中考必会几何模型：半角模型

已知如图：①∠2=∠AOB；②OA=OB.

12O123FEAB

连接FB，将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置，连接F′E，FE， 可得△OEF≌△OEF′

OF'4123FEA模型分析

∵△OBF ≌△OAF′， ∴∠3=∠4，OF=OF′. ∴∠2=∠AOB，

∴∠1+∠3=∠2 ∴∠1+∠4=∠2

又∵OE是公共边， ∴△OEF≌△OEF′.

（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点； （2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系； （3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°.

模型实例

例1 已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段CB、DC于点M、N． （1）求证：BM+DN=MN．

（2）作AH⊥MN于点H，求证：AH=AB．

12B

1

证明：（1）延长ND到E，使DE=BM，

∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB． 在△ADE和△ABM中， ADAB ADEB

DEBM ∴△ADE≌△ABM．

∴AE=AM，∠DAE=∠BAM ∵∠MAN=45°，∴∠BAM+∠NAD=45°． ∴ ∠MAN=∠EAN=45°． 在△AMN和△AEN中， MAEA MANEAN

ANAN ∴△AMN≌△AEN． ∴MN=EN．

∴BM+DN=DE+DN=EN=MN．

（2）由（1）知，△AMN≌△AEN． ∴S△AMN=S△AEN．

11 即AHMNADEN．

22 又∵MN=EN， ∴AH=AD． 即AH=AB．

2

例2 在等边△ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且 ∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在线段AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系．

（1）如图①，当DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是_______________；

（2）如图②，当DM≠DN时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．

图① 图②

解答

（1）BM、NC、MN之间的数量关系是BM+NC=MN． （2）猜想：BM+NC=MN．

证明：如图③，延长AC至E，使CE=BM，连接DE． ∵BD=CD，且∠BDC=120°， ∴∠DBC=∠DCB=30°． 又∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°． ∴∠MBD=∠NCD=90°． 在△MBD与△ECD中，

∵DB=DC，∠DBM=∠DCE=90°，BM=CE， ∴△MBD≌△ECD（SAS）． ∴DM=DE，∠BDM=∠CDE． ∴∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°． 在△MDN和△EDN中，

∵MD=ED，∠MDN=∠EDN=60°，DN=DN， ∴△MDN≌△EDN（SAS）． ∴MN=NE=NC+CE=NC+BM．

3

图③

例3 如图，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC=180°，AB=AD，E、F分别是BC、CD延 长线上的点，且∠EAF=

1∠BAD．求证：EF=BE-FD． 2

证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG． ∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°， ∴∠B=∠ADF．

在△ABG和△ADF中， ABAD BADF

BGDF ∴△ABG ≌△ADF（SAS）． ∴∠BAG=∠DAF，AG=AF． ∴∠GAF=∠BAD．

11∠BAD=∠GAF． 22 ∴∠GAE=∠EAF． 在△AEG和△AEF中， ∴∠EAF=AGAF GAEFAE

AEAE ∴△AEG ≌△AEF（SAS）． ∴EG=EF．

4

∵EG=BE-BG， ∴EF=BE-FD．

跟踪练习：

1．已知，正方形ABCD，M在CB延长线上，N在DC延长线上，∠MAN=45°． 求证：MN=DN-BM．

【答案】

证明：如图，在DN上截取DE=MB，连接AE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°． 在△ABM和△ADE中， ADAB DABM

BMDE ∴△ABM≌△ADE．

∴AM=AE， ∠MAB=∠EAD ． ∵∠MAN=45°=∠MAB+∠BAN， ∴∠DAE+∠BAN=45°． ∴∠EAN=90°-45°=45°=∠MAN． 在△AMN和△AEN中， AMAE MANEAN

ANAN5

∴△ABM≌△ADE． ∴MN=EN． ∵DN-DE=EN． ∴DN-BM=MN．

2．已知，如图①在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动 点，若∠DAE=45°，探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系． 小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D使问题得到解 决．请你参考小明的思路探究并解决以下问题：

（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间的数量关系式，并对你的猜想给予证明；

（2）当动点E在线段BC上，动点D运动到线段CB延长线上时，如图②，其他条件不 变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．

图① 图②

【答案】

解答：（1）猜想：DE2=BD2+EC2． 证明：将△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，如图① ∴△ACE≌△ABE′．

∴BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB． 在Rt△ABC中， ∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°．

