曲线过C、D、E三点，且以11

A、B为焦点。求双曲线的离心率。

第4页共11页景云制作2000年高考江西、天津卷

数学试题（文史类）参考解答及评分标准

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分60分。

（1）C（6）C（11）C

（2）D（7）B（12）D

（3）C（8）C

（4）D（9）A

（5）D（10）C

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分。

（13）0.05

（14）

35x

35

（15）

1n

（16）②③

三、解答题

（17）本小题主要考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力。满分10分。

1

解：（I）甲从选择题中抽到一题的可能结果有C6个，乙依次从判断题中抽1

到一题的可能结果有C4个，故甲抽到选择题、乙依次抽到判断题的可能结果有1111

个；又甲、乙依次抽一题的可能结果有概率为C10个，所以甲抽到选择C6C4C911

C6C44

题、乙依次抽到判断题的概率为141，所求概率为；

15C10C915

——5分

11

C4C

（II）甲、乙二人依次都抽到判断题的概率为131，故甲、乙二人中至少

C10C9

11C4C1313

有一人抽到选择题的概率为1131，所求概率为。

15C10C915

——10分

或

111111

C6C5C6C4C4C61441313

，所求概率为。111111

315151515C10C9C10C9C10C9

——10分

（18甲）本小题主要考查空间向量及运算的基本知识。满分12分。

如图，以C为原点建立空间直角坐标系Oxyz。（I）解：依题意得B0, 1, 0，N1, 0, 1，

第5页共11页景云制作∴BN1020121023——2分（II）解：依题意得A11, 0, 2，B0, 1, 0，C0, 0, 0，B10, 1, 2。

∴BA11, 1, 2，CB10, 1, 2。BA1CB13。BA16，CB15∴cosBA1CB1 

——5分

——9分

BA1CB1BA1CB1

1

30101122（III）证明：依题意得C10, 0, 2，M, , 211A1B1, 1, 2，C1M, , 0，

22∴A1BC1M

11

00，∴A1B C1M22

——12分

（18乙）本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力。满分

12分。

（I）证明：连结A1C1、AC，AC和BD交于O，连结C1O。∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC=CD。又∵

BCC1DCC1 , C1CC1C，

∴C1BCC1DC，∴C1BC1D，∵DO=OB，∴——3分

但AC⊥BD，AC∩C1O=O，∴BD⊥平面AC1。

C1O

BD，

第6页共11页景云制作又C1C平面AC1，∴C1CBD。（II）当

CD1时，能使A1C⊥平面C1BD。CC1——6分

证明一：∵

CD1，CC1∴BC=CD=C1C，

又BCDC1CBC1CD，由此可推得BD=C1BC1D。∴三棱锥C-C1BD是正三棱锥。设A1C与C1O相交于G。

∵A1C1∥AC，且A1C1∶OC=2∶1，∴C1G∶GO=2∶1。

又C1O是正三角形C1BD的BD边上的高和中线，∴点G是正三角形C1BD的中心，∴CG⊥平面C1BD。即A1C⊥平面C1BD。证明二：

由（I）知，BD⊥平面AC1，∵A1C平面AC1，∴BD⊥A1C。当

CD1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，CC1——9分

——12分

——9分

同BD⊥A1C的证法可得BC1⊥A1C。

第7页共11页景云制作又BD∩BC1=B，∴A1C⊥平面C1BD。

解：设等差数列an的公差为d，则

1

Snna1nn1d

2

——12分

（19）本小题主要考查等差数列的基础知识和基本技能，运算能力。满分12分。

∵∴

S77，S1575，7a121d7 ,



15a1105d75 ,a13d1 ,

a17d5 ,a12，d1。

Sn11a1n1d2n1，n22Sn1Sn1

，n1n2

1Sn是等差数列，其首项为，公差为，22n——6分

即解得∴∵

——8分

∴∴

数列Tn

129

nn。44

——12分

（20）本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识、分类讨论的

数学思想方法和运算、推理能力。满分12分。

解：（I）不等式fx1即

x211ax，

由此得11ax，即ax0，其中常数a0。所以，原不等式等价于

x211ax2 ,

x0

第8页共11页景云制作即

x02

a1x2a0

——3分

2a；1a2所以，当0a1时，所给不等式的解集为x|0x当a1时，所给不等式的解集为x|x0。

（II）在区间0,上任取x1，x2，使得x122fx1fx2x11x21ax1x222

x1x22x1

——6分



1

2x2

1

ax1x2x1x2x1x2a。x21x2112——9分

∵

x1x2

2

x1

1x1x22x2

1

1，且a1，

∴

2x112x21a0，

又∴即

x1x20，fx1fx20，fx1fx2。

所以，当a1时，函数fx在区间0,上是单调递减函数。——12分（21）本小题主要考查应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识。满分12分。

解：设容器底面短边长为xm，则另一边长为x0.5m，高为

14.84x4x0.53.22x

4

由3.22x0和x0，得0x1.6，

设容器的容积为ym3，则有

yxx0.53.22x0x1.6第9页共11页景云制作整理，得

y2x32.2x21.6x，

——4分——6分

∴y6x24.4x1.6令y0，有

6x24.4x1.60，

即解得

15x211x40，

x11，x2

4

（不合题意，舍去）。15

——8分

从而，在定义域（0，1，6）内只有在x1处使y0。由题意，若x过小（接近0）或过大（接受1.6）时，y值很小（接近0），因此，当x1时y取得最大值

y最大值22.21.61.8，

这时，高为3.2211.2。

答：容器的高为1.2m时容积最大，最大容积为1.8m3。

——12分

（22）本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推

理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。满分14分。

解：如图，以AB为垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标

系xOy，则CD⊥y轴。

因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称。

依题意，记Ac, 0，B ,h，Cc, 0，其

c2——2分

中c为双曲线的半焦距，c

1

|AB|，h是梯形的2

高。

由定比分点坐标公式，得点E的坐标为

第10页共11页景云制作c8xE

11

c27c，181911

0

8h

y8E111819h。11

设双曲线的方程为x2ay2c2b21，则离心率ea。

由点C、E在双曲线上，得

1c2h2

221 , 4ab49c22

361a264361hb2

1由①得h21c2c2b24a21，代入②得a29。

2

所以，离心率e

ca2

3。第11页共11页——5分——10分

——14分