∴∠ABC+∠ABE′=90°，即∠E′BD=90°． ∴E′B2+BD2=E′D2． 又∵∠DAE=45°， ∴∠BAD+∠EAC=45°． ∴∠E′AB+∠BAD=45°，即∠E′AD=45°．

6

∴△AE′D≌△AED． ∴DE=DE′．

∴DE2=BD2+EC2．

图①

（2）结论：关系式DE2=BD2+EC2仍然成立．

证明：作∠FAD=∠BAD，且截取AF=AB，连接DF，连接FE，如图② ∴△AFD≌△ABD．

∴FD=DB，∠AFD=∠ABD． 又∵AB=AC， ∴AF=AC．

∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°， ∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-（∠DAE-∠DAB ）=90°-（45°-∠DAB）=45°+∠DAB， ∴∠FAE=∠CAE． 又∵AE=AE，

∴△AFE≌△ACE．

∴FE=EC，∠AFE=∠ACE=45°． ∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135°． ∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90°． 在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2． 即DE2=BD2+EC2．

图②

3．已知，在等边△ABC中，点O是边AC、BC的垂直平分线的交点，M、N分别在直线 AC、BC上，且∠MON=60°．

（1）如图①，当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN三 者之间的数量关系；

（2）如图②，当CM≠CN时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然 成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由； （3）如图③，当点M在边AC上，点N在BC的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、 MN三者之间的数量关系．

7

图① 图② 图③

【答案】

结论：（1）AM=CN+MN；如图①

图①

（2）成立；

证明：如图②，在AC上截取AE=CN，连接OE、OA、OC． ∵O是边AC、BC垂直平分线的交点，且△ABC为等边三角形， ∴OA=OC，∠OAE=∠OCN=30°，∠AOC=120°． 又∵AE=CN，

∴△OAE≌△OCN．

∴OE=ON，∠AOE=∠CON． ∴∠EON=∠AOC=120°． ∵∠MON=60°，

∴∠MOE=∠MON=60°． ∴△MOE≌△MON． ∴ME=MN．

∴AM=AE+ME=CN+MN．

图②

（3）如图③，AM=MN-CN．

8

图③

4．如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，E、F分别是线段BC、CD上的 点，且BE+FD=EF．求证：∠EAF=

1∠BAD． 2

【答案】

证明：如图，把△ADF绕点A顺时针旋转∠DAB的度数得到△ABG，AD旋转到AB，AF旋转到AG，

∴AG=AF，BG=DF，∠ABG=∠D，∠BAG=∠DAF． ∵∠ABC+∠D=180°， ∴∠ABC+∠ABG=180°． ∴点G、B、C共线． ∵BE+FD=EF， ∴BE+BG=GE=EF． 在△AEG和△AEF中， AGAFAEAE EGEF∴△AEG≌△AEF． ∴∠EAG=∠EAF．

∴∠EAB+∠BAG=∠EAF． 又∵∠BAG=∠DAF，

∴∠EAB+∠DAF=∠EAF． ∴∠EAF=

1∠BAD． 29

5．如图①，已知四边形ABCD，∠EAF的两边分别与DC的延长线交于点F，与CB的延长线交于点E，连接EF． （1）若四边形ABCD为正方形，当∠EAF＝45°时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？（只需直接写出结论）

（2）如图②，如果四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补，当∠EAF＝

1∠BAD2时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出结论并证明．

（3）在（2）中，若BC＝4，DC＝7，CF＝2，求△CEF的周长（直接写出结论）

解答：

（1）EF=DF-BE （2）EF=DF-BE

证明：如图，在DF上截取DM=BE，连接AM， ∵∠D+∠ABC=∠ABE+∠ABC=180° ∵D=ABE ∵AD=AB

在△ADM和△ABE中，

DMBEDABE ADAB∴△ADM≌△ABE

∴AM=AE，∠DAM=∠BAE ∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=

1∠BAD， 210

∴∠DAM+∠BAF=∴∠MAF=

1∠BAD 21∠BAD 2∴∠EAF=∠MAF

在△EAF和△MAF中

AEAMEAFMAF AFAF∴△EAF≌△MAF ∴EF=MF

∵MF=DF-DM=DF-BE， ∴EF=DF-BE

（3）∵EF=DF-BE

∴△CEF的周长=CE+EF+FC=BC+BE+DC+CF-BE+CF =BC+CD+2CF=15

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